Bài 19:

Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + c} \right)}^2}}} \ge \frac{9}{{4\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}$

 (Sưu tầm)

P/s: bài này đừng giải theo kiểu Iran 1996

Chém tạm bài này vậy

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có

$(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}]\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^2\geq (\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+\frac{1}{(c+a)^2}\geq \frac{9}{4(a^2+b^2+c^2)}$$(Q.E.D)$

P/s: mọi người nên hạn chế post bài mới nên giải thêm các bài toán đã được đăng mà chưa có lời giải để tránh làm loãng Topic

 

Tịnh tiến hệ trục tọa độ theo vectơ (1, 4)

(P) có phương trình là $y+4=-(x+1)^2+4(x+1)+5$

$\Leftrightarrow y=-x^2+2x+4$

Gọi (P') là parabol đối xứng với (P) qua tâm tọa độ I

(P') có phương trình $-y=-(-x)^2+2(-x)+4$

$\Leftrightarrow y=x^2+2x-4$

Lại tịnh tiến hệ trục tọa độ theo vectơ (-1, -4)

Phương trình của $(P')$ trở thành $y-4=(x-1)^2+2(x-1)-4$

$\Leftrightarrow y=x^2-1$

Hoành độ của $M$ và $N$ là nghiệm của phương trình $-x^2+4x+5=x^2-1$

Giả sử $x_M< x_N\Rightarrow M(-1;0)$ và $N(3;8)$

 

Thầy có thể giải thích cho em là tịnh tiến trên trục tọa độ vectơ là gì ạ ??

Bài hình (Nguồn: Thầy Lê Hữu Phước )

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=3$. Chứng minh rằng

$(3a^2+1)(3b^2+1)(3c^2+1)\geq 64$

Tìm $p,q$ là các số nguyên tố để $p^q.q^p=(2p+q+1)(2q+p+1)$

$1.$Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x-1)(y^2+6)=y(x^2+1) & \\ (y-1)(x^2+6)=x(y^2+1) & \end{matrix}\right.$

$2.$Giải bất phương trình $(x+1)\sqrt{x+2}+(x+6)\sqrt{x+7}\geq x^2+7x+12$

$3.$Tìm $m$ để phương trình $3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{x^2-1}$ có nghiệm 

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $2(x^2+y^2)=1+xy$. Tìm Max và Min của $P=7(x^4+y^4)+4x^2y^2$

Tìm $x \in Z $ để $ B = x^2 - x +13$ là số chính chính phương

Cho $a,b>1$ và $|a-b|<1$. Chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}<3$

Đạo hàm

Xét hàm số $f(x)=\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}$ 

$f^{'}(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^{2}+x+1}}-\frac{2x-1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}\Rightarrow f^{'}(x)=0$

$\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{x^{2}+x+1}=(2x-1)\sqrt{x^{2}-x+1}$

$\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}=(2x-1)\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$$\Leftrightarrow x=0$

(không thỏa mãn). Nên $f^{'}(x)$ vô nghiệm mà $f^{'}(0)=1>0$ nên $f^{'}(x)>0$

Đến đây ta có: $\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=1;\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-1$

Vậy để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-1<m<1$

Cho mình hỏi làm sao để từ $f(x)$ có thể suy ra được $f'(x)$ vậy ?

Đề thi thử chuyên KHTN lần 4 vòng 1

Đề có sai ko bạn?

Đề mình sửa rồi ạ 

Chứng minh $C$ là số chính phương

\[C = \underbrace {111\ldots 1}_{2n} + \underbrace {444\ldots 4}_n + 1\]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng

$$ab+bc+ca\geq 3+\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}$$

Tìm các giá trị của $m$ để phương trình $|x^2-2|= m^4-m^2$ có $4$ nghiệm phân biệt

Giải phương trình lượng giác

a) $3tan2x - \frac{3}{cos2x} -2 \frac{1-cotx}{1+cotx}+2cos2x =0$

b) $\frac{(cosx -1)(2cosx -1)}{sinx}=1-sin2x+2cos^2x$

cho x,y,z>0 có$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$
Chứng minh 
$\frac{1}{4x+y+z}+\frac{1}{x+4y+z}+\frac{1}{x+y+4z}<=9/16$

Áp dụng BĐT $Schwarz$ ta có

$\frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Chứng minh tương tự rồi cộng vế ta có $ĐPCM$

Cho các số thực $a,b,x,y$ thỏa mãn $ax-by=\sqrt{3}$. Tìm Min của $A=a^2+b^2+x^2+y^2+bx+ay$

Gọi $v\,,w\,\,\,(v< w)$ là 2 nghiệm của phương trình: $2\,u^{2}- 2\,u- 1= 0$

 

 

Khi đó:

 

 

$a^{2}+ b^{2}+ x^{2}+ y^{2}+ b\,x+ ay- \sqrt{3}\,(a\,x- by)$

 

 

$= -\,vw\,[(v\,x+ wy+ a+ b)^{2}+ (-vy+ w\,x- a+ b)^{2}]\geqq 0$

Bạn có thể giải thích kĩ về cách làm của bạn được không ? Mình không hiểu cho lắm   

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$

Tìm $Max$ của $P=\sqrt{\frac{ab}{2a^2+3b^2+7}}+\sqrt{\frac{bc}{2b^2+3c^2+7}}+\sqrt{\frac{ca}{2c^2+3a^2+7}}$

Giải bất phương trình

$(x-1)\sqrt{x^2-5x+6} \leq x^2-5x+4$

 

\[x+ y= 2\]

 

\[x, y> 0\] 

CM: 

$$x^{2}y^{2}\left ( x^{2}+ y^{2} \right )\leq 2$$

 

$1$ cách khác cho bài này

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

$xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=1$

$xy(x^2+y^2)=\frac{1}{2}.2xy(x^2+y^2)\leq \frac{1}{2}\frac{(x^2+y^2+2xy)^2}{4}= \frac{(x+y)^4}{8}=2$

Nhân theo vế ta có $đpcm$

 

 

\[x+ y= 2\]

 

\[x, y> 0\] 

CM: 

$$x^{3}y^{3}\left ( x^{3}+ y^{3} \right )\leq 2$$

 

Cách khác 

Ta có $x^3y^3(x^3+y^3)=x^3y^3(x+y)(x^2+y^2-xy)=2x^3y^3(x^2-xy+y^2)=2.xy.xy.xy(x^2-xy+y^2)\leq 2(\frac{x^2+y^2+2xy}{4})^4=2[\frac{(x+y)^2}{4}]^4=2$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=1$

$1.$Cho $x,y,z \in N^*$ và $2^x-1=y^z$ và $x>1$. Chứng minh $z=1$.

$2.$Chứng minh rằng $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số với mọi số nguyên dương $n$.

Giải phương trình

$cosx\sqrt{\frac{1}{cosx}-1}+cos3x\sqrt{\frac{1}{cos3x}-1}=1$