Áp dụng bổ đề , kể cả khi thực hiện liên tiếp $2$ loại bước chuyển như trên thì luôn $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=1$ và $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=-1$
Khi đó sau một số hữu hạn thực hiện thay phiên các bước chuyển thì từ $1$ điểm $(x;y)$ bất kì có thể tạo ra được các điểm $(x+1;y+1);(x+1;y-1);(x-1;y+1);(x-1;y-1)$

Bạn có thể giải thích chỗ này cho mk đc ko ?

$\Gamma$ 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel: 

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$

$<=> \sum {\frac{a^{2}}{b+c} } \geq \frac{{(a+b+c)^2}}{2(a+b+c)}\geq \frac{{(a+b+c)}}{2}\geq \frac{\sqrt{3(a+b+c)}}{2}$

(BĐT Cauchy-Schwarz dạng thông thường)

Tại sao lại có $a+b+c\geq \sqrt{3(a+b+c)}?$

 

 

$x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$

 

 

 

ĐKXĐ: $x^2-1\geq 0$

$x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$

$<=>x^{2}-\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}+3\sqrt{x^{2}-1}=0$

$<=>\frac{x^4-(x^4-x^2+1)}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3\sqrt{x^{2}-1}=0($ Do $x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}\neq 0)$

$<=>\sqrt{x^{2}-1}(\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3)=0$

$<=>\sqrt{x^{2}-1}=0($Do $\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3\geq 3> 0)$

$<=>x^2-1=0<=>x=\pm 1($ T/m ĐKXĐ $)$

Vậy, ...

Cách khác:

Vì $x^2-1\geq 0($Theo ĐKXĐ$)$

$=>x^4\geq x^4-x^2+1>0<=>x^2\geq \sqrt{x^4-x^2+1}$

$=>$ Ta có: $VT=x^2+3\sqrt{x^2-1}\geq \sqrt{x^4-x^2+1}=VP($Vì $\sqrt{x^2-1}\geq 0)$

Mà dấu $"="$ phải xảy ra(Theo gt)

$=>x^2-1=0<=>x=\pm 1$

Vậy, ...

rồi ạ

Pt đã cho $<=>\frac{32y}{(y+1)^2}=x$ là số nguyên dương

                   $<=>32y\vdots (y+1)^2$

                   $=>32y\vdots y+1$ 

                   $<=>32(y+1)-32\vdots y+1$

                $<=>32\vdots y+1$

                $<=>y+1$є{2;4;8;16;32}(Vì y là số nguyên dương $=>y+1\geq 2$)

                $<=>y=1=>x=8$(t/mãn)

                hoặc $y=3=>x=6$(t/mãn)

                hoặc $y=7=>x=\frac{7}{2}$(loại)

                hoặc $y=15=>x=\frac{15}{8}$(loại)

                hoặc $y=31=>x=\frac{31}{32}$(loại)

Vậy,.....

tìm x,y thỏa mãn phương trình 

xy²+2xy+x=32y

x,y nguyên hay có đk gì ko vậy???

3, $(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$

ĐKXĐ: $x\geq -8$

Vì $(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4>0=>x+1>0<=>x>-1$

Pt đã cho

$<=>(x+1)^2(x+8)=(x^2+x+4)^2<=>...<=>(x-1)(x^3+2x^2+x-8)=0$

$<=>x=1 hoặc x^3+2x^2+x-8=0$

Xét $x^3+2x^2+x-8=0$

Đặt $x=t-\frac{3}{2}(t-\frac{3}{2}>1<=>t> \frac{-1}{3})$

Thay vào

$=>...<=>27t^3-9t=218$

Đặt $3t=y(t>\frac{-1}{3}<=>y>-1)$

$=>y^3-3y=218

$+)$Xét $-1y<2=>y^3-3y=(y-2)(y+1)^2+2<2<218 ( Loại )$

$+)$Xét $y\geq 2$

Lúc này, ta có thể đặt $y=a+\frac{1}{a}(a>0)$

Thay vào

$=>(a+\frac{1}{a})^3-3(a+\frac{1}{a})=0<=>a^3+\frac{1}{a^3}=218$

$<=>a^6-218a^3+1=0$

$<=>...<=>a^3=109\pm 6\sqrt{330}$

$<=>a=\sqrt[3]{109\pm 6\sqrt{330}}$

$<=>...<=>x=\frac{\sqrt[3]{109-6\sqrt{330}}+\sqrt[3]{109+6\sqrt{330}}-2}{3}$

Thử lại thấy thỏa mãn.

