Cách giải khác cho bài này

$ \sqrt[3]{2x+3} +1 = x^3 + 3x^2 + 2x$

$ \Leftrightarrow  \sqrt[3]{2x+3} + 2x + 3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 + x + 1 $ 

$ \Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+3} + (2x+3) = (x+1)^3 + (x+1) $ 

Đặt $  \sqrt[3]{2x+3} = a, x+1 = b $, ta có 

$ a^3 + a = b^3 + b $ 

$  \Leftrightarrow  (a-b)(a^2+ab+b^2 +1 ) = 0 $ 

$  \Leftrightarrow a= b $ do $ a^2+ab+b^2 +1  > 0 $ 

Đặt n⁴+n³+1= k² ( k thuộc N)

<=> n³+1= k²- n⁴

<=> (n+1)(n²-n+1) = ( k-n²)( k+n²)

<=> $\left\{\begin{array}{l}k-n^{2}= 1 \\k+n^{2} =(n+1)(n^{2}-n+1 )\end{array}\right.$

=> 1+n²= n³-n²+1

<=> n³-2n²=0

<=> n²( n-2)= 0

dễ rồi 

Bài bạn chưa đúng. Bài này chỉ cần dùng phương pháp kẹp là được 

Tìm $ x,y $ nguyên sao cho $ \frac{x^2 + 1}{y^2} + 4 $ là số chính phương 

Cho hình chữ nhật $ ABCD $ nội tiếp $ (O) $ . Trên cung $ BC $ nhỏ lấy $ E $ trên cung $AD$ nhỏ lấy $ F $ . Goi $ M $ là giao của $ AE và BF $. Gọi  $ N$ là giao của $ CF và DE $ . CMR $ M,O,N  $ thẳng hàng 

Nếu đã chứng minh tam giác $ ODF $ mà $ OK $ vuông $ DF $ => $ K $ là trung điểm DF. Mặt khác có $ K $ là trung điểm $ BH $ suy ra $ BDHF $ là hình bình hành => $ HF $ // $ AD$  mà  $ H $ là trung điểm $ BC $ nên $ F $ là trung điểm $ AC $ ( t/c đường trung bình ) 

Ôi trời mình xin lỗi mình nhâm câu hỏi câu c. Mình nhìn nhầm sang bài khác

Mình thấy ổn mà nhỉ . Cùng chắn cung $ BI $ đó bạn 

Câu a) Ta có $ \angle BMI = \angle BAN = \angle BAE  = \angle EDA = \angle IDM $ suy ra dpcm 

Câu b) Ta có $ \angle AEB = 180^{\circ} - \angle ADB = \angle BIM $ kết hợp với $ \angle BAE = \angle BMI $ ta được tam giác $ AEB $ đồng dạng $ MIB $. 

Câu c) Tính chất tiếp tuyến cắt nhau, mình chưa thấy điểm $ H, K $ dùng để làm gì

Câu d) Bạn xem lại đề xem có sai không ? 

Xin lỗi bạn mình đánh thiếu. Bạn giúp mình câu nào hay câu đó

câu c, điểm F ở đâu vậy bạn ? 

Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $ n^n +1 $ là số nguyên tố không vượt quá $ 10^{19}  $ 

Câu c đâu bạn, hay câu d là yêu cầu câu c ? 

Cho số nguyên tố $p>3$ và số nguyên dương $a$ thỏa $ a^2 +p^2 $ là 1 số chính phương. CMR: $ 2(a+p+1) $ cũng là số chinh phương.

