1*1/3*1/3=1/9

Ans:2/9

Sorry...

Cho mình hỏi :
[quote name="Hoang72" post="724942" timestamp="1617550856"]Hình như nếu thay 7 bằng 8 thì vẫn đúng
Chia bảng đã cho thành 16 ô 2x2.
Ta chia các số tự nhiên không vượt quá 16 thành các tập hợp: {0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14}, {3; 9}, {5}, {7}, {11}, {13}.
- Số 1,15, 16 thuộc tập nào?

Rõ ràng hai số thuộc cùng một tập hợp không thể nằm trong cùng 1 ô 2x2.Phát biểu này tương đương với "hai số không thuộc cùng một tập hợp thì có thể nằm trong cùng 1 ô 2x2."
- Điều này ko đúng. Tdụ:số 0 không thể đứng trong bất kỳ ô 2x2 nào!

Số 0 ko thỏa yc bài toán nên nó ko xuất hiện trên bảng. Mình nghĩ như sau:
Ta có 16 ô 2x2. Để thỏa đề bài thì trong mỗi ô này nhiều nhất có 1 số chia hết cho 2 và cũng nhiều nhất có 1 số chia hết cho 3. Thế thì còn lại 64-(16+16)=32 ô 1x1 chứa ít nhất các số đồng thời ko chia hết cho 2 và ko chia hết cho 3, tức là 32 ô này chỉ chứa các số 1, 5, 7, 11, 13.
Ta có : 32/5= 6 dư 2, theo nguyên lý Dirichlet thì sẽ có số trong các số 1,5,7,11,13 xuất hiện trong bảng ít nhất 7 lần.

1 ý nhỏ trong bài toán n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ.
Với mỗi cách lấy k bức thư từ n bức, có (n-k)! cách để bỏ k lá thư này đúng địa chỉ.
 
Em nghĩ mãi mà không hiểu được chỗ này, mọi người giúp em với ạ

Bỏ k lá thư đúng địa chỉ: chỉ có duy nhất 1 cách;còn lại n-k bức thư thì có (n-k)! cách bỏ lá thư vào phong bì.Do đó, có 1x(n-k)!cách bỏ k lá thư đúng địa chỉ.

Một cái thùng có thể chứa 14 kg quýt hoặc 21 kg nhãn. Nếu ta chứa đầy thùng đó bằng cả quýt lẫn nhãn mà giá trị tiền của quýt bằng giá trị tiền của nhãn thì số cân trong thùng sẽ cân nặng 18 kg và có tổng giá trị là 480000 đồng. Tìm giá tiền 1 kg quýt; 1 kg nhãn?

Lập tỉ số quýt/nhãn=14/21=2/3, điều này có nghĩa là 1kg quýt chiếm cùng thể tích với 1,5kg nhãn.Như vậy,khối lượng tăng thêm 18-14=4kg là do có 1 số lượng quýt được thay bằng 1 số lượng nhãn, khối lượng quýt bị thay là :
4/(1,5-1)=8kg do đó kl quýt trong sọt hỗn hợp là 14-8=6kg, và nhãn là :18-6= 12kg.Gọi x,y lần lượt là giá 1kg quýt, 1kg nhãn thì theo đề bài ta có :
2.6.x=480000-->x=40000đ và y=240000/12=20000đ
Ủa, quýt mắc hơn nhãn sao ta !

 

Câu 1. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[0;+\infty)$ đồng thời thỏa mãn

 \[f(x+y)=f(x)f(y) \text{ và } f(1)=\dfrac{1}{2}.\]

1. Tính $f(0)$; $f(2)$ và $f(3)$.
2. Đặt $S_n=f(1)+f(2)+\cdots+f(n)$ với $n\in \mathbb{N}$. Tính $\lim\limits_{n\to +\infty} S_n$.

Câu 2. Tìm điều kiện của tham số $m$ để hệ phương trình sau đây có đúng một nghiệm

 \[\left\{\begin{aligned}&x^3=y^2+7x^2-mx \\&y^3=x^2+7y^2-my\end{aligned}\right.\,(x,y\in \mathbb{R}).\]

Câu 3. Một mẫu vé vào cửa có số sê-ri gồm $5$ chữ số từ $00000$ đến $99999$. Khi vào cửa khách hàng được khuyến mãi một thức uống miễn phí nếu vé đó có hai chữ số liền kề trong $5$ chữ số có hiệu bằng $5$ (ví dụ $01\underline{38}4$). Hỏi có bao nhiêu vé có số sê-ri mang đặc điểm này?