Vậy$,...$

Giai phuong trinh

1, $(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1})(x^2+\sqrt{x^2+4x+3})=2x$

ĐKXĐ: $x\geq -1$

Pt đã cho

$<=>\frac{2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x+1}}[x^2+\sqrt{(x+1)(x+3)}]=2x$

$<=>x^2+\sqrt{(x+1)(x+3)}=x\sqrt{x+1}+x\sqrt{x+3}<=>(x-\sqrt{x+1})(x-\sqrt{x+3})=0<=>...$

Giai phuong trinh

2, $2\sqrt{3x+4}+3\sqrt{5x+9}=x^2+6x+13$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{-4}{3}$

Pt đã cho

$<=>x^2+x+2[(x+2)-\sqrt{3x+4}]+3[(x+3)-\sqrt{5x+9}]=0$

$<=>x(x+1)[1+\frac{2}{x+2+\sqrt{3x+4}}+\frac{3}{x+3+\sqrt{5x+9}}]=0<=>...$

4, $\sqrt{2x^2+16x+18}+\sqrt{x^2-1}=2x+4$

ĐKXĐ: ...

Pt đã cho

$<=>2x^2+16x+18+x^2-1+2\sqrt{(2x^2+16x+18)(x^2-1)}=(2x+4)^2$

$<=>x^2-1-2\sqrt{(2x^2+16x+18)(x^2-1)}=0<=>\sqrt{x^2-1}(\sqrt{x^2-1}-2\sqrt{2x^2+16x+18})=0<=>...$

5, $\sqrt{3-x}+\sqrt{2+x}=x^3+x^2-4x-4+|x|+|x-1|$

ĐKXĐ: $-2\leq x\leq 3$

Pt đã cho

$<=>(x+2)(x^2-x-2)+\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}-\sqrt{2+x}+\begin{vmatrix}x-1\end{vmatrix}-\sqrt{3-x}=0$

$<=>...<=>x^2-x-2=0<=>...$

6, $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^2}{1+x^2}$

ĐKXĐ: $0<x\leq 1$

Pt đã cho

$<=>(1-x)(1+x^2)^2=x(2x+x^2)^2<=>...<=>(2x-1)(x^4+2x^3+4x^2+x+1)=0<=>...$

cho x,y,z là 3 số dương x+y+z$\leq 1$

cm$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{82}$

Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:

$(x^2+\frac{1}{x^2})(1^2+9^2)\geq (x.1+\frac{1}{x}.9)^2$

$<=>\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq\frac{x+\frac{9}{x}}{\sqrt{1+81}}=\frac{x+\frac{9}{x}}{\sqrt{82}}$

CMTT

$=>\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\geq\frac{y+\frac{9}{y}}{\sqrt{82}} ;\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq\frac{z+\frac{9}{z}}{\sqrt{82}}$

$<=>\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}[(x+\frac{1}{9x})+(y+\frac{1}{9y})+(z+\frac{1}{9z})+\frac{80}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})]$

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}(2\sqrt{x.\frac{1}{9x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{9y}}+2\sqrt{z.\frac{1}{9z}}+\frac{80}{9}\frac{9}{x+y+z})($Do $a+b\geq2\sqrt{ab};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{a+b+c}\forall a,b,c>0)$ 

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{80}{1})($Do $x+y+z\leq 1$ theo gt $)$

$=\sqrt{82}=>$ĐPCM

Dấu $"="$ xảy ra $<=>...<=>x=y=z=\frac{1}{3}$

1, x^2-5y^2=17

Từ pt đã cho $=>x^2$ có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 -> Ko có nghiệm nguyên x,y

2,x^2+2x+1=37

Từ pt đã cho $=>(x+1)^2=37$ -> Ko có nghiệm nguyên x

3,x^2+x+1=xyz

Từ pt đã cho $=>xyz=x^2+x+1\neq 0<=>x^2+x+1\vdots x<=>1\vdots x<=>x\pm =1$

Thay vào pt ban đầu $=>$ tìm đc $y,z$ tùy theo $x=1$ hay $x=-1$

$\left\{\begin{matrix} (m+1)x &+ (m+1)y &=4m \\ x& + (m-2)y &2 \end{matrix}\right.$ , với m thuộc R 

tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó

Dễ thấy m=-1 thì phương trình đầu vô nghiệm.