Câu c:

Dễ thấy $ O, H , J $ thuộc trung trực $AB$

Ta có $  \angle ADB = \frac{1}{2}. cung $ AB$ = \frac{1}{2} . \angle AHB = \angle AHJ \Rightarrow  180^{\circ} -  \angle ADB = 180^{\circ}  - \angle AHJ  \Rightarrow \angle AHO = \angle ADC $ . Tương tự có $ \angle AKO = \angle ADB  \Rightarrow  $ tứ giác $ AHOK $ nội tiếp. Mặt khác $  \angle ACB = \frac{1}{2}. cung $ AB $ = \frac{1}{2} . \angle AOB = \angle AOH $. Đến đây chắc ok rồi

Câu d: Từ kết quả câu c dễ dàng chứng minh $ \Delta AOH $ đồng dạng $ \Delta  ACD $ và $ \Delta  AKO $ đồng dạng $ \Delta ADB $. Suy ra $ \angle OAH  = \angle CAD = \angle DAB = \angle KAO $ suy ra $ AO $ là phân giác $ \angle HAK $. Vậy $ \angle OHK = \angle OAK = \angle OAH = \angle OKH $ hay $ \Delta OHK $ cân suy ra $đpcm$ 

Tìm $ p,q $ là các số nguyên tố thỏa : $ p^3 + 107 = 2q(17q + 24) $ 

Câu 3

$ \sqrt{a-b+c} = \sqrt{a} - \sqrt{b} + \sqrt{c} $

$ \Leftrightarrow  \sqrt{a-b+c}  + \sqrt{b} =  \sqrt{a} + \sqrt{c} $

$ \Leftrightarrow   a+c + 2.\sqrt{b(a-b+c)} = a+c + 2.\sqrt{ac} $

$ \Leftrightarrow b(a-b+c) =ac $

$ \Leftrightarrow (a-b)(b-c) = 0 $ 

Suy ra $ a=b $ hoặc $b=c$

TH : $ a=b $, không mất tỉnh tổng quát giả sử $ c \geq a = b $

$ 1= \frac{2}{a} + \frac{1}{c} \leq \frac{3}{a} \Leftrightarrow  a \leq 3 $ 

Đến đây ok rồi

Bài 6. Áp dụng AM-GM và Bunhia ta có: 

$ VT  \geq 2. \sqrt{(a+b)^2.\frac{a+b}{2}} \geq 2. \sqrt{4ab.\frac{a+b}{2}} = 2.\sqrt{(ab+ab).(a+b)} \geq 2. (a.\sqrt{b} + b.\sqrt{a} ) = VP $ 

Dấu "=" khi   $  a=b = \frac{1}{4} $ 

Bài 9: Đặt $ \frac{1}{x} = a , x = b $ 

Pt $\Leftrightarrow 4a + \sqrt{b-a} = b + \sqrt {2b-5a} $ 

$ \Leftrightarrow  4a-b + \sqrt{b-a} - \sqrt{2b-5a} =0$

$ \Leftrightarrow  4a-b + \frac{4b-a}{\sqrt{b-a}+ \sqrt{2b-5a}} =0 $ 

Vì $ \frac{1}{\sqrt{b-a} +\sqrt{2b-5a}} +1 > 0 $ nên $  4a-b  =0 $ 

Cho phương trình $ x^2 + ax + b+1 = 0$ trong đó $a,b \in \mathbb{Z}, b \neq -1$. Chứng minh rằng nếu phương trình có 2 nghiệm đều là số nguyên thì $ a^2 +b^2 $ là hợp số. 

Mình xin đóng góp cách khác cho bài cuối

$ \frac{a}{2\sqrt{b} -5} + 2 \sqrt{b} - 5 \geq 2.\sqrt{a}$

Tương tự , suy ra $ A \geq 2 (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) - 2 (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + 15 = 15.$

Dấu $"="$ khi $a=b=c = 25$ 

Các anh chị trên diễn đàn có thể chia sẻ cho chúng em một số phương pháp và kinh nghiệm xử lí những bài liên quan đến Viet nâng cao như tìm tham số m đề phương trình có 3 nghiệm, 4 nghiệm phân biệt chẳng hạn ạ. Sau đây em xin hỏi bài toán này để từ đó rút kinh nghiệm luôn ạ

Cho $ m $ là tham số. Tìm $m$ đề phương trình $ x^2 + 3mx + 2m^2 = \frac{x^4 + x^3}{2} $ có 4 nghiệm phân biệt. 

