Bài 1 :
b) Xác suất lấy được $1$ sp tốt và $1$ sp xấu là $C_2^1.0,17.(1-0,17)=0,2822$

Bài 2 :
b) Gọi $D$ là biến cố có ít nhất $1$ viên trúng đích $\Rightarrow P(D)=0,994$
Xác suất cần tính là $P(A/D)=\frac{P(A).P(D/A)}{P(D)}=\frac{0,9.1}{0,994}\approx 0,9054$

Thank you anh chanhquocnghiem . Cho em hỏi :
Bài 1, câu b:
Em nghĩ đơn giản như sau : em nhập vai là 1 khách hàng đến công ty để lấy ở kho 1 sp tốt và 1 sp xấu mà, tất nhiên, không hề quan tâm sp đó do XN nào sản xuất (chỉ biết là trong kho của công ty có 2 loại là sp tốt hoặc xấu mà thôi và biết XS để lấy sp xấu là $0,17$) nên em mới tính XS để lấy 1 sp tốt và 1sp xấu là $0,17\times(1-0,17)$
Bài 2, câu b:
Em nghĩ : A chắc chắn bắn trúng, nên em tính XS cho 4 khả năng của B và C:
$0,9\left ( 0,8\cdot0,7+0,8\cdot0,3+0,2\cdot0,3+0,2\cdot0,7 \right )=0,9\cdot1=0,9$
Như vậy suy nghĩ có logic không vậy anh?

1, một kho hàng chứa sản phẩm của 2 xí nghiệp với tỉ lệ 70% sản phẩm của xí nghiệp 1 và 30% sản phẩm của xí nghiệp 2. Sản phẩm của xí nghiep 1 sản xuất được 80% là loại tốt, xí nghiệp 2 đạt 90% là loại tốt
a) Người ta lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được sản phẩm xấu . Tính xác suất để sản phẩm đó do xí nghiẹp 1 sản xuất
b) Người ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kho hàng . Tính xs để được 1 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu.
2. ba người mỗi người bắn 1 viên đạn vào cùng 1 mục tiêu . xác suất trúng đích mỗi lần bắn của người thư nhất là 0,9, người thứ 2 là 0,8, người thứ 3 là 0.7 và độc lập với nhau
a) tính xác suất để có ít nhất 1 viên đạn trúng đích
b) biết rằng có ít nhất 1 viên đạn trúng đích , tính xác suất để người thứ nhất bắn trúng

Nghĩ sao viết vậy! Rất mong các bạn chỉ giáo. Xin đa tạ.
I/ Gọi:
- $B$ là biến cố sản phẩm (sp) lấy ra là sp xấu.
- $A_{1},A_{2}$ lần lượt là biến cố sp lấy ra do XN 1, XN 2 sản xuất.
$\Rightarrow A_{1}, A_{2}$ lập thành hệ biến cố đầy đủ và xung khắc.
Theo công thức XS đầy đủ, XS lấy ra sp xấu là :
$P\left (B \right )=P\left(A_{1}\right )P\left ( B|A_{1} \right )+P\left ( A_{2}\right )P\left ( B|A_{2} \right )=\frac{7}{10}\cdot \frac{2}{10}+\frac{3}{10}\cdot\frac{1}{10}=\frac{17}{100}$
a/ XS sp xấu được lấy ra do XN 1 sản xuất :
$P\left ( A_{1}|B \right )=\frac{P\left ( A_{1} \right )P\left ( B|A_{1} \right ) }{P\left ( B\right )}=\frac{7/10\cdot 2/10}{17/100}=\frac{14}{17}$
b/ XS của biến cố lấy ra 1 sp xấu và 1 sp tốt :
$\frac{17}{100}\cdot \left ( 1-\frac{17}{100} \right )=\frac{1411}{10000}$

2/ Gọi $A,B,C$ lần lượt là biến cố người thứ 1,2,3 bẳn trúng đích.
XS để ít nhất có 1 người bẳn trúng đích là :
$1-P\left ( \overline{A}\cap \overline{B}\cap \overline{C} \right )=1-\frac{1}{10}\cdot \frac{2}{10}\cdot \frac{3}{10}=\frac{994}{1000}$
b/ XS người thứ nhất bắn trúng đích vẫn là $ \frac{9}{10}$

Bốn số thì sao ??cho tập A ={1,2,3,4,...,19,20} lấy ngẫu nhiên 4 số của tập A.tính xác xuất để lấy dcj 4 số trong đó k có hai số tự nhiên liên tiếp?