Xét $m\neq -1 , HPT $<=>\begin{matrix} (m+1)x &+ (m+1)y &=4m \\ (m+1)x& + (m+1)(m-2)y &=2(m+1) \end{matrix}

$<=>(m+1)(m-3)y=-2m+2$ (1) ( lấy 2 phương trình trên trừ vế theo vế )

Vì m =3 thì (1) vô nghiệm nên với $m\neq 3$ thì $y=\frac{-2m+2}{(m+1)(m-3)}<=>x=\frac{4m^2-10m-2}{(m+1)(m-3)}$

Vậy, với $m\neq 3$, $m\neq -1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(\frac{4m^2-10m-2}{(m+1)(m-3)};\frac{-2m+2}{(m+1)(m-3)})$

minhf sửa rồi ạ

OK vậy bạn thay $a=2b$ vào thì tính đc $\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}=\frac{-4}{21}$ thế là xong

cho a>b>0 và a³-a²b+ab²-6b³=0

$\frac{a^{4}-4b^{4}}{b^{4}-4a^{3}}$

Từ gt suy ra $(a-2b)(a^2+ab+3b^2)=0$ mà a>b>0 suy ra a=2b

--> Thay vào ...

Mà đề bài sai sai thì phải

sau khi trừ thì kết quả sao lại = -2m +2

$2(m+1)-4m=-2m+2$, đúng ko nhỉ

$\left\{\begin{matrix} x^{3}= &2x +& y \\ y^{3}= &2y +& x \end{matrix}\right.$

Từ phương trình đầu suy ra $y=x^3-2x$

Thay vào phương trình thứ 2, ta có:

 $(x^3-2x)^3-2(x^3-2x)-x=0$ 

$<=>x^9-6x^7+12x^5-10x^3+3x=0$

$<=>x(x^2-3)(x^2-1)^3=0$

$<=>$ x=0 thì y=0

           $x=\sqrt{3}$ thì $y=\sqrt{3}$ 

           $x=-\sqrt{3}$ thì $y=-\sqrt{3}$

           x=1 thì y=-1

           x=-1 thì y=1

Vậy,..............

$2^{x}=x+1$

Áp dụng BĐT Bernoulli

$=>2^x=(1+1)^x\geq 1+x.1 \forall x \in \mathbb{N}$

Dấu $"="$ phải xảy ra

$=>x=0;x=1$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{-3}{2}$

Pt đã cho $<=>(x^2+4x+5)^2=4(2x+3)$

                $<=>x^4+8x^3+26x^2+32x+13=0$

                $<=>(x+1)^2(x^2+6x+13)=0$

                $<=>x=-1$(t/m ĐKXĐ)

Vậy,...

4,1/x+1/y=z

Từ pt đã cho $=>\frac{x+y}{xy}=z\epsilon \mathbb{Z}<=>x+y\vdots xy$

                     $<=>x\vdots y;y\vdots x<=>x=y\neq 0$

                                                    hoặc $x=-y\neq 0$ 

$+)x=-y=>(x;y;z)=(a;-a;0)\forall a\epsilon \mathbb{Z},a\neq 0$

$+)x=y=>\frac{2}{x}=z<=>xz=2<=>...<=>(x;y;z)=(...)$

Vậy, ...

5,x^-25=y^2

Có vấn đề với đề bài

[quote name="trang2004" post="714903" timestamp="1535466299"]

$(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$
<=> $(x+1)^2(x+8)=(x^2+x+4)^2$,rồi dùng hệ số bất định là ôkê. Cũng đặt $t=\sqrt{x+8}\geq0$ cũng xong nhé

Từ $(x+1)^2(x+8)=(x^2+x+4)^2=>(x-1)(x^3+2x^2+x-8)=0$ thì cái pt bậc 3 tính sao ???

 

Hai vợ chồng nhà kia sinh được một cậu con trai dễ thương mạnh khỏe. Nay đã bốn tuổi rồi… Một đêm nằm chưa ngủ được cô tâm sự với chồng.

Anh ah! Con vẫn …bú… dù em đã hết …sữa rồi ! nó vẫn cứ nhằn thôi . Nhiều hôm em đau quá không chịu được.

Người chồng cũng xót xa tiếc vợ. Rồi cũng cười nhẹ và nói.

