Bài 3 : Tìm các giá trị nguyên $x,y$ thoả mãn đẳng thức $(y+2)x^2+1=y^2$

 

Ta có $x^2(y+2)=(y-1)(y+1)$.

TH1: Nếu $y\ge 0$.

Ta có $y+2> y+1>y-1\ge 0$.

Do đó, PT chỉ xảy ra khi $x=0$.

Suy ra, $y=1$.

TH2: Nếu $y<0$.

Ta có, nếu $y<-1$ thì $y^2-1>0; (y+2)x^2\le 0$

Suy ra vô nghiệm.

Nếu $y=-1$ thì $x=0$ thỏa mãn.

Vậy có hai nghiệm $x=0;y=-1$ và $x=0;y=1$.

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ 3\sqrt{2+x}-6\sqrt{2+y}+4\sqrt{4-x^{2}}=m+3y \end{matrix}\right.$

Ta có $x+\sqrt{x^{2}+1}> 0$ với mọi $x$.

Từ PT thứ nhất ta có $x+\sqrt{x^{2}+1}=\frac{1}{y+\sqrt{y^{2}+1}}$.

Khảo sát hàm số $f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}\Rightarrow f'(x)=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}>0$

nên hàm số đồng biến với mọi $x$.

Khảo sát hàm số $g(y)=\frac{1}{y+\sqrt{y^2+1}}=\frac{1}{f(y)}\Rightarrow g'(y)=-\frac{f'(y)}{f^2(y)}<0$

nên hàm số nghịch biến với mọi $y$.

Do đó $f(x)=g(y)\Leftrightarrow x=-y$

Thay vào PT thứ hai ta được $3\sqrt{2+x}-6\sqrt{2-x}+4\sqrt{4-x^{2}}=m+3x$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{4-x^{2}}+3\sqrt{x+2}-6\sqrt{2-x}-3x=m$

Khảo sát hàm sô $h(x)= 4\sqrt{4-x^{2}}+3\sqrt{x+2}-6\sqrt{2-x}-3x$ trên đoạn $[-2;2]$.

Từ đó kết luận dc $m$

mình làm thử, sai mọi người sửa giúp , mới làm lần đầu mà
f(2x)=2f(x) (1)
f(f²(x)) = x.f(x) (2)

từ (2) ta có:

giả sử f(x) là hàm bậc 2 trở lên => x.f(x) sẽ có bậc 3 trở lên còn f²(x) có bậc chẵn trên 4
vì vậy hàm f(x) có bậc từ 2 trở lên là không hợp lí
=> f(x) có dạng f(x) = ax +b
(2) <=> a(ax + b)² +b = x.(a.x +b)
<=> a³x + 2a²b + $\frac{b^{2}a + b}{x}$ = ax +b
(1) <=>ax + $\frac{b}{2}$ =ax + b
dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta có
a=1;b=0 V a= 0; b=0 V a= - 1; b=0
=> hàm số cần tìm là f(x)=x hoặc f(x) =0 hoặc f(x) = -x
mà f(x)$\epsilon N$* $\forall x\epsilon N$*
nên f(x) =0 và f(x) = -x không thỏa
f(x)=x thỏa
vậy hàm số cần tìm là f(x)=x

Bài này, nó k cho $f(x)$ là hàm đa thức ngay từ đầu nên bạn không thể giả sử bậc của hàm $f(x)$ ngay được.

Mình giải thế này không biết có đúng không nhé.

Từ điều kiện 1 và 3, suy ra hàm số $f(x)$ làm hàm đa thức với hệ số nguyên.
Khi đó, $f(x)$ có dạng $f(x)=a_1x^n+a_2x^{n-1}+\cdots+a_{n+1}$. Bậc của $f(x)$ là $n$.
Suy ra, $Deg(f^2(x))=2n;Deg(f(f^2(x)))=2n^2$.
Từ điều kiện 2, suy ra $Deg(f(f^2(x)))=Deg(xf(x))$. Suy ra, $n=1$.
Suy ra, hàm số $f(x)=ax+b$.
Từ điều kiện 1, suy ra $b=0$.
Vậy các hàm số $f(x)$ có dạng là $f(x)=ax;\quad (a\in \mathbb{N}^*)$.
Từ điều kiện 2, suy ra $a=1$.
Vậy $f(x)=x.$

Cho hàm số $y=x^3-ax^2-3x$ (1), a là tham số. Với những giá trị nào của a thì đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu và các điểm đó cách đều trục tung.

