Where is M?

M là trđ BC, mình sửa lại r

Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp (I). (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. EF cắt (ABC) tại P,Q. DQ cắt (ABC) tại H. Chứng minh AH vuông IP

1 bổ đề khá hay trong lúc mình làm toán : $\Delta ABC$ có tâm nội tiếp $I$, trực tâm $H$. $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $AH$ cắt $EF$ tại $J$. $M$ là trung điểm $BC$ .Chứng minh $IJ//MH$

Cho $\Delta ABC$, $(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của $\Delta ABC$. $(I_a)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. $(AEF)$ cắt $BC$ tại $P,Q$. Gọi $M$ là trung điểm $AD$. Chứng minh $(I_a)$ tiếp xúc với $(MPQ)$

Bổ đề trung bình Cesaro

Cho đa thức $P(x)$ với các hệ số nguyên không âm , $\left \{ a_{n} \right \}$ là dãy được xác định bởi $a_{1}=2023;a_{n+1}=P\left ( a_{n} \right )$

Gọi $Q$ là tập các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại $k\in N$ để $p\mid a_{k}$

Tìm đa thức $P(x)$ sao cho $Q$ có hữu hạn phần tử

Cho $p$ là 1 số nguyên tố lớn hơn 3 

$a)$ Tìm tất cả số nguyên $n$ thỏa mãn 

$n(n+1)...(n+p-3)\equiv 1 (\mod p)$

$b)$ Xác định số số nguyên dương $n \leq p^{2}$ thỏa mãn 

$n(n+1)...(n+p-3)\equiv 1 (\mod p^{2})$

Tìm tất cả các số tự nhiên $a,b,c,d$ thỏa mãn $11^{a}.5^{b}=1+3^{c}.2^{d}$

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $2^{3^{x}}+1 =19.3^{y}$

Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3(ab+bc+ca)}$ là số nguyên

Dễ thấy $p$ lẻ

Nếu $q=2 \Rightarrow 2^{p+1}=p^{2}+7$

Dùng quy nạp toán học, với $p\geq 5$ thì $2^{p+1}> p^{2}+7$

$\Rightarrow p=3$ ( thỏa mãn )

Nếu $q \geq 3$ thì $q$ lẻ 

Theo $Fermat$ nhỏ thì $7\equiv 2q^{p}\equiv 2q \mod (p)$ và $7\equiv -p^{q}\equiv -p \mod (q)$

Xét $q=3$ thì $2.3^{p}=p^{3}+7$

Dùng quy nạp, để ý rằng $p\geq 3$ thì $2.3^{p}> p^{3}+7$ nên trường hợp này không thỏa mãn 
$\Rightarrow q\geq 5$

$\begin{cases} p+7=kq (k> 0) \\ p\mid 2q-7 \end{cases}$

$2q-7\geq p = kq-7 \Rightarrow k\leq 2$

Trường hợp 1 : $k=1$

$\begin{cases} p+7=q \\ p\mid 2q-7 \end{cases} \Rightarrow p\mid 7 \Rightarrow p=7 \Rightarrow q=14(L)$

Trường hợp 2 : $k=2$

$\begin{cases} p+7=2q \\ p\mid 2q-7 \end{cases}$

Với $p< q \Rightarrow q< 7 \Rightarrow q=5$

$\Rightarrow p=3$ ( thỏa mãn )

Với $p=q \Rightarrow p^{p}=7 (L)$

Với $p> q \Rightarrow q^{p}-p^{q}+q^{p}=7$

Ta sẽ đi c/m $q^{p}> p^{q}$

$\Leftrightarrow ln (q^{p})> ln(p^{q}) \Leftrightarrow p.ln(q)> q.ln(p) \Leftrightarrow \frac{ln(q)}{q}>\frac{ln(p)}{p}$

Đặt $f(x)=\frac{ln(x)}{x}$

Ta có $f'(x)= \frac{1-ln(x)}{x^{2}} < 0$ vì $x\geq 3$

$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $(3;+\propto )$

Vì $p> q$ nên bất đẳng thức cần chứng minh đúng 

Lúc đó $2q^{p}-p^{q}> q^{p}> 7$

Nên trường hợp vô nghiệm 

Vậy các cặp $p,q$ thỏa đề là $(3;2),(3;5)$

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $p,q$ sao cho : $2q^{p} -p^{q}=7$

Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định bởi : $\begin{cases} x_{1}=1 \\x_{n+1}=\frac{x_{n}+3}{x_{n}+2}, n\geq 1 \end{cases}$

Chứng minh dãy $(x_{n})$ có giới hạn, tìm giới hạn đó.

Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases} x_{1}=1 \\x_{n+1}=\frac{3x_{n}+1}{2x_{n}+1}, n\geq 1 \end{cases}$

Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn. Tìm giới hạn đó

https://artofproblem...sVjMl1A5OfbbVvQ

Đường tròn (O) nội tiếp tứ giác ABCD tiếp xúc với các cạnh AB,BC,CD,DA lần lượt tại E,F,G,H. Gọi I,J là trung điểm AC, BD. IB,ID,JA.JC theo thứ tự cắt EF,GH,HE,GF tại M,N,P,Q .

a) Chứng minh IJ, MN,PQ đồng quy tại S 
b) Các tia đối của tia JA,JB,JC,JD lần lượt cắt (O) tại A',B',C',D' . A'C', B'D' lần lượt cắt PQ,MN tại U,V . Gọi K là hình chiếu của S lên UV. Chứng minh góc AKB= góc CKD 

$x=1 \Rightarrow y^{3}-1=p \Rightarrow y=2,p=7$

$x\geq 2$

Phương trinh được viết lại thành : $\frac{x^{p}-1}{x-1}=(y-1)(y^{2}+y+1)$

Bổ đề : Cho các số nguyên dương $x,m (x> 1)$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $m\mid \frac{x^{p}-1}{x-1}$ . Khi đó thì $m\equiv 0,1 ( \mod p)$

Chứng minh : https://julielltv.wo...013/12/28/1436/

Quay lại bài toán : 

Từ đó ta có được : $\begin{cases} y-1\equiv 0,1 (\mod p) \\ y^{2}+y+1\equiv 0,1 (\ mod p) \end{cases}$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}p\mid 7 \\ p\mid 2,p\mid 3 \end{array}\right.$

Với $p=7$ thì tìm được ở lúc đầu

Với $p=2 \Rightarrow x+1=y^{3}-1$ , lúc này sẽ tồn tại các số nguyên dương $x,y$ để thỏa mãn điều kiện này 
Tương tự với $p=3$

Các số nguyên tố $p$ thỏa mãn : $\left \{ 2,3,7 \right \}$

Tìm tất cả các sô nguyên tố $p$ để phương trình sau có nghiệm nguyên dương 

$x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+2=y^{3}$

Tìm tất cả các hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn 

$f(a)+f(b)-ab \mid af(a)+bf(b); \forall a,b\in N^{*}$

Tìm tất cả hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn : 

$x+f(y)\mid f(x)+xf(y) ; \forall x,y\in N^{*}$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) với AB<AC. Một đường tròn tâm (K) đi qua B,C cắt AC, AB lần lượt tại E,F. Gọi H là giao điểm của BE,CF. Gọi S là giao điểm của EF và BC. G là hình chiếu của S lên OH. Đường thẳng AK cắt (O) tại D. Chứng minh A,G,D,S cùng thuộc 1 đường tròn

Cho hàm số $f:Z\rightarrow N^{* }$ thỏa mãn $f(m-n)\mid f(m)-f(n); \forall m,n\in Z$

Chứng minh rằng : với $m,n\in Z$, nếu $f(m)\leq f(n)$ thì $f(m)\mid f(n)$

Tìm tất cả các hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn 
$gcd(x,f(y)).lcm(f(x),y)=gcd(x,y).lcm(f(x),f(y)); \forall x,y\in N^{*}$

Tìm tất cả các hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn điều kiện 
$(f(a)+b).f\left ( a+f(b) \right )=(a+f(b))^{2}; \forall a,b\in N^{*}$

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) , AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F , AC cắt BD tại G . Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC,BD. Giả sử AC và BD cắt EF lần lượt tại P,Q. Gọi OK cắt EF tại L , MN giao EF tại H và GL cắt (O) tại S,T . Chứng minh rằng HS,HT tiếp xúc với (O)