Câu 4.  Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều $ABC.A'B'C'$ cạnh đáy bằng $a$. Lấy điểm $B_1$ thuộc $BB'$, điểm $C_1$ thuộc $CC'$. Đặt $BB_1=x$; $CC_1=y.$

1. Chứng minh rằng tam giác $AB_1C_1$ vuông tại $B_1$ khi $2xy=2x^2+a^2$.
2. Giả sử tam giác $AB_1C_1$ là tam giác thường và $B_1$ là trung điểm của $BB'$ và $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(AB_1C_1)$, cho $y=2x$. Tính diện tích tam giác $AB_1C_1$ và độ dài cạnh bên của lăng trụ đã cho theo $a$ và $\alpha$.

Câu 5. Cho $a^2+b^2+C^2=4$, $x\in \left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $y=a+b\sqrt{2}\sin x+c\sin 2x$.

Câu 6. Có $2025$ đồng xu hai mặt (mặt sấp và mặt ngửa) được đánh số thứ tự từ $1$ đến $2025$, tất cả đều để ngửa. Thực hiện các thao tác sau:

  Lần 1: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thự tự là bội của $1$.

  Lần 2: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thự tự là bội của $2$.

  Lần 3: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thự tự là bội của $3$.

  $\ldots\ldots\ldots$

  Lần 2025: Lật mặt tất cả các đồng xu có số thự tự là bội của $2025$.

 Hỏi có bao nhiêu đồng xu ngửa sau lần lật thứ $2021$?

 

Câu 3:

Số vé phát hành: $10^{5}$

Số vè không có khuyến mãi nước uống:

$10\cdot9^{4}$

Số vé có khuyến mãi là:

$10^{5}-10\cdot9^{4}=\boxed { 34390 }$

 

Câu 6:

Nhận xét:

1/  Tại  lần lật thứ $i$, những đồng xu có số thừ tự là bội của $i$ sẽ được lật. Để đồng xu là ngửa như lúc ban đầu thì $i$ phải là số chẵn, điều này có nghĩa là số thứ tự của đồng xu phải có số các ước là số chẵn.

2/  Trong tập số tự nhiên, số các ước của số chính phương là số lẻ.

Trở lại bài toán, giả sử ta lật 2025 lần, mà 2025 là số chính phương $45^{2}=2025$. Do đó số đồng xu ngửa là:

$2025-45=1980$

Nhưng ta chỉ xét đến lần lật thứ 2021 nên các đồng xu thứ 2022, 2023, 2024 sẽ sấp và đồng xu thứ 2025 là ngửa. Như vậy, sau 2021 lần lật thì số đồng xu ngửa là:

$1980-3+1=\boxed {1978}$

 

 

 

 

 

 

1. Tìm hệ thức truy hồi cho số các xâu có độ dài n được tạo từ các phần tử của tập {a,b,c}, chưa hoặc các xâu con aa hoặc các xâu con bb?
2. Tìm hệ thức truy hồi cho xâu có độ dài n (n >4 ) được tạo từ các phần tử của tập {x,y,z,t} và không chứa các xâu con xx, yy, zz, tt?

1/ Gọi $A_{n},B_{n},C_{n} $ lần lượt là tập các xâu kích thước $n$ thỏa đề bài và tận cùng là $a, b, c$. Như vậy số các xâu thỏa yêu cầu là $S_{n}=\left | A_{n} \right |+\left | B_{n} \right |+\left | C_{n} \right |$.
Ta có:
$\left | C_{n} \right |=\left | A_{n-1}\right | +\left | B_{n-1}\right | +\left | C_{n-1}\right | $
$\left | A_{n} \right | =\left | B_{n-1}\right | +\left | C_{n-1}\right |$
$\left | B_{n} \right |=\left | A_{n-1}\right |+\left | C_{n-1}\right |$
Công vế với vế:
$S_{n} =2S_{n-1} +\left | C_{n-1}\right |=2S_{n-1}+(\left | A_{n-2}\right | +\left | B_{n-2}\right | +\left | C_{n-2}\right | )$ hay ta có hệ thức truy hồi:
$S_{n} =2S_{n-1}+S_{n-2},n \geq 3 $