Anh đã có cách, em bôi chút dịch gì đó vào nó bú thấy khó chịu là bỏ liền. Đêm đó người chồng lấy một lọ màu vàng ra và bôi vào nhũ hoa vợ. Hôn vợ yêu một cái cái rồi đi trực ca đêm. Đã giữa đêm rồi người chồng chợt nhớ ra là mình đã lấy nhầm lo thuốc cực độc bôi cho vợ. Anh thốt lên thôi chết rồi ba giết con rồi. Anh liền lên xe tức tốc lao về nhà. Khi về tới nhà anh thấy mọi người đang đúng rất đông quanh nhà mình.

Biết con có chuyện chẳng lành anh lại than lên trong tuyệt vọng. Con ơi ! ba giết con rồi !

Trong nhà thì phát ra tiếng xôn xao người thì bảo kệ mẹ nó cho nó chết. Người lại bảo gọi xe cấp cứu. Người cha lại càng thêm tuyệt vọng khụy gối trước cổng than khóc. Chợt có ai vỗ vào vai mình người cha vô cùng bất ngờ khi nhìn đó là con trai mình.

Lúc đó cậu khẽ nói ba ơi! sao chú hàng xóm tự nhiên lại chết trong nhà mình…

 

Đọc truyện ko bt nên khóc hay nên cười     

Chứng minh rằng nếu $2^{m}+1\vdots2^{n}+1$ thì $m\vdots n$

Đặt $m=k.n+r(k,r\in\mathbb{N};0\leq r <n)$

$=>2^m+1=2^{k.n+r}+1=2^r(2^{k.n}+1)-(2^r-1)\vdots2^n+1$

$<=>2^r-1\vdots2^n+1(Vì 2^{k.n}+1\vdots 2^n+1)$

Mà $\begin{vmatrix}2^r-1\end{vmatrix}<2^n+1(Do 0\leq r<n)$

$=>2^r-1=0<=>r=0<=>m\vdots n(ĐPCM)$

$\sqrt{x-\frac{1}{x}}+5\sqrt{1-\frac{1}{x}}+2=3x+\frac{2}{x}$

ĐKXĐ: $x\geq 1$

Pt đã cho

$<=>\sqrt{x^3-x}+5\sqrt{x^2-x}=3x^2-2x+2>0(Vì x\geq 1>0)$

$<=>x^3-x+10\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}+25(x^2-x)=(3x^2-2x+2)^2$

$<=>9x^4-13x^3-9x^2+18x+4-10\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}=0$

$<=>9(x^2-x-1)^2+5[(x^3-x)-2\sqrt{(x^3-x)(x^2-x)}]=0$

$<=>9(x^2-x+1)^2+5(x-1)\frac{(x^2+x+1)^2-4x^2(x+1)}{x^2+x+1+2x\sqrt{x+1}}=0$

$<=>(x^2-x-1)^2[9+\frac{5(x-1)}{x^2+x+1+2x\sqrt{x+1}}]=0$

$<=>x^2-x-1=0(Vì 9+\frac{5(x-1)}{x^2+x+1+2x\sqrt{x+1}}>0 do x\geq 1 )$

$<=>x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(Vì \frac{1-\sqrt{5}}{2}<1\leq x)$

Vậy$, ...$

$-----------------------------------$

P/s: Nếu mấy bài phương trình bạn đã đăng mà bạn đã có cách giải thì bạn đăng lên luôn hộ mình nhé.

Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm I trong tam giác ABC sao cho IA + IB + IC nhỏ nhất.

Thực hiện phép quay tâm B, với góc quay 60 độ biến I thành J và biến A thành A’. Khi đó tam giác BIJ đều, vì BI =BJ và B = 60 độ → BI = IJ. Mặt khác, AI = A’J do phép quay là một phép dời hình biến một đoạn thành một đoạn bằng nó. 
Ta có 

• BI = IJ
• AI = A’J

Vậy S = A’J + JI + IC. Lại là một đường gấp khúc. Để S min thì I, J phải nằm trên đường thẳng A’C sao cho BIJ là tam giác đều. Vậy cách dựng như sau

• Bước 1: Dựng A’ là ảnh của A qua phép quay tâm B một góc 60 độ
• Bước 2: Kẻ BH vuông góc A’C. Sau đó lấy I trên A’C sao cho BHI = 30 độ.

Vậy I là điểm cần tìm

Nguồn: https://diendan.hocm...r-rocky.117942/