Ta có $y'=3x^2-2ax-3$

Hàm số có hai cực trị cách đều trục tung khi và chỉ khi phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt đối xứng nhau qua $Oy$.

Tức là hai nghiệm đối nhau.

Suy ra, $a=0$.

1/ Có hai cách đặt

C1: Đặt $x=\sin t$ để làm mất dấu căn thức.

Ta có ${\rm d}x=\cos t{\rm d}t$. Do vậy, $I=\int\frac{\cos t{\rm d}t}{\sin t.\cos t}=\int\frac{\sin t}{1-\cos^2t}{\rm d}t=-\frac{1}{2}\ln\left | \frac{1-\cos t}{1+\cos t} \right |+C$

Với $x=\sin t$.

C2: Ta biến đổi $I=\int\frac{x{\rm d}x}{x^2\sqrt{1-x^2}}$. Ta thấy trên tử số chính là đạo hàm biến số $x^2$ ở mẫu số.

Do đó, Đặt $\sqrt{1-x^2}=t\Rightarrow -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}{\rm d}x={\rm d}t;x^2=1-t^2$.

Vậy $I=-\int\frac{1}{1-t^2}{\rm d}t=\frac{1}{2}\ln\left | \frac{t-1}{t+1} \right |+C=\frac{1}{2}\ln\left (\frac{ 1-\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}} \right )+C$

Bài 4: Ta có thể đặt $x=a\tan t\Rightarrow {\rm d}x=\frac{a}{\cos^2t}{\rm d}t$

Khi đó, $I=\int\frac{a\frac{1}{\cos^2t}}{\sqrt{(a^2+a^2\tan^2t)^3}}{\rm d}t=\int\frac{\cos t}{a^2}{\rm d}=\frac{\sin t}{a^2}+C$ với $x=a\tan t$

Bài 2: Phương pháp giải giống hệt bài 1 thôi.

Bài 3: Nhân cả tử và mẫu với $e^x$ ta được $I=\int\frac{(x+1)e^x}{x.e^x(1+x.e^x)}{\rm d}x$.

Đặt $t=xe^x\Rightarrow {\rm d}t=(x+1)e^x{\rm d}x$

Vậy $I=\int\frac{1}{t(t+1)}{\rm d}t=\ln\left | \frac{t}{t+1} \right |+C=\ln\left | \frac{xe^x}{xe^x+1} \right |+C$

cái công thức này mình chưa học , nhỡ cô kêu giải thích thì chịu luôn . bạn chứng minh hay có cách khác giúp mình không 

Chứng minh đơn giản thôi.

Ba đường thẳng $d;d_1;d_2$.

Chứng minh $d$ nằm giữa $d_1$ và $d_2$ thì có CT như vậy nhé.

Lấy 1 điểm bất kỳ thuộc $d_1$ và 1 điểm thuộc $d_2$.

Theo tính chất ba đường thẳng cách đều thì trung điểm của hai điểm này phải thuộc $d$.

Thay vào là dc kết quả thôi.

bạn ơi , bài 2 bạn dùng công thức gì để tính đuợc phương trình BC vậy , mình không hiểu cách làm của bạn lắm

Bài 2, mình sử dụng tính chất cách đều của ba đường thẳng song song thôi (Gần giống tính chất trung điểm ấy)

Đường thẳng $d$ nằm giữa hai đường thẳng nên nó có hệ số tự do là trung bình cộng của hai hệ số tự do hai đường thẳng kia.

Bài 3: Gọi $M(a;a+1)$ là điểm cần tìm.

