Có em đây em là fan của ra cũng như cr7 mong năm nay anh ấy có thể đạt quả bóng vàng!

có anh em nào trong VMF năm nay dc thi VMO ko

Có ông thắng đó anh!

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 4: (4 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh:
$$(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) \geq 3(x+y+z)^2+(xyz-1)^2$$

Bài này dùng BDT phụ sau kết hợp với AM-GM 2 số:
$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ac)$

Bài số học cũng khá hay!
Ta có
$ 6.2^{2000} \vdots (n+1)(n^2-n+6)$
Do đó ta xét hai trường hợp :
+)$n+1= 2^x;n^2-n+6=3.2^y$
Và +)$n^2-n+6= 2^x;n+1=3.2^y$
Dau đó đưa về PT pell là ra!

Anh còn cuốn nào về dãy số qua các kì thi Olympiad nữa không ạ cho en với!

Cho $ \dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\geq 1$
Tìm max $abc$

Bạn hãy đặt tiêu đề rõ ràng bằng Latex, không nên đặt là: ... đây, giúp ... với, một bài ... hay, ...

Ta có:
$\dfrac{1}{a+2} \geq (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{b+2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{c+2})$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a+2} \geq \dfrac{b}{2(b+2)} +\dfrac{c}{2(c+2)} \geq 2\sqrt{\dfrac{b}{2(b+2)} .\dfrac{c}{2(c+2)}} $
Lamf tương tự như vậy rồi nhân các BDT lại ta được ĐPCM!

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a^2 + b^2 + c^2 = 3$
CM:$\dfrac{a}{\sqrt{b}} + \dfrac{b}{\sqrt{c}} + \dfrac{c}{\sqrt{a}} \geq a + b + c$

Ta có:[$\left(\dfrac{a}{\sqrt{b}} + \dfrac{b}{\sqrt{c}} + \dfrac{c}{\sqrt{a}}\right)^2=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+2(a\sqrt{\dfrac{b}{c}}+ b\sqrt{\dfrac{c}{a}}+c\sqrt{\dfrac{a}{b}})$
áp dụng BDT AM-GM ta có:
$\dfrac{a^2}{b}+a\sqrt{\dfrac{b}{c}}+a\sqrt{\dfrac{b}{c}}+c \ge 4a[$
Thêm 2 cái tương tự cộng vào suy ra:
$\left(\dfrac{a}{\sqrt{b}} + \dfrac{b}{\sqrt{c}} + \dfrac{c}{\sqrt{a}}\right)^2 \ge 3(a+b+c) \ge (a+b+c)^2$
Do $a^2+b^2+c^2=3 \Rightarrow a+b+c \le 3$

Bài 1:
Vô nghiệm
Bài 2:
Nhân tung ra rồi xét!

1. Cho a,b,c >0. Min, Max của
S= $\dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{4b}{a+c}+ \dfrac{9c}{a+b}$

2.Cho a,b,c >0. CMR:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$

3.Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn: ab+bc+cd+da=3
Min S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b}$

4.Cho x,y,z thỏa mãn x+2y-2z=1.
Tìm Min S= $x^2+y^2+z^2$

1. Cho a,b,c >0. Min, Max của
S= $\dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{4b}{a+c}+ \dfrac{9c}{a+b}$

2.Cho a,b,c >0. CMR:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$

3.Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn: ab+bc+cd+da=3
Min S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b}$

4.Cho x,y,z thỏa mãn x+2y-2z=1.
Tìm Min S= $x^2+y^2+z^2$

Bài 2:
Ta có:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
$\Leftrightarrow 1-\dfrac{a}{1+a}+ 2-\dfrac{2b}{2+b}+ 3-\dfrac{3c}{3+c} \geq 6-\dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
$\Leftrightarrow {1}{1+a}+ \dfrac{4}{2+b}+ \dfrac{9}{3+c} \geq \dfrac{36}{6+a+b+c}$
Đúng theo C-S!
Bài 4:
Chắc bạn chép đề thiếu!
S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b} + \dfrac{d^3}{a+b+c}$