2/ Lâp luận tương tự bài 1/, ta có:
$\left | X_{n} \right | =\left |Y_{n-1} \right | +\left |Z_{n-1} \right | +\left |T_{n-1} \right | $
$\left | Y_{n} \right | =\left |X_{n-1} \right | +\left |Z_{n-1} \right | +\left |T_{n-1} \right | $
$\left | Z_{n} \right | =\left |X_{n-1} \right | +\left |Y_{n-1} \right | +\left |T_{n-1} \right | $
$\left | T_{n} \right |=\left |X_{n-1} \right | +\left |Y_{n-1} \right | +\left |Z_{n-1} \right | $
Cộng vế với vế:
$S_{n} =3(\left |X_{n-1} \right | +\left |Y_{n-1} \right | +\left |Z_{n-1} \right | +\left |T_{n-1} \right | ) $ hay ta có HTTH :
$S_{n} =3S_{n-1},n \geq 2 $

Ý 1 hình như cách giải đó là không chứa xâu con aa và bb, chứ không phải là hoặc chứa aa, hoặc chứa bb. Anh giải sai rồi hay sao ạ

Hihi, Lỡ rồi thì mình tính phần bù vậy:
$N_{n}=3^{n}-S_{n}=3^{n} -\left ( 2S_{n-1}+S_{n-2} \right )$, giá trị khởi tạo :$S_{1}=3,S_{2}=7$

Có 70 viên bi, trong đó có 20 bi đỏ, 20 bi xanh, 20 bi vàng, 5 bi trắng và 5 bi đen. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên bi để chắc chắn có:
a. Hai viên bi khác màu. b. Hai viên bi cùng màu.
c. Mười viên bi cùng màu. d. Có đủ tất cả các màu bi

a/ $20 + 1 = 21$ viên
b/ $5 + 1 = 6 $viên
c/$ (5+5+9+9+9)+1 = 38 $viên
d/$ (5+5+20+20)+1 = 51$ viên

Cho tập hợp $A=\{1,2,3,\cdots,15\}$. Hỏi có bao nhiêu tập con có $4$ phần tử sao cho không có $2$ phần tử nào liên tiếp?

Không mất tính tổng quát, gọi $X=\left \{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} \right \}$ với $1\leq x_{1}< x_{2}< x_{3}< x_{4}\leq 15$ là tập con 4 phần tử thỏa yêu cầu. Gọi $d$ là tổng các hiệu giữa các $x_{i}$ liên tiếp thì ta có $d=15-1=14$. Ta có hình minh họa sau:
$$\underset{d_{0}}{\underbrace{\cdots}}x_{1}\underset{d_{1}}{\underbrace{\cdots}}x_{2}\underset{d_{2}}{\underbrace{\cdots}}x_{3}\underset{d_{3}}{\underbrace{\cdots}}x_{4}\underset{d_{4}}{\underbrace{\cdots}}$$
được biểu diễn bởi:
$\left\{\begin{matrix} d_{0}+d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4} &=14 \\ d_{0},d_{4}\geq 0; d_{1,2,3}\geq 2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} d_{0}+d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4} &=8 \\ d_{i}\geq 0 & \end{matrix}\right.\left ( * \right )$
Số nghiệm của $\left ( * \right )$ chính là số tập con 4 phần tử thỏa yc đề bài và bằng $C_{8+5-1}^{5-1}=C_{12}^{4}=\boxed{495}$

----------------------------
Đề nghị mở rộng bài toán qua bài :
Tính số tập con khác rỗng của tập $A=\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ không chứa 2 số nguyên liên tiếp.

Phải tính trường hợp xấu nhất có thể xảy ra chứ, nếu chọn như câu d thì sẽ xảy ra trường hợp 51 viên 3 màu đỏ, xanh, vàng.

Rữ quá! Dạ, tiểu đệ đắc tội. xin lỗi đại ca ạ.