Ta có đường tròn $(C)$ có tâm $I(-1;2)$ và bán kính $R=\sqrt5$.

Ta có $\widehat{AMB}=60^o$ nên $\widehat{AMI}=30^o$.

Suy ra, $IM=2IA=2R=2\sqrt5$.

Vậy ta có PT $(a+1)^2+(a-1)^2=20\Leftrightarrow a=\pm 3$

Vậy có hai điểm thỏa mãn là $M(-3;-2)$ và $M(3;4)$.

1) cho tam giác ABC có AB : 2x - y  = o .AC : 1/4x + y = 9/4 .trọng tâm G(8/3 ; 7/3) . tính diện tích tam giác ABC 

2) cho tam giác ABC có A thuộc d : x - 4y - 2 = 0 . BC song song với d , đường cao BH : x + y + 3 = 0 

, trung điểm AC là M(1 ; 1) . tìm toạ độ các đỉnh tam giác ABC .

3) tìm M thuộc d : x - y + 1 = 0 sao cho qua M kẻ được 2 đường thẳng tiếp xúc ( C ) :  x²  + y²  + 2x - 4y = 0 tại A , B thoã góc AMB = 60 độ

Bài 2:

PT đường thẳng đi qua $M$ và song song với $d$ là $\Delta: x-4y+3=0$

Do $M$ là trung điểm $AC$ nên $M$ nằm trên đường thẳng cách đều $d$ và $BC$

Suy ra, PT đường thẳng $BC$ là $BC: x-4y+8=0$.

Suy ra, tọa độ điểm $B$ là $B(-4;1)$.

PT đường thẳng $AC$ là $AC: x-y=0$

Suy ra, tọa độ điểm $C$ là $C(\frac{8}{3};\frac{8}{3})$.

Suy ra, tọa độ điểm $A$ là $A(-\frac{2}{3};-\frac{2}{3})$

Bài 1:

Tọa độ điểm $A$ là $A(1;2)$.

Gọi $M(a;b) $ là trung điểm $BC$. Ta có, $\vec{AG}=2\vec{GM}$

Ta tìm được $M(\frac{7}{2};\frac{5}{2})$

Phương trình đường thẳng qua $M$ và song song với $AC$ là $d: 2x+8y-27=0$

Gọi $N$ là trung điểm $AB$. Ta có $N$ là giao điểm $AB$ với $d$.

Suy ra, $N(\frac{3}{2};3)$.

Suy ra, $AB=2AN=\sqrt5$.

Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $AB$ là $h'=\frac{|2.\frac{7}{2}-\frac{5}{2}|}{\sqrt5}=\frac{9}{2\sqrt5}$

Suy ra, khoảng cách từ điểm $C$ đến $AB$ là $h=2h'=\frac{9}{\sqrt5}$.

Vậy diện tích tam giác $ABC$ là $S=\frac{1}{2}AB.h=\frac{1}{2}\sqrt5.\frac{9}{\sqrt5}=\frac{9}{2}$ (dvdt)

Tính nguyên hàm sau:

$I=\int x\tan^{2} xdx$

Ta có $I=\int x(1+\tan^2x){\rm d}x-\frac{x^2}{2}=x\tan x-\frac{x^2}{2}-\int\frac{\sin x}{\cos x}{\rm d}x$

$=x\tan x-\frac{x^2}{2}+\ln|\cos x|+C$

5/ $cos3x.cos^{3}x-sin3x.sin^{3}x=\frac{2-3\sqrt{2}}{8}$.

Bài 5: Ta có $PT\Leftrightarrow \cos 3x\cos x(1-\sin^2x)-\sin3x\sin x.\sin^2x=\frac{2-3\sqrt{2}}{8}$
$\Leftrightarrow \cos 3x\cos x-\sin^2x(\cos3x\cos x+\sin 3x\sin x)=\frac{2-3\sqrt{2}}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\cos 4x+\cos2x)-\frac{1}{2}(1-\cos2x)\cos 2x=\frac{2-3\sqrt{2}}{8}$

$\Leftrightarrow \cos4x+\frac{1}{2}(1+\cos4x)=\frac{2-3\sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2}\cos4x=-\frac{2+3\sqrt{2}}{4}$

$\Leftrightarrow \cos4x=-\frac{2+3\sqrt{2}}{6}$

Sai rùi bạn.... sai từ dấu tương đương thứ 3 từ dưới đếm lên 

Ok. Mình đã sửa rồi. Quên nhân 2 ở vế bên phải.