Chọn 4 số $a,b,c,d$ thỏa yêu cầu thì 4 số này phải thỏa bđt sau:
$$1\leq a<b-1 <c-2 <d-3 \leq17$$
Đặt $w=a,x=b-1,y=c-2,z=d-3$ thì mỗi một cách chọn 4 số $w,x,y,z$ từ tập $\left \{ 1,2,...,17 \right \} $ tương ứng với một cách chọn 4 số thỏa yc đề bài, nên XS cần tìm là :
$\frac{C_{17}^{4}}{C_{20}^{4}}=\frac{2380}{4845}=\frac{28}{57}$

a\not\vdots b $a\not\vdots b$

Cám ơn anh. Nhưng em muốn nó đẹp như Ngọc Trinh quê Trà Vinh...

Cám ơn anh. Em tưởng có biến thể $\textbf{epsilon}$ rồi chứ!.
BTW, cho em hỏi ký hiệu "a không chia hết cho b" ($a \cancel \vdots b $) viết sao cho đẹp anh nhỉ.

\begin{expres}
T_{k+1}=x_{1}^{k+1}+x_{2}^{k+1}&=(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{k}+x_2^{k})-x_{1}x_{2}(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})\\
&=(x_{1}+x_{2})[(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})-x_{1}x_{2](x_{1}^{k-2}+x_{2}^{k-2})]-x_{1}x_{2}(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})\\
&=[(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}](x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})-x_{1}x_{2}(x_{1}^{k-2}+x_{2}^{k-2})\\
&=(27^{2}-14)(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})-27\cdot14(x_{1}^{k-2}+x_{2}^{k-2})\\
&=715(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})-378(x_{1}^{k-2}+x_{2}^{k-2})
\end{expres}

Cho $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 27x + 14 = 0$ và $n$ là số tự nhiên bất kì. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp tổng $T_n = x_1^n + x_2^n$ không chia hết cho $715$.

Ta có:
$T_{1}=x_{1}+x_{2}=27,$
$T_{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left ( x_{1}+x_{2} \right )^2-2x_1x_2=701,$
$T_3=x_1^3+x_2^3=\left ( x_1+x_2 \right )[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]=27(27^2-3\cdot14)=27\cdot687$
Như vậy phát biểu "Tổng $T_n=x_1^n+x_2^n$ không chia hết cho 715 là đúng với $n=1,2,3$.
Giả sử phát biểu là đúng với $n=k-2, k-1, k$, ta tiến hành tính tổng $T_{k+1}$:

$$\begin{align*}
T_{k+1}=x_{1}^{k+1}+x_{2}^{k+1}&=(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{k}+x_2^{k})-x_{1}x_{2}(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})\\
&=(x_{1}+x_{2})[(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})-x_{1}x_{2}(x_{1}^{k-2}+x_{2}^{k-2})]-x_{1}x_{2}(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})\\
&=[(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}](x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})-x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{k-2}+x_{2}^{k-2})\\
&=(27^{2}-14)(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})-27 \cdot 14(x_{1}^{k-2}+x_{2}^{k-2})\\
&=715(x_{1}^{k-1}+x_{2}^{k-1})-378(x_{1}^{k-2}+x_{2}^{k-2})
\end{align*}$$

Ta thấy $378$ không chia hết cho $715$ tức là $T_{k+1}$ không chia hết cho $715$ và theo nguyên lý quy nạp thì phát biểu trên là đúng.

