Đã gửi bởi
a+b+c=1(vì đây là hàm thuần nhất nên ta có thể giả sử)
Xét hàm:f(x)=$\dfrac{1}{1+x^{k-1}}$
1/Nếu f lồi :Áp dụng BĐT Jensen với trọng số a,b,c ta có:
=$\sum a.f(\dfrac{b}{a})\geq f(a.\dfrac{b}{a}+b.\dfrac{c}{b}+c.\dfrac{a}{c})=f(a+b+c)=\dfrac{1}{1+(a+b+c)^{k-1}}=\dfrac12=\dfrac{a+b+c}{2}$2/Nếu f lõm:
(1) tương đương với:$\sum\dfrac{ab^{k-1}}{a^{k-1}+b^{k-1}}\leq \dfrac{a+b+c}{2}$
Ta có:$VT=a.f(\dfrac{a}{b})+b.f(\dfrac{b}{c})+c.f(\dfrac{c}{a}) \leq f(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a})=\dfrac{1}{1+\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}}\leq \dfrac{1}{1+a+b+c}=\dfrac12=\dfrac{a+b+c}{2}$
Vậy ta có BĐT (1) đúng với k làm cho hàm f lồi hoặc lõm.
Nhưng đây mới chỉ là điều kiện cần chứ chưa đủ!!Với k=4 ,f ko phải hàm lồi nên ko thể cm được thướng này...
