Đến nội dung


Hình ảnh

$f(2x)=2f(x)$ và $f(f^2(x))=xf(x)$

Tặng Hưng ^_^

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 23-12-2011 - 22:01

Bài toán: Xác định các hàm số liên tục $f:\mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ thỏa mãn:
  • $f(2x)=2f(x),\forall x \in \mathbb{R^+}$
  • $f(f^2(x))=xf(x),\forall x \in \mathbb{R^+}$
  • $f(x) \in \mathbb{N^*},\forall x \in \mathbb{N^*}$.

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#2 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1593 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 20-10-2012 - 08:31

Bài này hình sử dụng tính chất này:

Tập $\left \{ \frac{m}{2^n} | m ; n \in \mathbb{N^{*}} \right \}$ trù mật trên $ \mathbb{R^{+}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 20-10-2012 - 08:33

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#3 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3797 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 23-10-2012 - 12:14

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng (hoặc phủ định đúng) được bài toán này. Nếu hết ngày 23/10 mà vẫn không có ai giải được hoặc phủ định được bài toán này, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#4 duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 23-10-2012 - 14:28

Mình giải thế này không biết có đúng không nhé.

Từ điều kiện 1 và 3, suy ra hàm số $f(x)$ làm hàm đa thức với hệ số nguyên.
Khi đó, $f(x)$ có dạng $f(x)=a_1x^n+a_2x^{n-1}+\cdots+a_{n+1}$. Bậc của $f(x)$ là $n$.
Suy ra, $Deg(f^2(x))=2n;Deg(f(f^2(x)))=2n^2$.
Từ điều kiện 2, suy ra $Deg(f(f^2(x)))=Deg(xf(x))$. Suy ra, $n=1$.
Suy ra, hàm số $f(x)=ax+b$.
Từ điều kiện 1, suy ra $b=0$.
Vậy các hàm số $f(x)$ có dạng là $f(x)=ax;\quad (a\in \mathbb{N}^*)$.
Từ điều kiện 2, suy ra $a=1$.
Vậy $f(x)=x.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongtoi: 23-10-2012 - 14:46

  • PSW yêu thích

#5 FanquanA1

FanquanA1

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-10-2012 - 20:26

Bài toán: Xác định các hàm số liên tục $f:\mathbb{R^+} \to \mathbb{R^+}$ thỏa mãn:

  • $f(2x)=2f(x),\forall x \in \mathbb{R^+}$
  • $f(f^2(x))=xf(x),\forall x \in \mathbb{R^+}$
  • $f(x) \in \mathbb{N^*},\forall x \in \mathbb{N^*}$.

Trước tiên từ 2 suy ra f đơn ánh và do f liên tục trên $\left ( 0,+\infty \right )$ nên f toàn ánh trên $\left ( 0,+\infty \right )$. Suy ra tồn tại $a\in (0.+\infty )$ sao cho $f(a)=1$. Thay a vào 2 ta có: $f(1)=a$. Thay $x=1$ vào 2 ta có: $f(a^2)=a$. Thay $x=a^2$ vào 2 ta có: $f(a^2)=a^3$. Suy ra $a=1$. Do f liên tục và đơn ánh nên f tăng hoặc giảm nhưng do 3 nên f tắng (Nếu f giảm thì cho $x\in N*$, x đủ lớn thì $f(x)$ không có giá trị xác định). Ta sẽ chứng minh$f(x)=x$, $x\in N^*$
Thay $x=1$ vào 1 ta có: $f(2)=2$. Thay $x=2$ vào 1 ta có: $f(4)=4$. Do $f(3)$ nguyên và f đơn ánh nên $f(3)=3$.
Giả sử khẳng định đúng đến n. Tức là $f(n)=n$. Ta sẽ chứng minh: $f(n+1)=n+1$. Thật vậy:
$f(2n)=2n$ và vì f đơn ánh nên: $n=f(n)<f(n+1)<...<f(2n-1)<f(2n)=2n$ suy ra: $f(n+1)=n+1$
Như vậy $f(n)=n,n\in N*$
Ta có: $f(m)=2f(\frac{m}{2})=2^nf(\frac{m}{2^n})\Rightarrow \frac{m}{2^n}=f(\frac{m}{2^n})$
Mặt khác: $\frac{m}{2^n}$ trù mật trên $\left ( 0,+\infty \right )$ nên:
$x_0=lim\frac{m}{2^n}=limf(\frac{m}{2^n})=f(lim\frac{m}{2^n})=x_0$
Vậy $f(x)=x,x\in R^+$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FanquanA1: 24-10-2012 - 20:27

