Câu 1. (1,0 điểm)

bạn gõ latex ra tự nhiên mình thấy đề đẹp với xịn ngay. lúc ngồi thi thì mình không nghĩ vậy

chủ tus đăng sol đi :=)

uh theo mình thì ra legendre là đúng rồi tiếc là A2 k dạy chứ A1 vẫn dạy bth 

tạp chí epsilon số 14 có 1 bài như thế này nhé bạn :V ko thì bạn lên gg gõ humpty dumpty point là được thôi

à e nhầm rồi :") sorry ạ, để tối e xem lại thử, cái của e chỉ đúng nếu hệ số cao nhất của 2 đa thức là 1 nên sai ạ

e cộng 1 vào thử, thì sẽ được $(x-1)^2=(3y+1)(9y^2-3y+1)$, theo tính chất quen thuộc thì $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, 2 thừa số này hoặc là có chung ước nguyên tố là 3 hoặc là nguyên tố cùng nhau. Nhưng rõ ràng $3y+1$ không chia hết cho 3 nên chỉ rơi vào tính huống còn lại tức $(3y+1,9y^2-3y+1)=1$. Suy ra $9y^{2}-3y+1$ là số chính phương. Tới đây e kẹp giữa $9y^{2}$ với $(3y+1)^{2}$ là được

a góp mấy bài được k e   

Một số bài đa thức hay ạ.

Bài 1. Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle d\geqslant 1$ sao cho tồn tại đa thức $\displaystyle P( x) \in \mathbb{Z}[ x]$ bậc $\displaystyle d$ và các số nguyên phân biệt $\displaystyle x_{1} ,x_{2} ,...,x_{d+1}$ thỏa mãn $\displaystyle |P( x_{i}) |=1$ với $\displaystyle i=\overline{1,d+1}$.

Bài 2. Cho đa thức $\displaystyle P( x) =4x^{2} +12x-3015$ và dãy đa thức $\displaystyle P_{n}( x)$ được định nghĩa như sau 

Bài 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp $\displaystyle ( O)$ có trực tâm $\displaystyle H$. Lấy $\displaystyle X,Y$ lần lượt là giao điểm của $\displaystyle BH,CO$ và $\displaystyle CH,BO$. Chứng minh $\displaystyle OL$ chia đôi $\displaystyle XY$ với $\displaystyle L$ là điểm Lemoine trong tam giác $\displaystyle ABC$

Chào mọi người, để thuận tiện cho việc lưu trữ và thảo luận thì mình xin phép đăng lại các bài toán hình học mà mình sưu tầm được. Mọi người có thể thảo luận lời giải thoải mái, các bài toán sẽ do mình đề xuất. Cảm ơn mọi người !

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với trực tâm $H$. Gọi $P$ là điểm bất kì trên mặt phẳng. Các đường thẳng $A P, B P, C P$ giao $(O)$ lần thứ hai tại $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Gọi $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ lần lượt là các điểm đối xứng với $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ qua các cạnh $B C, C A, A B$. Chứng minh rằng $H, A_{1}, B_{1}, C_{1}$ cùng thuộc một đường tròn.

 một cách khác, mình sưu tầm hồi lâu trên blog của telv cohl https://artofproblem...c284651h1272116

Bài 2. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp $\displaystyle ( O)$ có trực tâm $\displaystyle H$. Lấy $\displaystyle X,Y$ lần lượt là giao điểm của $\displaystyle BH,CO$ và $\displaystyle CH,BO$. Chứng minh $\displaystyle OL$ chia đôi $\displaystyle XY$ với $\displaystyle L$ là điểm Lemoine trong tam giác $\displaystyle ABC$

Bài 3.Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I) . H, K$ lần lượt là trực tâm tam giác $A B C, B I C . H K$ cắt $A I$ tại $L$. Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $K L I$. Chứng minh rằng $O$ nằm trên trục đẳng phương của $(I)$ và $(J I K)$.

Bài 4.Cho đường tròn $(\mathrm{O})$ cố định và dây cung $\mathrm{BC}$ khác đường kính, lấy $\mathrm{M}$ là trung điểm $\mathrm{BC}$. $\mathrm{A}$ di chuyển trên cung lớn $\mathrm{BC}, \mathrm{AM}$ cắt $(\mathrm{O})$ ở $\mathrm{K}$. Đường tròn nội tiếp I tiếp xúc $\mathrm{BC}$ ở $\mathrm{D}, \mathrm{KD}$ cắt lại (O) ở S. Lấy E là điểm chính giữa cung AC không chứa B và SE cắt AC ở L, chứng minh IL luôn qua một điểm cố định khi $\mathrm{A}$ di chuyển.

Bài 4.Cho đường tròn $(\mathrm{O})$ cố định và dây cung $\mathrm{BC}$ khác đường kính, lấy $\mathrm{M}$ là trung điểm $\mathrm{BC}$. $\mathrm{A}$ di chuyển trên cung lớn $\mathrm{BC}, \mathrm{AM}$ cắt $(\mathrm{O})$ ở $\mathrm{K}$. Đường tròn nội tiếp I tiếp xúc $\mathrm{BC}$ ở $\mathrm{D}, \mathrm{KD}$ cắt lại (O) ở S. Lấy $E$ là điểm chính giữa cung $AC$ không chứa $B$ và $SE$ cắt  $AC$ ở $L$, chứng minh $IL$luôn qua một điểm cố định khi $\mathrm{A}$ di chuyển.

 

Trước hết ta phát biểu một bổ đề : $OL$ đi qua trực tâm của $DEF$ trong đó $L$ là điểm Lemoine của $ABC$

Gọi T' là điểm đối xúng của T qua BC. Ta có $\frac{A N}{M T}=\frac{N L}{L M}=\frac{N D}{T^{\prime} M}$ nên $D, L, T^{\prime}$ thẳng hàng Goi J là giao điểm của $D

L$ với $A O$. Theo định ly Thalet ta có

$\frac{D L}{D J}=\frac{D L}{D T^{\prime}}, \frac{D T^{\prime}}{D J}=\frac{A D}{A D+T T^{\prime}} . \frac{A D+T^{\prime} O}{A D}=\frac{A D+T^{\prime} O}{A D+T T^{\prime}}=1-\frac{O T}{A D+T T^{\prime}}=1-\frac{R^{2}}{\left(A D+T T^{\prime}\right) O M}$

$=1-\frac{R^{2}}{(2 . O M+2 M T+H D) O M}=1-\frac{R^{2}}{2 O M . O T+\frac{1}{4}\left(R^{2}-O H^{2}\right)}=k$ là môt tỉ số cố định. Lấy $K$ sao cho $\frac{K L}{K O}=k$ thì

$D K$ song song $A O$ và vuông góc $F E$. Tương tự ta có điều phải chứng minh. Đến đây ta gọi $H'$ là trực tâm của $DEF$ thì dễ dàng chứng minh $H'OXY$ là hình bình hành.

 

 

https://artofproblem...219170p16859208

bài gốc trên aops mọi người có thể tham khảo

Bài 5. Đề chọn đội tuyển quốc gia SP 2020 vòng 2 :

Bài 7.  Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trực tâm $H . P$ là điểm bất kì trên $O H$. Gọi $B^{\prime}, C^{\prime}$ lần lượt là điểm đối xứng của $B, C$ qua $O H . B^{\prime} P$ cắt $A C$ tại $X, C^{\prime} P$ cắt $A B$ tại $Y$. Chứng minh rằng điểm đối xứng với $H$ qua $X Y$ nằm trên $(O)$.

một bài hay, nhẹ nhàng

Bài 6. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp đường tròn $\displaystyle ( O)$, các đường cao $\displaystyle BH_{b} ,CH_{c}$ giao nhau tại trực tâm $\displaystyle H$. $\displaystyle H_{b} H_{c}$ cắt $\displaystyle BC$ tại $\displaystyle P$. $\displaystyle N$ là trung điểm $\displaystyle AH$, $\displaystyle L$ là hình chiếu của $\displaystyle O$ lên đối trung đỉnh $\displaystyle A$ của $\displaystyle ABC$. Chứng minh $\displaystyle \angle NLP=90^{0}$

Bài 8. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ có $\displaystyle X,Y$ và $\displaystyle Z,T$ là hai cặp điểm liên hợp đẳng giác trong tam giác $\displaystyle ABC$. Xét $\displaystyle XZ$ giao $\displaystyle TY$ tại $\displaystyle Q$, $\displaystyle XT$ giao $\displaystyle ZY$ tại $\displaystyle P$. Chứng minh $\displaystyle P,Q$ cũng là một cặp liên hợp đẳng giác trong $\displaystyle ABC$

h nghỉ hè nên mình sẽ đăng tiếp 1 số bài để mọi người cùng thảo luận nhé ) 

Bài 10.Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp đường tròn $\displaystyle ( O)$ có $\displaystyle T$ là điểm chính giữa cung $\displaystyle BC$ lớn. $\displaystyle H$ là trực tâm của $\displaystyle ABC$. Đường thẳng qua $\displaystyle H$ song song $\displaystyle AT$ cắt $\displaystyle AB,AC$ tại $\displaystyle E,F$. Gọi $\displaystyle R$ là giao điểm của $\displaystyle BF,CE$. Chúng minh $\displaystyle HT\cap JR$ trên $\displaystyle ( O)$.

Anh cho em xin đề với 

https://www.facebook...45256012697276/

giống đề thi hsg lớp 9 đn năm 2019 phết, e xem thử

tổng quát cho đa thức p(x) hệ số nguyên bất kỳ cũng được

giả sử p(x) có nghiệm thì p(x)=(x-a)Q(x) khi đó p(1)=(1-a)q(1) và p(0)=-aq(a) đều là các số lẻ nên 1-a và -a đều là các số lẻ nhưng tổng của chúng lại là một số lẻ -> vô lý. vậy p(x) không có nghiệm nguyên