Chứng minh rằng:
\[(n+1)^n\ge2^nn!,\forall n\in\mathbb{N}. \]

Ta có thể dùng PP qui nạp để giải bài này, tuy nhiên mình sẽ trình bày một cách tiếp cận khác:
Gọi số tự nhiên $k\leq n$ dễ thấy: $k\cdot\left ( n+1-k \right )> 0$
Đặt $k= \frac{n+1}{2} +\frac{2k-n-1}{2}$ và $n+1-k=\frac{n+1}{2} -\frac{2k-n-1}{2}$ thì:
$k\cdot\left ( n+1-k \right )= \left (\frac{n+1}{2} +\frac{2k-n-1}{2} \right )\cdot\left (\frac{n+1}{2} -\frac{2k-n-1}{2} \right )=\left (\frac{n+1}{2} \right )^{2} -\left (\frac{2k-n-1}{2} \right ) ^{2}\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
Cho $k$ chạy từ $1$ đến $\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$ ta có các bất đẳng thức :

$k=1\rightarrow 1\cdot n\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$k=2\rightarrow 2\cdot\left ( n-1 \right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$k=3\rightarrow 3\cdot\left ( n-2 \right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$\cdots\cdots$
$k=\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor-2\rightarrow\left ( \frac{n}{2} -2 \right )\cdot\left ( \frac{n}{2} +3\right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$k=\left \lfloor \frac{n}{2}\right \rfloor-1 \rightarrow\left ( \frac{n}{2} -1 \right )\cdot\left ( \frac{n}{2} +2 \right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$k=\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\rightarrow \frac{n}{2} \cdot\left ( \frac{n}{2} +1 \right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên:
$1\cdot2\cdot3\cdots\frac{n}{2}\cdot\left ( \frac{n}{2}+1 \right )\cdot\left ( \frac{n}{2}+2 \right )\cdots\left ( n-2 \right )\cdot\left ( n-1 \right )\cdot n\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{n}$ hay $\boxed{n!\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{n}}$

Trong game CS:GO, Vũ phải đối mặt với tình huống 1 đấu 5. Vũ sử dụng súng tỉa có thể tiêu diệt kẻ địch chỉ với 1 phát bắn, tuy nhiên súng chỉ còn lại 6 viên đạn. Trình độ của Vũ có $80\%$ bắn trúng kẻ địch, mỗi viên đạn tiếp theo giảm đi $10\%$ độ chuẩn xác. Tính xác xuất để Vũ tiêu diệt cả 5 địch thành công.

Gọi $P_{k} \left ( A \right )$ là XS tiêu diệt 5 kẻ địch với $k$ phát đạn thì ta có :
$P_{5} \left ( A \right )=\frac{8\times7\times6\times5\times4 }{10^{5}} =\frac{42}{625}$
$P_{6} \left ( A \right )=\sum_{i=1}^{5} \prod_{j=1}^{6} \left | \delta(i,j)-\frac{9-j}{10} \right | =\frac{969}{12500}$
XS cần tìm :
$ \frac{42}{625}+ \frac{969}{12500}=\frac{1809}{12500}$
Ghi chú :
$\delta(i,j) = \begin{cases} 0 & \text{nếu } i \neq j \\ 1 &\text{nếu } i = j \end{cases} $

Cho số tự nhiên $N$ thoả:
$$\displaystyle N = 9 + 99 + 999 + 9999 + \cdots + \underbrace{99\ldots 99}_\text{2020 chữ số}.$$
Tính tổng các chữ số của $N$.

Ta có :
$9+99+...+\underset{\text{2020 chữ số}}{\underbrace{99...9}}=(10-1)+(10^{2}-1)+...+(10^{2020}-1)= \underset{\text{A}}{ \underbrace{10+10^{2}+...+10^{2020}}}-2020$
Tổng phần $A$ là một số gồm các chữ số $1$ và có 5 chữ số cuối là $...11110$. Ta thấy :
$11110-2020=9090$
Vậy tổng chữ số của $N$ là :
$(2020-4)+9+9=\boxed{2034}$.

B1. Tìm hệ thức truy hồi và điều kiện khởi tạo để tính số cách đi lên bậc thang
nếu có thể đi 1 hoặc 2 bước một lần.

B2 Trong một nhóm có 6 người, trong đó có 2 người là bạn hoặc là thù của
nhau. Chứng tỏ rằng luôn tìm được một nhóm có ba người là bạn hoặc là thù của
nhau

B3 Cho tập hợp X gồm 7 phần tử, X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, anh (chị) hãy chỉ ra
cách tìm tập con kế tiếp của tập 4 phần tử {3, 4, 5, 7}


giải chi tiết giúp mình nhá

B!: Gọi $a_{n}$ là số cách bước lên cầu thang $n$ bậc thỏa đề bài. Bắt đầu bước lên cầu thang ta có 2 TH:
- Đi 1 bậc: có $a_{n-1}$ cách.đi các bậc thang còn lại.
- Đi 2 bậc: có $a_{n-2}$ cách.đi các bậc thang còn lại.
Theo qui tắc cộng, ta có hệ thức truy hồi:
$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$; $n> 2$; đk khởi tạo: $a_{1}=1, a_{2}=1$