Nhân tiện, cho em xin thêm một số bài như thế được không ạ . Em xin cảm ơn các anh chị và diễn đàn. 

cho e hỏi xíu ạ

Sao c.m được \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b +b^2c+c^2a}  $\geq$ \frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}

Chỉ e vs ạ

Bạn thử tìm cách chứng minh bổ đề này nhé , hoặc có thể google : 

$ 3(a^2b+b^2c+c^2a) \leq  (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) $

Dấu $"="$ xảy ra khi $ a=b=c$  

Ta chứng minh BĐT sau : $ a^4 + b^4 \geq ab.(a+b). $

Thật vậy:  $ a^4 + b^4 \geq  \frac{(a^2+b^2)^2}{2} = \frac{(a^2+b^2)(a^2+b^2)}{2} \geq \frac{2ab.(a^2+b^2)}{2} = ab. (a+b) $  

Áp dụng ta có :

$  P   \leq\frac{1}{ab(a^2+b^2)+c} + \frac{1}{bc(b^2+c^2)+a} + \frac{1}{ac.(a^2+c^2)+b} = \frac{1}{\frac{a^2+b^2}{c}+c}+ \frac{1}{\frac{b^2+c^2}{a}+a} + \frac{1}{\frac{a^2+c^2}{b}+b} = \frac{c}{a^2+b^2+c^2} + \frac{a}{a^2+b^2+c^2} + \frac{b}{a^2+b^2+c^2} = \frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2} \leq \frac{3(a+b+c)}{(a+b+c)^2} = \frac{3}{a+b+c} \leq \frac{3}{3.\sqrt[3]{abc}} =1   $ 

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$ 

$P= 2017 (\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}) + (\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a}) + \frac{1}{3(a^2+b^2+c^2)} \geq 2017 \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} + (\frac{a^4}{a^2b}+ \frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}) + \frac{1}{3(a^2+b^2+c^2)} \geq 2017 .1 + \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b +b^2c+c^2a} + \frac{1}{3(a^2+b^2+c^2)} \geq 2017 + \frac{3(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)} + \frac{1}{3(a^2+b^2+c^2)} = 2017 + 3(a^2+b^2+c^2) + \frac{1}{3(a^2+b^2+c^2)}\geq 2017 + 2. \sqrt(\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{3(a^2+b^2+c^2)})= 2017 + 2 = 2019 $.

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c =\frac{1}{3} $

https://sea007.viole...try_id/11160473

Áp dụng Bunhia, ta có: 

$ \frac{x+y}{\sqrt{x(2x+y)}+\sqrt{y(2y+x)}} \leq \frac{x+y}{\sqrt{(x+y)(2x+y+2y+x)}} = \frac{x+y}{\sqrt{3} (x+y)}= \frac{1}{\sqrt{3}} $ 

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y$

BDT $\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+zx}+\frac{2}{z^{2}+xy}$   (3)

     Có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\geq \frac{2}{y\sqrt{xz}}$   (cosi)

          $\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{2}{z\sqrt{yx}}$    (cosi)

          $\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}\geq \frac{2}{x\sqrt{zy}}$    (cosi)

       $\Rightarrow 2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})\geq 2(\frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}})$

      $\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}$    (1)

     Lại có $x^{2}+yz\geq 2x\sqrt{yz} \Rightarrow \frac{2}{x^{2}+yz}\leq \frac{2}{2x\sqrt{yz}}\doteq \frac{1}{x\sqrt{yz}}$

    CMTT $\frac{2}{y^{2}+zx}\leq \frac{1}{y\sqrt{xz}}$

               $\frac{2}{z^{2}+xy}\leq \frac{1}{z\sqrt{yx}}$

           Cộng vế $\Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}\geq \frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+zx}+\frac{2}{z^{2}+xy}$     (2)

      Từ (1) và (2) suy ra (3) (dpcm)

      Dấu bằng xảy ra khi x=y=z 

   P/s: cho mình hỏi đây là bài lớp mấy

triển hết cái này mệt vãi 

Giáo sư ra tận đây rồi ak