Một câu hỏi mở rộng thú vị là:
Nếu bây giờ các giáo viên và học sinh xếp thành vòng tròn để nhảy lửa trại nhưng vẫn thỏa yêu cầu ban đầu (giữa hai giáo viên có ít nhất 2 học sinh), thì có bao nhiêu cách sắp xếp?

Trước hết, hoán vị vòng quanh 20 hs: có $19!$ cách.
Bố trí 4 vạch chia,WLOG theo chiều kim đồng hồ, ta có hình minh họa sau:
$$\ldots\boldsymbol {\mid}\underbrace{\ldots}_{x_{1}}\boldsymbol {\mid}\underbrace{\ldots}_{x_{2}}\boldsymbol {\mid}\underbrace{\ldots}_{x_{3}}\boldsymbol {\mid}\underbrace{\ldots}_{x_{4}}$$
Phương trình :
$$ \left\{\begin{matrix}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=20\\
x_{i}\geqslant 2, i=\overline{1,4}
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=12\\
x_{i}\geqslant 0
\end{matrix}\right.$$
có nghiệm là $\binom{12+4-1}{4-1}=\binom{15}{3}$.
Vậy số cách xếp thỏa yc là :
$19!4!\binom{15}{4}\text{ cách}$.
Em thấy hình như xoay $90^{o},180^{o},270^{o}$ là như nhau nên kết quả trên chia cho 4 thì phải!
Xin các anh chỉ bảo ạ.

Có 4 giáo viên và 20 học sinh xếp hàng ngang để chụp ảnh lưu niệm. Có bao nhiêu cách xếp để giữa 2 giáo viên bất kì đều có ít nhất 2 học sinh

Giả sử các hs là giống nhau, được xếp thành hàng ngang. Ta tính số cách đặt 4 vạch chia vào các khoảng trống giữa các hs. Từ trái sang phải,gọi $x_{1}$ là số hs đứng trước vạch chia thứ nhất, $x_{2}$ là số hs đứng giữa vạch chia thứ nhất và thứ hai, $x_{3}$ là số hs đứng giữa vạch chia thứ hai và thứ ba, $x_{4}$ là số hs đứng giữa vạch chia thứ ba và thứ tư và $x_{5}$ là số hs đứng sau vạch chia thứ tư, được minh họa như sau :
$$ \underbrace{\ldots}_{x_{1}}\boldsymbol {\mid}\underbrace{\ldots}_{x_{2}}\boldsymbol {\mid}\underbrace{\ldots}_{x_{3}}\boldsymbol {\mid}\underbrace{\ldots}_{x_{4}}\boldsymbol {\mid}\underbrace{\ldots}_{x_{5}}$$
Và được biểu diễn bằng phương trình :
$$\left\{\begin{matrix}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=20\\
x_{1},x_{5}\geqslant 0,x_{2,3,4}\geqslant 2
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=14\\
x_{1,2,3,4,5}\geqslant 0
\end{matrix}\right.$$
có nghiệm là $ \binom{14+5-1}{5-1}=\binom{18}{4}$
Cuối cùng, vì hs, giáo viên là khác nhau nên ta có số cách xếp thỏa yêu cầu là $ 4!20!\binom{18}{4}\text{ cách} $.

Bạn $A$ có một đồng xu mà khi tung có xác suất xảy ra mặt ngửa là $\frac{1}{3}$, bạn $B$ có một đồng xu mà khi tung có xác suất xảy ra mặt ngửa là $\frac{2}{5}$. $A$ và $B$ cùng chơi tung đồng xu của mình, ai tung ra mặt ngửa đầu tiên sẽ là người thắng. $A$ chơi trước. Xác suất $A$ thắng là $\frac{a}{b}$ trong đó $a,b$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính $a-b$.

Do là XS nên $a< b$, vậy thì $a-b< 0$ ?.

S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau.Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số chọn được chia hết cho 15

Các số thỏa đề bài có dạng $\overline{abcd}$ với $d=0$ và $3\mid(a+b+c)$ hoặc $d=5$ và $a+b+c\equiv 1 \!\!\pmod 3$.
$\blacksquare$ Với $d=0$ :
Ta có số dư theo modulo 3 của các chữ số i sau:
$$\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\boldsymbol {\textbf{chữ số $i$}} &1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
\hline \boldsymbol {i\!\!\pmod 3}& 1&2&0&1&2&0&1&2&0\\  
\end{array}.$$
Như vậy có 3 chữ số ứng với mỗi số dư 0, 1, 2 modulo 3.Ta có :
(0,0,0), (1,1,1), (2,2,2):có $3C_{3}^{3}$ tập.
(0,1,2): có $(C_{3}^{1})^3$ tập
Vậy có $3!(3+27)=180$ số
$\blacksquare $ Với $d=5$:
Ta có bảng sau:
$$\begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|cc}\boldsymbol {\textbf{chữ số $i$}}&0&1&2&3&4&6&7&8&9 \\
\hline \boldsymbol {i\!\!\pmod 3}& 0&1&2&0&1&0&1&2&0\\  
\end{array}$$
Ta thấy có 4 chữ số có số dư 0 mod 3, 3 chữ số có số dư 1 mod 3, 2 chữ số có số dư 2 mod 3. Tiến hành tính các số có $a+b+c\equiv 1 \!\!\pmod 3$ kể cả $a=0$:
(0,0,1):có $C_{4}^{2}\cdot C_{3}^{1}$
(0,2,2): có $C_{4}^{1}\cdot C_{2}^{2}$
(1,1,2):có $C_{3}^{2}\cdot C_{2}^{1}$
Có $3!(18+4+6)=168$ số
Trong đó, số các số có $a=0$ là :
(0,1):$C_{3}^{1}\cdot C_{3}^{1}$
(2,2):$C_{2}^{2}$
Có $2!(9+1)=20$ số
XS cần tìm :
$P=\frac{180+168-20}{9\cdot9\cdot8\cdot7}=\frac{41}{567}$

Gọi $S_n$ là số lượng xâu nhị phân có có độ nài $n$ trong đó tồn tại ít nhất 1 xâu con $01$. Tìm hệ thức truy hồi của $S_n$.

Các xâu thỏa đề bài chỉ có 2 dạng:
- xA: với A là xâu thỏa đề bài dài n-1 bít, do x có thể là 0 hoặc 1 $\rightarrow$ số xâu dạng này là $2S_{n-1}$.
- 01B: với B là xâu dài n-2, không chứa xâu con 01$\rightarrow$ số xâu dạng này là $2^{n-2}-S_{n-2}$.
Vậy ta có HTTH:
$S_{n}=2S_{n-1}-S_{n-2}+2^{n-2}$, giá trị khởi tạo $ S_{1}=0, S_{2}=1 $.
Nhận xét : các xâu không thỏa đề bài phải có dạng 111....000, nên $S_{n}=2^{n}-(n+1)$.

Kiểm tra lại, đúng là XS quá lớn! Xin cảm ơn anh Chanhquocnghiem đã chỉ bảo.
Vậy sai thì sửa, mình xin trình bày lại như sau :
Chọn 4 người có $C_{10}^{4}$ cách, chọn 2 toa có $C_{4}^{2}$ cách, gọi là toa 1 và toa 2 thì số người lên toa 1 có thể là :
- 0 người :1 cách
- 2 người :$C_{4}^{2}$ cách
- 4 người :1 cách
Như vậy có 8 cách để 4 người lên 2 toa này.
Và 6 người còn lại có $C_{6}^{3}$ cách lên 2 toa mỗi toa 3 người.
Vậy XS cần tìm là :
$\frac{C_{10}^{4}
\cdot C_{4}^{2}\cdot 8\cdot C_{6}^{3} }{4^{10}}=\frac{201600}{4^{10}}=0,19226 $

Có 10 hành khách bước ngẫu nhiên vào 4 toa tàu khác nhau. Tính xác suất để có đúng hai toa tàu mà mỗi toa có đúng 3 hành khách.