B2: Để dễ hình dung ta biểu diễn 6 người là 6 điểm trên mặt phẳng, ta nối 2 điểm bất kỳ bằng đoạn thẳng xanh ( tượng trưng quan hệ là bạn) hoặc màu đỏ ( tượng trưng quan hệ là thù). như vậy bài toán đã cho trở thành: Cho 6 điểm trên mặt phẳng, 2 điểm bất kỳ được nối với nhau bởi 1 đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm mà các đoạn thẳng nối chúng cùng màu.
Gọi A là 1 điểm bất kỳ trong 6 điểm, Vì các đoạn thẳng nối A với 5 điểm chỉ có 1 trong 2 màu xanh hoặc đỏ cho nên, theo nguyên lý Dirichlet, sẽ có 1 màu xuất hiện ít nhất 3 lần. WLOG, giả sử A nối với B, C, D bằng 3 đoạn thẳng màu xanh.
Nhận thấy:
Nếu BC, CD, BD là màu xanh thì lần lượt các tam giác ABC, ACD, ABD đều là các tam giác có các cạnh là màu xanh.và ngược lại, nếu cả 3 cạnh BC, CD, BD không là màu xanh thì tam giác BCD có các cạnh là màu đỏ. Điều này chứng tỏ rằng luôn luôn tồn tại 3 điểm mà các đọan thẳng nối chúng cùng màu.

B3: Ta có thể dùng phương pháp liệt kê theo thứ tự từ điển để tìm sinh tổ hợp chập $k$ của tập $X$ có $n$ phần tử. Có thể xây dựng tổ hợp liền sau tổ hợp $a_{1}a_{2}...a_{k}$ bằng cách : trước hết, tìm phần tử đầu tiên $a_{i}$ trong dãy đã cho từ phải qua trái sao cho $a_{i}\leq n-k+i$; sau đó thay $a_{i}$ bằng $a_{i}+1$ và các phần tử phía sau cộng dồn 1 đơn vị. Cụ thể:
Trong bài toán này thì $k=4$ và $n=7$. Ta thấy, từ phải qua trái $a_{3} =5$ là số hạng đầu tiên của tổ hợp thỏa điều kiện $a_{i}\leq 7-4+i$ (mặc dù trước đó $a_{4}=7$ đã thỏa đk này nhưng do đã đạt giá trị max nên không tăng được nữa). Để nhận được tổ hợp tiếp theo sau ta tăng $a_{i}$ lên 1 đơn vị, tức $a_{3}=6$ và đặt $a_{4}=6+1=7$. Vậy tổ hợp liền sau tổ hợp $\left \{ 3,4,5,7 \right \}$ là tổ hợp $\left \{ 3,4,6,7 \right \}$.

Biểu thức đã cho là khai triển của nhị thức :
$y=\left ( x^{2}-1 \right )^{5}= x^{10}-5.x^{8}+10x^{6}-10x^{4}+5x^{2}-1 $
Trong đó, Các hệ số 1, -5, 10, -10, 5, -1 là 6 phần tử thuộc dòng thứ 5 trong tam giác Pascal.
$\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1$

Câu 4: Gọi $x>0$ là số bộ quần áo may trong 1 ngày theo kế hoạch. Theo đề bài ta có :
$\frac{1200}{x}=\frac{1200}{x+10}+4 \Leftrightarrow x^{2}+10x-3000=0$
Giải ra ta chọn $\boxed {x=50}$.

Câu 5: Thể tích 5 viên bi là:
$5\cdot\frac{4}{3}\cdot \Pi\cdot r^{3}=\frac{20}{3}\Pi$
Khi bỏ 5 viên bi vào làm nước trong cốc dâng lên :
$\frac{\frac{20}{3}\Pi }{
\Pi\cdot R^{2} }\cdot =\frac{20}{27}$ cm
và cách miệng cốc:
$(15-10)-\frac{20}{27}= \frac{115}{27} \approx 4,26 $ cm

Câu 7: Căn cứ thông tin trên, thì:
- Đào mặc áo và khẩu trang màu trắng,
- Trúc mặc áo hồng và khẩu trang xanh,
- Mai mặc áo xanh và khẩu trang hồng.