Thank bạn nhé.

Giải các phương trình lượng giác sau :

1/ $sin4x.sin7x = cos3x.cos6x$ 

2/ $(sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2})^{2}+\sqrt{3}.cosx = 2$

Bài 1: Ta có $PT\Leftrightarrow \cos3x-\cos 11x=\cos 9x+\cos 3x$

$\Leftrightarrow \cos 11x=\cos (\pi-9x)$

Đây là dạng cơ bản rồi.

Bài 2: $PT\Leftrightarrow 2\sin^2(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})+\sqrt3\cos x=2$

$\Leftrightarrow 1-\cos (x+\frac{\pi}{2})+\sqrt3\cos x=2$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin(x+\frac{\pi}{3})=\sin\frac{\pi}{6}$

Tiếp tục là dạng cơ bản rồi.

3/ $\frac{(2-\sqrt{3})cosx-2sin^{2}(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})}{2cosx-1}=1$

4/ $4sin^{2}\frac{x}{2}-\sqrt{3}cos2x=1+2cos^{2}(x-\frac{3\pi}{4})$

5/ $cos3x.cos^{3}x-sin3x.sin^{3}x=\frac{2-3\sqrt{2}}{8}$.

Bài 3: Điều kiện $2\cos x-1\ne 0$.

Ta có $PT\Leftrightarrow (2-\sqrt 3)\cos x-(1-\cos(x-\frac{\pi}{2}))=2\cos x-1$

$\Leftrightarrow \sin x-\sqrt 3\cos x=0$

$\Leftrightarrow \sin (x-\frac{\pi}{3})=0$

Đây đến giải tiếp. Chú ý kiểm tra điều kiện xác định

Bài 4: Ta có $PT\Leftrightarrow 2(1-\cos x)-\sqrt 3\cos 2x=1+(1+\cos(2x-\frac{3\pi}{2}))$

$\Leftrightarrow \sin2x-\sqrt3\cos2x=2\cos x$

$\Leftrightarrow \cos(2x+\frac{\pi}{6})=-\cos x=\cos(\pi-x)$

1.Cho $\Delta$ABC vuông tại A, biết AB = 3(cm), góc C = 30 độ. Hãy giải $\Delta$ABC

2.Giải $\Delta$ABC vuông biết ( góc A=90độ), AB=5, BC=7. (kết quả làm tròn đến độ, về cạnh làm tròn đến 3 chữ số thập phân)

1) Ta có $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$ nên $BC=2AB=6$.

Suy ra, $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=3\sqrt3$ và góc $B=60^0$

2) Không hiểu hỏi cái gì? Nếu vẫn là giải tam giác thì $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=2\sqrt6$.

$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{7}\Rightarrow \hat{C}$.

Từ đó, suy ra $B$.

Các bài còn lại tương tự

Giải phương trình:

1) $\sqrt{x-2+\sqrt{2x-5}}+\sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}}=7\sqrt{2}$

2) $\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+4356}+x}{x}}-\sqrt{x\sqrt{x^2+4356}-x^2}=5$

Bài 1: Nhân 2 vế với $\sqrt2$ ta được $PT\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{2x-5}+1)^2}+ \sqrt{(\sqrt{2x-5}+3)^2}=14$

$PT\Leftrightarrow \sqrt{2x-5}=5\Leftrightarrow x=15$

PT mặt phẳng $(ABC)$ là $6x+3y+2z-6=0$.