THPT Phan Boi Chau,Nghe An

#6 mekjpdoj

mekjpdoj

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Yên

Đã gửi 24-10-2012 - 20:28

mình làm thử, sai mọi người sửa giúp :D, mới làm lần đầu mà :D
f(2x)=2f(x) (1)
f(f2(x)) = x.f(x) (2)

từ (2) ta có:

giả sử f(x) là hàm bậc 2 trở lên => x.f(x) sẽ có bậc 3 trở lên còn f2(x) có bậc chẵn trên 4
vì vậy hàm f(x) có bậc từ 2 trở lên là không hợp lí
=> f(x) có dạng f(x) = ax +b
(2) <=> a(ax + b)2 +b = x.(a.x +b)
<=> a3x + 2a2b + $\frac{b^{2}a + b}{x}$ = ax +b
(1) <=>ax + $\frac{b}{2}$ =ax + b
dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta có
a=1;b=0 V a= 0; b=0 V a= - 1; b=0
=> hàm số cần tìm là f(x)=x hoặc f(x) =0 hoặc f(x) = -x
mà f(x)$\epsilon N$* $\forall x\epsilon N$*
nên f(x) =0 và f(x) = -x không thỏa
f(x)=x thỏa
vậy hàm số cần tìm là f(x)=x

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mekjpdoj: 24-10-2012 - 22:51


#7 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-10-2012 - 10:41

Chấm điểm
FanquanA1: 50 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 27-10-2012 - 20:19

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#8 duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 28-10-2012 - 15:34

mình làm thử, sai mọi người sửa giúp :D, mới làm lần đầu mà :D
f(2x)=2f(x) (1)
f(f2(x)) = x.f(x) (2)

từ (2) ta có:

giả sử f(x) là hàm bậc 2 trở lên => x.f(x) sẽ có bậc 3 trở lên còn f2(x) có bậc chẵn trên 4
vì vậy hàm f(x) có bậc từ 2 trở lên là không hợp lí
=> f(x) có dạng f(x) = ax +b
(2) <=> a(ax + b)2 +b = x.(a.x +b)
<=> a3x + 2a2b + $\frac{b^{2}a + b}{x}$ = ax +b
(1) <=>ax + $\frac{b}{2}$ =ax + b
dùng phương pháp đồng nhất hệ số, ta có
a=1;b=0 V a= 0; b=0 V a= - 1; b=0
=> hàm số cần tìm là f(x)=x hoặc f(x) =0 hoặc f(x) = -x
mà f(x)$\epsilon N$* $\forall x\epsilon N$*
nên f(x) =0 và f(x) = -x không thỏa
f(x)=x thỏa
vậy hàm số cần tìm là f(x)=x


Bài này, nó k cho $f(x)$ là hàm đa thức ngay từ đầu nên bạn không thể giả sử bậc của hàm $f(x)$ ngay được.

#9 mekjpdoj

mekjpdoj

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Yên

Đã gửi 29-10-2012 - 22:51

hehe, thì nói moi lam lan dau ma, uh, h cung tam hiu

#10 Trungpbc

Trungpbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Toán,conan

Đã gửi 09-11-2012 - 21:23

Trước tiên từ 2 suy ra f đơn ánh và do f liên tục trên $\left ( 0,+\infty \right )$ nên f toàn ánh trên $\left ( 0,+\infty \right )$. Suy ra tồn tại $a\in (0.+\infty )$ sao cho $f(a)=1$.

Đoạn này chưa đúng nhé, một hàm đơn ánh và liên tục trên $\left ( 0,+\infty \right )$ thì chưa chưa chắc đã toàn ánh trên đó, có thể lấy hàm $f(x)=1+x^{2}$ là một phản ví dụ. Tuy nhiên việc tính $f(1)$ khá đơn giản, trong (2) chọ $x=1$ và sử dụng tính đơn ánh ta có $f(1)^{2}=1$, chú ý điều kiện (3) suy ra $f(1)=1$, phần còn lại thì ok rồi.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh