Mình xin được góp 1 bài nhé . Tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn $x^2+4y^2+z^2+2zx+4(z+x)=396$ và $x^2+y^2=3z$.

Mình nghĩ 2 vế không bằng nhau được đâu bạn.

Ta có $C^{20}_{0},C^{20}_{1},...,C^{20}_{19}$ đều không tồn tại.Khi đó, ta phải chứng minh $(C^{20}_{20})^2=C^{40}_{20}$

Thật vậy, ta có $C^{20}_{20}=1$,$C^{40}_{20}=\frac{21.22.23...40}{20!}$

Do đó, 2 vế không bằng nhau.

Giả sử a,b đồng thời là các số lẻ => $a^2\equiv b^2\equiv 1(mod8)$

Từ đó, ta có $a^2+b^2\equiv 2(mod8)$ (vô lí)

Vậy a,b không đồng thời là các số lẻ (đpcm)

Ở chỗ giả sử a,b đồng thời lẻ, để chứng minh $a^2\equiv 1(mod8)$ thì bạn đặt $a=2k+1(k\in N)\Rightarrow a^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$

Lại có $k(k+1)\vdots 2\Rightarrow 4k(k+1)\vdots 8\Rightarrow 4k(k+1)+1\equiv 1(mod8)$

Tương tự với b là được nha ban.

Giả sử a,b đồng thời là các số lẻ => $a^2\equiv b^2\equiv 1(mod8)$

Từ đó, ta có $a^2+b^2\equiv 2(mod8)$ (vô lí)

Vậy a,b không đồng thời là các số lẻ (đpcm)

$x=-\sqrt{35}$ cũng được mà bạn!

Ôi em quên mất.

Ta có $\frac{1-2x\sqrt{35}}{x^2}$ có GT nguyên <=> $\frac{2x\sqrt{35}-1}{x^2}$ có GT nguyên

Ta có $\frac{2x\sqrt{35}-1}{x^2}+1=\frac{x^2+2x\sqrt{35}+1-36}{x^2}=\frac{(x+\sqrt{35})^2-36}{x^2}$ có GT nguyên

Mà $x+\sqrt{35}$ có GT nguyên => $x^2$ có GT nguyên <=> $x$ nguyên (vô lí do $x+\sqrt{35}$ có GT nguyên)

Vậy x thuộc rỗng

Em ko chắc lắm, có gì mọi người góp ý ạ

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $a\sqrt{a}\leq\frac{a+a^2}{2}$.Tương tự, ta có $\frac{9}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}}\geq \frac{18}{a^2+a+b^2+b+c^2+c}$

Mặt khác, áp dụng BĐT C-S, ta có $\frac{1}{a^2+a}+\frac{1}{b^2+b}+\frac{1}{c^2+c}\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+a+b+c}$

Khi đó, ta có BĐT cần cm xảy ra <=> $\frac{27}{a^2+b^2+c^2+a+b+c}\geq \frac{9}{2}\Leftrightarrow$ (1)

Mà $a+b+c=3$

Ta có (1) xảy ra <=> $a^2+b^2+c^2+3\geq 6\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3$

Luôn đúng do $a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$

Dấu = xảy ra <=> $a=b=c=1$

Từ GT với a>=b, ta quy BĐT về 14(5b^2+c^2)>=5(3b+c)^2<=>70b^2+14c^2>=45b^2+30bc+5c^2<=>25b^2-30bc+9c^2>=0<=>(5b-3c)^2>=0 (luôn đúng).Dấu = xảy ra <=> a=2b=6/5c > 0

Mình có chút lỗi, từ GT thì ta có a>=2b nhá

Từ GT với $a\ge 2b$, ta quy BĐT về $14(5b^2+c^2)\ge 5(3b+c)^2 \Leftrightarrow 70b^2+14c^2 \ge 45b^2+30bc+5c^2 \Leftrightarrow 25b^2-30bc+9c^2\ge 0 \Leftrightarrow (5b-3c)^2 \ge 0$: (luôn đúng).Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=2b=\frac{6}{5} c > 0$