Bài 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =(x + y)(x + z) trong đó x, y, z là 3 số dương thay đổi thỏa mãn: (x + y + z)xyz =1

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:
$\large \left\{\begin{matrix} a\geq 0, b\geqslant 0\\ a+2b-4c+2=0 \\ 2a-b+7c-11=0 \end{matrix}\right.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q= 6a + 7b +2006c

Bài 3: Cho a,b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện:
$\large a^{2}- 3ab+ 2b^{2}+a-b= a^{2}- 2ab+ b^{2}-5a+7b= 0$
CMR: ab - 12a +15b =0

Bài 4: Cho các số thực x,y thỏa mãn: $\large x^{2}+y^{2}=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P= x - $\large \sqrt{5}y$

Bài 5:Cho ba số dương thỏa mãn: a + b + c=1
CMR: $\large \dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\geqslant 16$

Bài 6: Cho x,y là các số dương thỏa mãn: $\large x + \dfrac{1}{y}\leqslant 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của A= $\large \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$

Bài 1:
Ta có:
$(x+y)(x+z)=x(x+y+z)+yz = x(x+y+z) + \frac{1}{x(x+y+z))} \geq 2$
Bài 5:
Ta có:
$\large \dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc} =\frac{1}{c}( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}) \geq \frac{4}{c(a+b)} \geq \frac{4}{\frac{(a+b+c)^2}{4}} = 16 $

Ta có:
$x^2y^2-2x+y^2=0 \Rightarrow y^2=\frac[2x}{x^2+1}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}y^2 \leq 0 & & \\x \geq 0 & & \end{matrix}\right$
Từ đó suy ra:
$2x^3+3x^2+6y-12x+13 \geq (x-1)^2(2x+7) \geq 0$
Do đó dấu = xảy ra $\Rightarrow x=1$
Vậy nghiệm của PT đã cho là:
$(x;y)=(1;1)$

Bài 90:
Cho các a,b,c là các số thực dương.CMR:
$(1+\frac{a}{b})^2 +(1+\frac{b}{c})^2+(1+\frac{c}{a})^2 \geq \frac{12(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}$

Đặt $a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z$ ta đưa về bài toán quen thuộc!

Đây nè bạn:

Như thế này.
Đặt $a = \dfrac{1}{x};b = \dfrac{1}{y};c = \dfrac{1}{z}$. Khi đó từ giả thiết ta có: $ab + bc + ca = 1$
và $A = \dfrac{{2a}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {1 + {c^2}} }}$
Do $ab + bc + ca = 1$ nên $1 + {a^2} = ab + bc + ca + {a^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)$. Với các đẳng thức tương tự, ta có:
$A = \dfrac{{2a}}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} + \dfrac{{2b}}{{\sqrt {4\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)} }} + \dfrac{{2c}}{{\sqrt {4\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)} }}$
$\le a\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{a + c}}} \right) + b\left( {\dfrac{1}{{4\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) + c\left( {\dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{4\left( {c + b} \right)}}} \right) = \dfrac{9}{4}$ (áp dụng AM-GM)
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow b = c = \dfrac{1}{7}a \Leftrightarrow y = z = 7x = \sqrt {15} $
Vậy $\max A = \dfrac{9}{4}$ đạt được khi $y = z = 7x = \sqrt {15} $.

$\dfrac{1^1}{1!}+\dfrac{2^2}{3!}+\dfrac{3^3}{5!}+....+\dfrac{29^{29}}{57!}+\dfrac{30^{30}}{59!} $

Cực trị : $\dfrac{6-x^2}{2x^2 +1}$
1 bài nho nhỏ! giúp tớ nha!"anh" Huy!