Bài 2: (Dạng toán này thấy quen quen,gặp hồi học lớp 5, lớp 6 gì đó).
a/ Số chữ số mà ta viết được khi viết đến số 1999 là:
$9+90\times2+900\times3+1000\times4=189+2700+4000=6889$
Khi viết từ số 2000 đến 2021 thì số chữ số viết được là :
$(2021-2000+1)\times 4= 88$
Vậy số chữ số của A là :
$6889+88=6977$
b/ Số chữ số mà ta viết được khi viết đến số 99 là:
$9+90\times2= 189$
và còn lại số các số có 3 chữ số là :
$\frac{2021-189}{3}= \frac{1832}{3}=610$ dư $2$.
Như vậy ta viết đến số:
$99+610=709$
Vậy chữ số thứ 2019 là chữ số 9 (của số 709) suy ra chữ số thứ 2021 là chữ số $1$ của số 710.

Câu III: Ta áp dụng định lý thặng dư Trung Hoa:

Gọi $x$ là số nguyên, có thể không nhỏ nhất, thỏa đề bài. Với $i=\overline{1,4}$ ta có:

$x\equiv b_{i}\pmod {n_{i}}$

$N=\prod_{i=1}^{4}n_{i}=7\cdot9\cdot11\cdot13=9009; N_{i}=\frac{N}{n_{i}}$. thì $x=\sum_{i=1}^{4}b_{i}N_{i}x_{i}\pmod N.$

Tiến hành tính toán

$\square$ $b_{1}=3; N_{1}=9\cdot11\cdot13=1287$

$1287x_{1}\equiv 1\pmod 7 \Rightarrow 6x_{1}\equiv 1\pmod 7\Rightarrow x_{1}\equiv 6\pmod 7$

$\Rightarrow b_{1}N_{1}x_{1}=3\cdot 1287\cdot 6=23166$

$\square$ $b_{2}=4; N_{2}=7\cdot11\cdot13=1001$

$1001x_{2}\equiv 1\pmod 9 \Rightarrow 2x_{2}\equiv 1\pmod 9\Rightarrow x_{2}\equiv 5\pmod 9$

$\Rightarrow b_{2}N_{2}x_{2}=4\cdot 1001\cdot5=20020$

$\square$ $b_{3}=5; N_{3}=7\cdot9\cdot13=819$

$819x_{3}\equiv 1\pmod {11} \Rightarrow 5x_{3}\equiv 1\pmod{11}\Rightarrow x_{3}\equiv 9\pmod {11}$

$\Rightarrow b_{3}N_{3}x_{3}=5\cdot 819\cdot 9=36855$

$\square$ $ b_{4}=6; N_{4}=7\cdot9\cdot11=693$

$693x_{4}\equiv 1\pmod {13 }\Rightarrow 4x_{4}\equiv 1\pmod {13}\Rightarrow x_{4}\equiv 10\pmod {13}$

$\Rightarrow b_{4}N_{4}x_{4}=6\cdot 693\cdot 10=41580$

$\Rightarrow x\equiv (23166+20020+36855+41580)\pmod {9009}$

$x\equiv 121621\pmod {9009}$

$x\equiv 4504\pmod {9009}$

Vậy $n=\boxed {4504}$

Thử lại:

$4504\equiv 3\pmod {7}$

$4504\equiv 4\pmod {9}$

$4504\equiv 5\pmod {11}$

$4504\equiv 6\pmod {13}.$

 

 

Có 10 hành khách bước ngẫu nhiên vào 4 toa tàu khác nhau. Tính xác suất để có đúng hai toa tàu mà mỗi toa có đúng 3 hành khách.