Mỗi người có 4 cách lên tàu, nên số phần tử không gian mẫu là : $4^{10}$
Chọn 3 người lên toa thứ nhất :$C_{10}^{3}\cdot C_{4}^{1}$
Tiếp đến,chọn 3 người lên toa thứ hai: $C_{7}^{3}\cdot C_{3}^{1}$
Số cách lên tàu của 4 người cuối :$2^4$
Trong số đó, có trường hợp có 3 toa mà mỗi toa có đúng 3 người :$C_{10}^{1}\cdot C_{4}^{1}\cdot C_{9}^{3}\cdot C_{6}^{3}\cdot C_{3}^{3}$
Vậy XS cần tìm là :$\frac{C_{10}^{3}\cdot C_{4}^{1}\cdot C_{7}^{3}\cdot C_{3}^{1}\cdot2^4-C_{10}^{1}\cdot C_{4}^{1}\cdot C_{9}^{3}\cdot C_{6}^{3}\cdot C_{3}^{3} }{4^{10}}$

Câu III: Ta áp dụng định lý thặng dư Trung Hoa:

Gọi $x$ là số nguyên, có thể không nhỏ nhất, thỏa đề bài. Với $i=\overline{1,4}$ ta có:

$x\equiv b_{i}\pmod {n_{i}}$

$N=\prod_{i=1}^{4}n_{i}=7\cdot9\cdot11\cdot13=9009; N_{i}=\frac{N}{n_{i}}$. thì $x=\sum_{i=1}^{4}b_{i}N_{i}x_{i}\pmod N.$

Tiến hành tính toán

$\square$ $b_{1}=3; N_{1}=9\cdot11\cdot13=1287$

$1287x_{1}\equiv 1\pmod 7 \Rightarrow 6x_{1}\equiv 1\pmod 7\Rightarrow x_{1}\equiv 6\pmod 7$

$\Rightarrow b_{1}N_{1}x_{1}=3\cdot 1287\cdot 6=23166$

$\square$ $b_{2}=4; N_{2}=7\cdot11\cdot13=1001$

$1001x_{2}\equiv 1\pmod 9 \Rightarrow 2x_{2}\equiv 1\pmod 9\Rightarrow x_{2}\equiv 5\pmod 9$

$\Rightarrow b_{2}N_{2}x_{2}=4\cdot 1001\cdot5=20020$

$\square$ $b_{3}=5; N_{3}=7\cdot9\cdot13=819$

$819x_{3}\equiv 1\pmod {11} \Rightarrow 5x_{3}\equiv 1\pmod{11}\Rightarrow x_{3}\equiv 9\pmod {11}$

$\Rightarrow b_{3}N_{3}x_{3}=5\cdot 819\cdot 9=36855$

$\square$ $ b_{4}=6; N_{4}=7\cdot9\cdot11=693$

$693x_{4}\equiv 1\pmod {13 }\Rightarrow 4x_{4}\equiv 1\pmod {13}\Rightarrow x_{4}\equiv 10\pmod {13}$

$\Rightarrow b_{4}N_{4}x_{4}=6\cdot 693\cdot 10=41580$

$\Rightarrow x\equiv (23166+20020+36855+41580)\pmod {9009}$

$x\equiv 121621\pmod {9009}$

$x\equiv 4504\pmod {9009}$

Vậy $n=\boxed {4504}$

Thử lại:

$4504\equiv 3\pmod {7}$

$4504\equiv 4\pmod {9}$

$4504\equiv 5\pmod {11}$

$4504\equiv 6\pmod {13}.$

 

 

Bài 2: (Dạng toán này thấy quen quen,gặp hồi học lớp 5, lớp 6 gì đó).
a/ Số chữ số mà ta viết được khi viết đến số 1999 là:
$9+90\times2+900\times3+1000\times4=189+2700+4000=6889$
Khi viết từ số 2000 đến 2021 thì số chữ số viết được là :
$(2021-2000+1)\times 4= 88$
Vậy số chữ số của A là :
$6889+88=6977$
b/ Số chữ số mà ta viết được khi viết đến số 99 là:
$9+90\times2= 189$
và còn lại số các số có 3 chữ số là :
$\frac{2021-189}{3}= \frac{1832}{3}=610$ dư $2$.
Như vậy ta viết đến số:
$99+610=709$
Vậy chữ số thứ 2019 là chữ số 9 (của số 709) suy ra chữ số thứ 2021 là chữ số $1$ của số 710.

Câu 7: Căn cứ thông tin trên, thì:
- Đào mặc áo và khẩu trang màu trắng,
- Trúc mặc áo hồng và khẩu trang xanh,
- Mai mặc áo xanh và khẩu trang hồng.

Câu 4: Gọi $x>0$ là số bộ quần áo may trong 1 ngày theo kế hoạch. Theo đề bài ta có :
$\frac{1200}{x}=\frac{1200}{x+10}+4 \Leftrightarrow x^{2}+10x-3000=0$
Giải ra ta chọn $\boxed {x=50}$.

Câu 5: Thể tích 5 viên bi là:
$5\cdot\frac{4}{3}\cdot \Pi\cdot r^{3}=\frac{20}{3}\Pi$
Khi bỏ 5 viên bi vào làm nước trong cốc dâng lên :
$\frac{\frac{20}{3}\Pi }{
\Pi\cdot R^{2} }\cdot =\frac{20}{27}$ cm
và cách miệng cốc:
$(15-10)-\frac{20}{27}= \frac{115}{27} \approx 4,26 $ cm

Biểu thức đã cho là khai triển của nhị thức :
$y=\left ( x^{2}-1 \right )^{5}= x^{10}-5.x^{8}+10x^{6}-10x^{4}+5x^{2}-1 $
Trong đó, Các hệ số 1, -5, 10, -10, 5, -1 là 6 phần tử thuộc dòng thứ 5 trong tam giác Pascal.
$\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm 1$

B1. Tìm hệ thức truy hồi và điều kiện khởi tạo để tính số cách đi lên bậc thang
nếu có thể đi 1 hoặc 2 bước một lần.

B2 Trong một nhóm có 6 người, trong đó có 2 người là bạn hoặc là thù của
nhau. Chứng tỏ rằng luôn tìm được một nhóm có ba người là bạn hoặc là thù của
nhau

B3 Cho tập hợp X gồm 7 phần tử, X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, anh (chị) hãy chỉ ra
cách tìm tập con kế tiếp của tập 4 phần tử {3, 4, 5, 7}


giải chi tiết giúp mình nhá

B!: Gọi $a_{n}$ là số cách bước lên cầu thang $n$ bậc thỏa đề bài. Bắt đầu bước lên cầu thang ta có 2 TH:
- Đi 1 bậc: có $a_{n-1}$ cách.đi các bậc thang còn lại.
- Đi 2 bậc: có $a_{n-2}$ cách.đi các bậc thang còn lại.
Theo qui tắc cộng, ta có hệ thức truy hồi:
$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$; $n> 2$; đk khởi tạo: $a_{1}=1, a_{2}=1$

B2: Để dễ hình dung ta biểu diễn 6 người là 6 điểm trên mặt phẳng, ta nối 2 điểm bất kỳ bằng đoạn thẳng xanh ( tượng trưng quan hệ là bạn) hoặc màu đỏ ( tượng trưng quan hệ là thù). như vậy bài toán đã cho trở thành: Cho 6 điểm trên mặt phẳng, 2 điểm bất kỳ được nối với nhau bởi 1 đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm mà các đoạn thẳng nối chúng cùng màu.
Gọi A là 1 điểm bất kỳ trong 6 điểm, Vì các đoạn thẳng nối A với 5 điểm chỉ có 1 trong 2 màu xanh hoặc đỏ cho nên, theo nguyên lý Dirichlet, sẽ có 1 màu xuất hiện ít nhất 3 lần. WLOG, giả sử A nối với B, C, D bằng 3 đoạn thẳng màu xanh.
Nhận thấy:
Nếu BC, CD, BD là màu xanh thì lần lượt các tam giác ABC, ACD, ABD đều là các tam giác có các cạnh là màu xanh.và ngược lại, nếu cả 3 cạnh BC, CD, BD không là màu xanh thì tam giác BCD có các cạnh là màu đỏ. Điều này chứng tỏ rằng luôn luôn tồn tại 3 điểm mà các đọan thẳng nối chúng cùng màu.