Tìm MAx
Ta có:
$\dfrac{6-x^2}{2x^2 +1} =\dfrac{13-(2x^2+1)}{2(2x^2 +1)} =\dfrac{13}{2(2x^2 +1)}- \dfrac{1}{2} \leq 7 $
Vì $2x^2 \geq 0 $ nên $2x^2+1 \geq 1$
---------------------------------------
C.X.H: Bạn giải sai rồi. $A_{min}=6$ chứ

$a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$

Ta có:
$a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
$\Leftrightarrow \dfrac{a+2b+c}{(1-a)(1-c)} \geq 4(1-b)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-c} \geq 4(1-b)$
Ta lại có:
$\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-c} \geq \dfrac{4}{1+b} $
Mà:
$\dfrac{4}{1+b} \geq 4(1-b)$ (Biến đổi tương đương)
Suy ra Q.E.D

Mong bạn Hoàng không nên lấy bài từ boxmath cop sang đây!
Làm thế thật không hay mình thấy bên đó có bài nào là bạn lại post sang đây!
Gây ra sự trùng lặp giưa các trang web!

Cho x,y,z > 0 Tìm Min T
$T = x(\dfrac{{x - y}}{{x + y}} + \dfrac{1}{y}) + y(\dfrac{{y - z}}{{y + z}} + \dfrac{1}{z}) + z(\dfrac{{z - x}}{{z + x}} + \dfrac{1}{x})$

Ta có:
\[\sum_{cyc} \dfrac{x^2}{x+y}\ge \dfrac{x+y+z}{2} \ge \sum_{cyc} \dfrac{xy}{x+y}}\]
\[\rightarrow \sum_{cyc}{\dfrac{x^2-xy}{x+y}\ge 0\]
Dễ dangt hấy rằng:
\[\sum_{cyc}{\dfrac{x}{y}}\ge 3\]
Vậy:
\[LHS\ge 3\]

[

Bài 54 Cho $x;\,y;\,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy + yz + zx = 3xyz$, chứng minh rằng:
$\dfrac{y^2}{xy^2+2z^2}+\dfrac{x^2}{zx^2+2y^2}+ \dfrac{z^2}{yz^2+2x^2}\ge 1$
Bài 56 Cho ba số thực dương $a;\,b;\,c$ có $abc=1$]. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P=\dfrac{a^2b}{a+b}+\dfrac{b^2c}{b+c}+\dfrac{c^2a}{c+a}$

Bài 54:
Từ giả thiết $\rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$
Đặt $\dfrac{1}{x}=a,\dfrac{1}{y}=b,\dfrac{1}{z}=c \Rightarrow a+b+c=3$
BDT$ \Rightarrow \sum \dfrac{a^2}{a+2b^2}\ge 1$
$\Rightarrow \sum (a-\dfrac{2ab^2}{a+2b^2})\ge 1$
$\Leftrightarrow 3-\sum\dfrac{2ab^2}{a+2b^2}\ge 1$
Ta có:

$\dfrac{2ab^2}{a+2b^2}\le^{AM-GM} \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}$

Tương tự ta có:

$VT\ge 3-\dfrac{2}{3}(\sum\sqrt[3]{a^2b^2})$

Mà:

$\sum\sqrt[3]{a^2b^2}\le \sum\dfrac{ab+ab+1}{3}=\dfrac{2}{3}(ab+bc+ca)+1\le 3$
Vậy $VT \ge 3-2=1 (dpcm)$
Bài 56:
$ abc=1\to a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$

${{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}+3\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right)$
$={{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}+\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right)\le \dfrac{4}{3}{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}$

$ P=\sum\limits_{cyc}{\dfrac{{{a}^{2}}b}{a+b}} = \sum\limits_{cyc}{\dfrac{\dfrac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}.\dfrac{y}{z}}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}}} = \sum\limits_{cyc}{\dfrac{2{{x}^{2}}}{2xz+2{{y}^{2}}}} \overset{AM-GM}{ \ge }\,2.\sum\limits_{cyc}{\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{z}^{2}}+2{{y}^{2}}}}$
$\overset{Cauchy-Schwarz}{ \ge }\,2.\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}} + 3\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right)}\ge 2.\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}$

Từ đó: $P=\sum\limits_{cyc}{\dfrac{{{a}^{2}}b}{a+b}}\ge \dfrac{3}{2}$