$\boxed{15}$ Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa $ab+bc+ca=11$. Chứng minh rằng 

$$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq 100$$

Nhận thấy rằng: $100=10^2=(ab+bc+ca-1)^2$.

Vậy từ đó ta đưa về chứng minh bất đẳng thức sau: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq (ab+bc+ca-1)^2$.

Ta còn có được đẳng thức sau:

$(b^2+1)(c^2+1)=b^2c^2+b^2+c^2+1=(bc-1)^2+(b+c)^2$.

Từ đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(a^2+1)[(b+c)^2+(bc-1)^2] \geq [a(b+c)+(bc-1)]^2=(ab+bc+ca-1)^2$.

Chứng minh hoàn tất!

Câu 1: Tìm các số x, y, z biết: $\frac{xy}{2y+4x}=\frac{yz}{4x+6y}=\frac{zx}{6x+2z}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2^{2}+4^{2}+6^{2}}$

Câu 2: Tìm GTLN của biều thức: $P=(2x+5y)^{2}-(15y-6x)^{2}-|xy-90|$

Câu 3: Tìm x, y biết: $\frac{6}{(x-1)^{2}+2}=|y-1|+|y-2|+|y-3|+1$

Câu 4: Cho $M=\frac{1}{15}+\frac{1}{105}+\frac{1}{315}+...+\frac{1}{9177}$. So sánh $M$ với $\frac{1}{12}$

Còn nữa nhưng mỏi tay rồi.

Các bạn giúp mình nhé, gần tới ngày nộp rồi.

Câu 2: Trích lời giải đề thi hsg lớp 12 sở GD-ĐT tỉnh Thái Nguyên năm học 2018-2019

Sử dụng bổ đề $1$ trong https://diendantoanh...q-2a2b2c2sqrt3/

Cho em hỏi làm sao để biết những bổ đề này mà áp dụng ạ?

Cho các số dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq 1+(a^3+b^3+c^3-3abc)^2$$

1) Với các số thực dương $a,b,c$, tìm GTNN của biểu thức:

$$Q=\frac{1}{(a+b)^3}+\frac{1}{(b+c)^3}+\frac{1}{(c+a)^3}+\frac{(ab+bc+ca)^2}{32}$$.

2) Với các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{5(x+y+z)}{3}+\frac{x}{y^3+z^3+1}+\frac{y}{z^3+x^3+1}+\frac{z}{x^3+y^3+1}\geq 6$$.

Ps: Mới thêm đề

$2$) Gợi ý: Bổ đề:  $\forall x,y,z>0$, ta có bđt:

$$\frac{\left(\sum x^{2}\right)^{2}}{2\sum x^{3}y^{3}+\sum x^{3}}\geq \frac{9}{\left(\sum x\right)^{2}}$$

Làm sao để chứng minh bổ đề này vậy ạ?

Cho $$\begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2}}\leqslant c\leqslant \min\left \{ a\sqrt{2};b\sqrt{3} \right \} \\ a+c\sqrt{3} \geqslant \sqrt{6} \\ b\sqrt{3}+c\sqrt{10}\geq 2\sqrt{5} \end{cases}$$.

Chứng minh rằng: $$\frac{1}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{3}{c^2}\leqslant \frac{118}{15}$$.

Cho các số dương $x,y,z$. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$$\frac{\sqrt{xy}}{1+\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}+\sqrt{\frac{2\sqrt{yz}}{1+\sqrt{xy}}}\geqslant2$$

Ps: Sorry mọi người vì cái tiêu đề ạ, nó bị giới hạn kí tự rồi

Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=2$ và $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{2}{3}\leq a^2b+b^2c+c^2a\leq \dfrac{10}{9}$$

Cho tam giác $ABC,O$ là trung điểm $BC.$ Từ $B$ kẻ $BD \perp AC(D \in AC).$ Từ $C$ kẻ $CE \perp AB(E \in AB).$ Trên tia đối của tia $DE$ lấy điểm $N,$ trên tia đối của tia $ED$ lấy điểm $M$ sao cho $DM=EN.$ Chứng minh tam giác $OMN$ là tam giác cân.

$\boxed{4}$ $:$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. $(I)$ tiếp xúc với $AB$, $AC$ tại $E$, $F$. Tiếp tuyến tại $E$ của $(IEC)$ cắt tiếp tuyến tại $F$ của $(IFB$) tại $P$. Chứng minh $AP$, $OI$, $BC$ đồng quy

Em vẽ nó đâu đồng quy đâu nhỉ?

Ps: Vừa vào lớp 10 thấy hình học ghê quá

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^3-y^3=9y^2+36y+63 \\ x^2-y^2+x=4y \end{cases}$

Ps: Em gõ đề có chút sai sót, mọi người thông cảm ạ

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2x^2+3xy+y^2+3x+2y+1=0 & \\ 4x^2-y^2+x+4=\sqrt{2x-y}+\sqrt{x-4y} & \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} \sqrt{x^2+5}=y^2-\sqrt{y-1} \\ \sqrt{y^2+5}=z^2-\sqrt{z-1} \\ \sqrt{z^2+5}=x^2-\sqrt{x-1} \end{cases}$

Ps: Sorry mọi người lại vì cái tiêu đề ạ, lại ko đủ ký tự

Tìm số thực $k$ bé nhất sao cho với mọi bộ ba số thực không âm $a,b,c$, ta luôn có:

$$abc+k\bigg[\big(a-b\big)^2+\big(b-c\big)^2+\big(c-a\big)^2\bigg]+2\geq a+b+c$$

Dễ thấy $k\geq 0$ vì nếu $k<0$ thì ta chỉ cần chọn $a,b,c$ sao cho $abc+2<a+b+c$ thì ta có ngay điều vô lí.

Thay $a=0;b=c$ ta có $2kb^2+2\geq 2b,\forall b\geq 0$.

Cho $b=2$ thì $k\geq \frac{1}{4}$.

Ta sẽ chứng minh nếu $k=\frac{1}{4}$ thì bất đẳng thức đúng với mọi $a,b,c\geq 0$.

Đặt $f(a,b,c)=2abc+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+4-2(a+b+c)$.

Xét 2 trường hợp:

+) $a,b,c\geq 3$: Dễ dàng chứng minh được $abc+2\geq a+b+c$.

+) Tồn tại một số trong ba số $a,b,c$ nhỏ hơn 3: Giả sử $a\leq 3$.

Ta có $f(a,b,c)-f\left(a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2}\right)=\frac{3}{2}(b-c)^2-\frac{a(b-c)^2}{2}\geq 0$.

Đặt $\frac{b+c}{2}=t$ thì ta chỉ cần chứng minh $f(a,t,t)\geq 0\Leftrightarrow t^2(2a+1)-t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0$.

Xét VT là tam thức bậc hai đối với $t$. Ta có $\Delta' =-2a(a-1)^2\leq 0,\forall a\geq 0\Rightarrow t^2(2a+1)-2t(a+2)+(a^2-2a+4)\geq 0,\forall a,t\geq 0$.

Từ đó $f(a,b,c)\geq f(a,t,t)\geq 0$ nên bất đẳng thức đúng với $k=\frac{1}{4}$.

Vậy $k_{min}=\frac{1}{4}$.

Nếu mình nhìn không nhầm thì hình như bạn chưa chứng minh giá trị $k=\frac{1}{4}$ đó là nhỏ nhất đúng ko?