$\vec{BC}=(0;-2;3);\vec{AC}=(-1;2;0)$

Phương trình đường cao $AH$ vuông góc với $(ABC)$ và $BC$ nên có vecto chỉ phương là $\vec{u_A}=[\vec{n_P};\vec{BC}]=(13;-18;-12)$.

Do đó, phương trình $$AH:\frac{x-1}{13}=\frac{y}{-18}=\frac{z}{-12}$.

Tương tự ta có $\vec{u_B}=[\vec{n_P};\vec{AC}]=(-4;-2;15)$ nên $BK:\frac{x}{-4}=\frac{y}{-2}=\frac{z-3}{15}$.

Điểm $I$ là trực nên khi mà $I$ là giao điểm của $AH$ với $BK$.

Giải hệ ta được $I$.

Cách 2:

B1: Lập phương trình mặt phẳng qua $A$ vuông góc $BC$ và qua $B$ vuông góc $AC$.

B2: Tìm điểm của hai mặt phẳng này là đường thẳng chứa trực tâm.

Cho đường thẳng này giao với mặt phẳng $(ABC)$ là tìm được trực tâm.

Đáp án hoàn chỉnh đây nhé.

Có lẽ các MOD di chuyển bài của mình đi rồi.

Gửi cả nhà đáp án môn Toán. Đảm bảo chi tiết, dễ hiểu và chính xác 100%.

 

Thầy hỏi mà cả lớp không biết trả lời sao luôn, ai biết giải thích GẤP giùm mình nhé, cám ơn
các bạn thông cảm mình không rành dùng các công cụ hỗ trợ toán nên trình bày hơi dở
Ví dụ: Xét sự biến thiên của hàm
y=x³-3x+1
có y'=0 <=>x=1 hoặc x=-1

 Bảng biến thiên

1. x           -1              1 
   y'      +    0        -     0       + 
   y  đbiến     ngbiến     đbiến

vậy hàm số đồng biến trên (âm vô cùng, -1),(1, dương vô cùng) .
vậy dấu "," giữa 2 khoảng tại sao lại không thể thay bằng ký hiệu hợp "U"?

Không được dùng ký hiệu hợp vì hàm số này đồng biến (nghịch biến) trên từng khoảng đó, không phải đồng biến (nghịch biến) trên cả tập hợp hợp kia.

 

Ví dụ: Nếu lấy $x_1$ thuộc khoảng thứ nhất, $x_2$ thuộc khoảng thứ hai ($x_1<x_2$) thì ta chưa chắc có $f(x_1)<f(x_2)$ nếu hàm số đồng biến.

Lấy hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$ là đơn giản nhất.

 

Thêm 01 chú ý nữa: Mình thấy nhiều bạn (có cả GV) khi khảo sát hàm số phân thức, cứ kết luận vắn tắt là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định, như vậy là không chính xác vì tập xác định là hợp của hai tập hợp rời nhau khác.

1)cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . gọi O là trọng tâm tam giác ABC , M là trung điểm BC . SO vuông góc (ABC) , SA = a
a) tính góc giữa SA và (ABC)
b) tính góc giữa SO và (SBC)
2)cho hình chóp SABC có đáy ABC la tam giác vuông tại B . AB =3 a,AC =5a , SA = a căn 2 . gọi M là trung điểm AB , SM vuông góc (ABC) .
a)tính góc giữa BC và (SAB)
b)goị N là trung điểm AC . tính góc giữa SB và (AMN)
3) )cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và vuông góc vơí đáy . goị I là trung điểm AB . tính góc giữa SD và (SCI)
giúp mình nha , tks nhìêu

1) a) Ta có gógiwuax $SA$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SAO}$.

Ta có $\tan \widehat{SAO} = \frac{SO}{OA}=\frac{\sqrt3}{2}$

b) Trong $(SOM)$ kẻ $OH\perp SM$.

=> góc

Bạn chứng minh $OH\perp (SBC)$ nhé, đơn giản mà.

Suy ra, góc giữa $SO$ và $(SBC)$ là góc $\widehat{OSH}$.

Ta có $\tan \widehat{OSH} = \frac{OM}{SO}$

=> góc