B3: Ta có thể dùng phương pháp liệt kê theo thứ tự từ điển để tìm sinh tổ hợp chập $k$ của tập $X$ có $n$ phần tử. Có thể xây dựng tổ hợp liền sau tổ hợp $a_{1}a_{2}...a_{k}$ bằng cách : trước hết, tìm phần tử đầu tiên $a_{i}$ trong dãy đã cho từ phải qua trái sao cho $a_{i}\leq n-k+i$; sau đó thay $a_{i}$ bằng $a_{i}+1$ và các phần tử phía sau cộng dồn 1 đơn vị. Cụ thể:
Trong bài toán này thì $k=4$ và $n=7$. Ta thấy, từ phải qua trái $a_{3} =5$ là số hạng đầu tiên của tổ hợp thỏa điều kiện $a_{i}\leq 7-4+i$ (mặc dù trước đó $a_{4}=7$ đã thỏa đk này nhưng do đã đạt giá trị max nên không tăng được nữa). Để nhận được tổ hợp tiếp theo sau ta tăng $a_{i}$ lên 1 đơn vị, tức $a_{3}=6$ và đặt $a_{4}=6+1=7$. Vậy tổ hợp liền sau tổ hợp $\left \{ 3,4,5,7 \right \}$ là tổ hợp $\left \{ 3,4,6,7 \right \}$.

Cho số tự nhiên $N$ thoả:
$$\displaystyle N = 9 + 99 + 999 + 9999 + \cdots + \underbrace{99\ldots 99}_\text{2020 chữ số}.$$
Tính tổng các chữ số của $N$.

Ta có :
$9+99+...+\underset{\text{2020 chữ số}}{\underbrace{99...9}}=(10-1)+(10^{2}-1)+...+(10^{2020}-1)= \underset{\text{A}}{ \underbrace{10+10^{2}+...+10^{2020}}}-2020$
Tổng phần $A$ là một số gồm các chữ số $1$ và có 5 chữ số cuối là $...11110$. Ta thấy :
$11110-2020=9090$
Vậy tổng chữ số của $N$ là :
$(2020-4)+9+9=\boxed{2034}$.

Trong game CS:GO, Vũ phải đối mặt với tình huống 1 đấu 5. Vũ sử dụng súng tỉa có thể tiêu diệt kẻ địch chỉ với 1 phát bắn, tuy nhiên súng chỉ còn lại 6 viên đạn. Trình độ của Vũ có $80\%$ bắn trúng kẻ địch, mỗi viên đạn tiếp theo giảm đi $10\%$ độ chuẩn xác. Tính xác xuất để Vũ tiêu diệt cả 5 địch thành công.

Gọi $P_{k} \left ( A \right )$ là XS tiêu diệt 5 kẻ địch với $k$ phát đạn thì ta có :
$P_{5} \left ( A \right )=\frac{8\times7\times6\times5\times4 }{10^{5}} =\frac{42}{625}$
$P_{6} \left ( A \right )=\sum_{i=1}^{5} \prod_{j=1}^{6} \left | \delta(i,j)-\frac{9-j}{10} \right | =\frac{969}{12500}$
XS cần tìm :
$ \frac{42}{625}+ \frac{969}{12500}=\frac{1809}{12500}$
Ghi chú :
$\delta(i,j) = \begin{cases} 0 & \text{nếu } i \neq j \\ 1 &\text{nếu } i = j \end{cases} $

Chứng minh rằng:
\[(n+1)^n\ge2^nn!,\forall n\in\mathbb{N}. \]

Ta có thể dùng PP qui nạp để giải bài này, tuy nhiên mình sẽ trình bày một cách tiếp cận khác:
Gọi số tự nhiên $k\leq n$ dễ thấy: $k\cdot\left ( n+1-k \right )> 0$
Đặt $k= \frac{n+1}{2} +\frac{2k-n-1}{2}$ và $n+1-k=\frac{n+1}{2} -\frac{2k-n-1}{2}$ thì:
$k\cdot\left ( n+1-k \right )= \left (\frac{n+1}{2} +\frac{2k-n-1}{2} \right )\cdot\left (\frac{n+1}{2} -\frac{2k-n-1}{2} \right )=\left (\frac{n+1}{2} \right )^{2} -\left (\frac{2k-n-1}{2} \right ) ^{2}\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
Cho $k$ chạy từ $1$ đến $\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$ ta có các bất đẳng thức :

$k=1\rightarrow 1\cdot n\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$k=2\rightarrow 2\cdot\left ( n-1 \right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$k=3\rightarrow 3\cdot\left ( n-2 \right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$\cdots\cdots$
$k=\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor-2\rightarrow\left ( \frac{n}{2} -2 \right )\cdot\left ( \frac{n}{2} +3\right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$k=\left \lfloor \frac{n}{2}\right \rfloor-1 \rightarrow\left ( \frac{n}{2} -1 \right )\cdot\left ( \frac{n}{2} +2 \right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
$k=\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\rightarrow \frac{n}{2} \cdot\left ( \frac{n}{2} +1 \right )\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{2}$
Nhân vế với vế các bất đẳng thức trên:
$1\cdot2\cdot3\cdots\frac{n}{2}\cdot\left ( \frac{n}{2}+1 \right )\cdot\left ( \frac{n}{2}+2 \right )\cdots\left ( n-2 \right )\cdot\left ( n-1 \right )\cdot n\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{n}$ hay $\boxed{n!\leq \left (\frac{n+1}{2} \right )^{n}}$

Phải tính trường hợp xấu nhất có thể xảy ra chứ, nếu chọn như câu d thì sẽ xảy ra trường hợp 51 viên 3 màu đỏ, xanh, vàng.

Rữ quá! Dạ, tiểu đệ đắc tội. xin lỗi đại ca ạ.

Cho tập hợp $A=\{1,2,3,\cdots,15\}$. Hỏi có bao nhiêu tập con có $4$ phần tử sao cho không có $2$ phần tử nào liên tiếp?

Không mất tính tổng quát, gọi $X=\left \{ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} \right \}$ với $1\leq x_{1}< x_{2}< x_{3}< x_{4}\leq 15$ là tập con 4 phần tử thỏa yêu cầu. Gọi $d$ là tổng các hiệu giữa các $x_{i}$ liên tiếp thì ta có $d=15-1=14$. Ta có hình minh họa sau:
$$\underset{d_{0}}{\underbrace{\cdots}}x_{1}\underset{d_{1}}{\underbrace{\cdots}}x_{2}\underset{d_{2}}{\underbrace{\cdots}}x_{3}\underset{d_{3}}{\underbrace{\cdots}}x_{4}\underset{d_{4}}{\underbrace{\cdots}}$$
được biểu diễn bởi:
$\left\{\begin{matrix} d_{0}+d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4} &=14 \\ d_{0},d_{4}\geq 0; d_{1,2,3}\geq 2 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} d_{0}+d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4} &=8 \\ d_{i}\geq 0 & \end{matrix}\right.\left ( * \right )$
Số nghiệm của $\left ( * \right )$ chính là số tập con 4 phần tử thỏa yc đề bài và bằng $C_{8+5-1}^{5-1}=C_{12}^{4}=\boxed{495}$

----------------------------
Đề nghị mở rộng bài toán qua bài :
Tính số tập con khác rỗng của tập $A=\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ không chứa 2 số nguyên liên tiếp.