Mỗi người có 4 cách lên tàu, nên số phần tử không gian mẫu là : $4^{10}$
Chọn 3 người lên toa thứ nhất :$C_{10}^{3}\cdot C_{4}^{1}$
Tiếp đến,chọn 3 người lên toa thứ hai: $C_{7}^{3}\cdot C_{3}^{1}$
Số cách lên tàu của 4 người cuối :$2^4$
Trong số đó, có trường hợp có 3 toa mà mỗi toa có đúng 3 người :$C_{10}^{1}\cdot C_{4}^{1}\cdot C_{9}^{3}\cdot C_{6}^{3}\cdot C_{3}^{3}$
Vậy XS cần tìm là :$\frac{C_{10}^{3}\cdot C_{4}^{1}\cdot C_{7}^{3}\cdot C_{3}^{1}\cdot2^4-C_{10}^{1}\cdot C_{4}^{1}\cdot C_{9}^{3}\cdot C_{6}^{3}\cdot C_{3}^{3} }{4^{10}}$

Kiểm tra lại, đúng là XS quá lớn! Xin cảm ơn anh Chanhquocnghiem đã chỉ bảo.
Vậy sai thì sửa, mình xin trình bày lại như sau :
Chọn 4 người có $C_{10}^{4}$ cách, chọn 2 toa có $C_{4}^{2}$ cách, gọi là toa 1 và toa 2 thì số người lên toa 1 có thể là :
- 0 người :1 cách
- 2 người :$C_{4}^{2}$ cách
- 4 người :1 cách
Như vậy có 8 cách để 4 người lên 2 toa này.
Và 6 người còn lại có $C_{6}^{3}$ cách lên 2 toa mỗi toa 3 người.
Vậy XS cần tìm là :
$\frac{C_{10}^{4}
\cdot C_{4}^{2}\cdot 8\cdot C_{6}^{3} }{4^{10}}=\frac{201600}{4^{10}}=0,19226 $

Gọi $S_n$ là số lượng xâu nhị phân có có độ nài $n$ trong đó tồn tại ít nhất 1 xâu con $01$. Tìm hệ thức truy hồi của $S_n$.

Các xâu thỏa đề bài chỉ có 2 dạng:
- xA: với A là xâu thỏa đề bài dài n-1 bít, do x có thể là 0 hoặc 1 $\rightarrow$ số xâu dạng này là $2S_{n-1}$.
- 01B: với B là xâu dài n-2, không chứa xâu con 01$\rightarrow$ số xâu dạng này là $2^{n-2}-S_{n-2}$.
Vậy ta có HTTH:
$S_{n}=2S_{n-1}-S_{n-2}+2^{n-2}$, giá trị khởi tạo $ S_{1}=0, S_{2}=1 $.
Nhận xét : các xâu không thỏa đề bài phải có dạng 111....000, nên $S_{n}=2^{n}-(n+1)$.

S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số chọn được chia hết cho 15

Các số thỏa đề bài có dạng $\overline{abcd}$ với $d=0$ và $3\mid(a+b+c)$ hoặc $d=5$ và $a+b+c\equiv 1 \!\!\pmod 3$.
$\blacksquare$ Với $d=0$ :
Ta có số dư theo modulo 3 của các chữ số i sau:
$$\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\boldsymbol {\textbf{chữ số $i$}} &1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
\hline \boldsymbol {i\!\!\pmod 3}& 1&2&0&1&2&0&1&2&0\\  
\end{array}.$$
Như vậy có 3 chữ số ứng với mỗi số dư 0, 1, 2 modulo 3.Ta có :
(0,0,0), (1,1,1), (2,2,2):có $3C_{3}^{3}$ tập.
(0,1,2): có $(C_{3}^{1})^3$ tập
Vậy có $3!(3+27)=180$ số
$\blacksquare $ Với $d=5$:
Ta có bảng sau:
$$\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|cc}\boldsymbol {\textbf{chữ số $i$}}&0&1&2&3&4&6&7&8&9 \\
\hline \boldsymbol {i\!\!\pmod 3}& 0&1&2&0&1&0&1&2&0\\  
\end{array}$$
Ta thấy có 4 chữ số có số dư 0 mod 3, 3 chữ số có số dư 1 mod 3, 2 chữ số có số dư 2 mod 3. Tiến hành tính các số có $a+b+c\equiv 1 \!\!\pmod 3$ kể cả $a=0$:
(0,0,1):có $C_{4}^{2}\cdot C_{3}^{1}$
(0,2,2): có $C_{4}^{1}\cdot C_{2}^{2}$
(1,1,2):có $C_{3}^{2}\cdot C_{2}^{1}$
Có $3!(18+4+6)=168$ số
Trong đó, số các số có $a=0$ là :
(0,1):$C_{3}^{1}\cdot C_{3}^{1}$
(2,2):$C_{2}^{2}$
Có $2!(9+1)=20$ số
XS cần tìm :
$P=\frac{180+168-20}{9\cdot9\cdot8\cdot7}=\frac{41}{567}$