Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 4: (4 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh:
$$(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) \geq 3(x+y+z)^2+(xyz-1)^2$$

Bài này dùng BDT phụ sau kết hợp với AM-GM 2 số:
$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ac)$

Bài số học cũng khá hay!
Ta có
$ 6.2^{2000} \vdots (n+1)(n^2-n+6)$
Do đó ta xét hai trường hợp :
+)$n+1= 2^x;n^2-n+6=3.2^y$
Và +)$n^2-n+6= 2^x;n+1=3.2^y$
Dau đó đưa về PT pell là ra!

Đây nè bạn:

Như thế này.
Đặt $a = \dfrac{1}{x};b = \dfrac{1}{y};c = \dfrac{1}{z}$. Khi đó từ giả thiết ta có: $ab + bc + ca = 1$
và $A = \dfrac{{2a}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {1 + {c^2}} }}$
Do $ab + bc + ca = 1$ nên $1 + {a^2} = ab + bc + ca + {a^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)$. Với các đẳng thức tương tự, ta có:
$A = \dfrac{{2a}}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} + \dfrac{{2b}}{{\sqrt {4\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)} }} + \dfrac{{2c}}{{\sqrt {4\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)} }}$
$\le a\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{a + c}}} \right) + b\left( {\dfrac{1}{{4\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) + c\left( {\dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{4\left( {c + b} \right)}}} \right) = \dfrac{9}{4}$ (áp dụng AM-GM)
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow b = c = \dfrac{1}{7}a \Leftrightarrow y = z = 7x = \sqrt {15} $
Vậy $\max A = \dfrac{9}{4}$ đạt được khi $y = z = 7x = \sqrt {15} $.

1. Cho a,b,c >0. Min, Max của
S= $\dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{4b}{a+c}+ \dfrac{9c}{a+b}$

2.Cho a,b,c >0. CMR:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$

3.Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn: ab+bc+cd+da=3
Min S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b}$

4.Cho x,y,z thỏa mãn x+2y-2z=1.
Tìm Min S= $x^2+y^2+z^2$

1. Cho a,b,c >0. Min, Max của
S= $\dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{4b}{a+c}+ \dfrac{9c}{a+b}$

2.Cho a,b,c >0. CMR:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$

3.Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn: ab+bc+cd+da=3
Min S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b}$

4.Cho x,y,z thỏa mãn x+2y-2z=1.
Tìm Min S= $x^2+y^2+z^2$

Bài 2:
Ta có:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
$\Leftrightarrow 1-\dfrac{a}{1+a}+ 2-\dfrac{2b}{2+b}+ 3-\dfrac{3c}{3+c} \geq 6-\dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
$\Leftrightarrow {1}{1+a}+ \dfrac{4}{2+b}+ \dfrac{9}{3+c} \geq \dfrac{36}{6+a+b+c}$
Đúng theo C-S!
Bài 4:
Chắc bạn chép đề thiếu!
S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b} + \dfrac{d^3}{a+b+c}$

CMR: $n \in N$
$\dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + .... + \dfrac{1}{2n} > \dfrac{13}{24} (n>1)$

$\dfrac{1}{2}. \dfrac{3}{4}. ..... . \dfrac{2n-1}{2n} \leq \dfrac{1}{\sqrt{3n+1}}$

Những bài này hình như có thể giải quyết đơn giản bằng phương pháp quy nạp, bạn đã thử chưa nhỉ?

K

Mình đưa lên để thảo luận chứ không phải để hỏi thế nên PP quy nạp mình đã thử rồi!

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a^2 + b^2 + c^2 = 3$
CM:$\dfrac{a}{\sqrt{b}} + \dfrac{b}{\sqrt{c}} + \dfrac{c}{\sqrt{a}} \geq a + b + c$

Ta có:[$\left(\dfrac{a}{\sqrt{b}} + \dfrac{b}{\sqrt{c}} + \dfrac{c}{\sqrt{a}}\right)^2=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+2(a\sqrt{\dfrac{b}{c}}+ b\sqrt{\dfrac{c}{a}}+c\sqrt{\dfrac{a}{b}})$
áp dụng BDT AM-GM ta có:
$\dfrac{a^2}{b}+a\sqrt{\dfrac{b}{c}}+a\sqrt{\dfrac{b}{c}}+c \ge 4a[$
Thêm 2 cái tương tự cộng vào suy ra:
$\left(\dfrac{a}{\sqrt{b}} + \dfrac{b}{\sqrt{c}} + \dfrac{c}{\sqrt{a}}\right)^2 \ge 3(a+b+c) \ge (a+b+c)^2$
Do $a^2+b^2+c^2=3 \Rightarrow a+b+c \le 3$

Cho ba số thực khác nhau đôi một $a_1,a_2;a_3$. Ta xác định ba số thực $b_1;b_2:b_3 $ như sau:
$b_1=(1+\frac{a_1a_2}{a_1-a_2})(1+\frac{a_1a_3}{a_1-a_3})$
$b_2=(1+\frac{a_1a_2}{a_2-a_1})(1+\frac{a_2a_3}{a_2-a_3})$
$b_3=(1+\frac{a_2a_3}{a_3-a_2})(1+\frac{a_1a_3}{a_3-a_1})$
Chứng minh rằng:
$1+|a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3| \le (1+|a_1|)(1+|a_2|)(1+|a_3|)$

Dùng p,q,r chắc ngon!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lần sau bạn trình bày hẳn ra nhé Thân!

Mình có biết đến một bài toán của tác giả Phạm Văn Thuận gần giống bài này như sau:
Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$ Với mỗi số tự nhiên $n$ hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất cua biểu thức:
$P(a,b,c)=a(b-c)^n+b(c-a)^n+c(a-b)^n$a,b, thỏa mãna+b+. Với mỗi số tự nhiên hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

$a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$

Ta có:
$a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
$\Leftrightarrow \dfrac{a+2b+c}{(1-a)(1-c)} \geq 4(1-b)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-c} \geq 4(1-b)$
Ta lại có:
$\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-c} \geq \dfrac{4}{1+b} $
Mà:
$\dfrac{4}{1+b} \geq 4(1-b)$ (Biến đổi tương đương)
Suy ra Q.E.D

CMR:
1) $\sum \dfrac{l_a.l_b}{l_c} \geq p\sqrt{3}$
2) $\sum \dfrac{l_a}{l_a+r_a} \geq \sum cos A$

Bài 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =(x + y)(x + z) trong đó x, y, z là 3 số dương thay đổi thỏa mãn: (x + y + z)xyz =1

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:
$\large \left\{\begin{matrix} a\geq 0, b\geqslant 0\\ a+2b-4c+2=0 \\ 2a-b+7c-11=0 \end{matrix}\right.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q= 6a + 7b +2006c

Bài 3: Cho a,b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện:
$\large a^{2}- 3ab+ 2b^{2}+a-b= a^{2}- 2ab+ b^{2}-5a+7b= 0$
CMR: ab - 12a +15b =0

Bài 4: Cho các số thực x,y thỏa mãn: $\large x^{2}+y^{2}=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P= x - $\large \sqrt{5}y$

Bài 5:Cho ba số dương thỏa mãn: a + b + c=1
CMR: $\large \dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\geqslant 16$

Bài 6: Cho x,y là các số dương thỏa mãn: $\large x + \dfrac{1}{y}\leqslant 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của A= $\large \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$

Bài 1:
Ta có:
$(x+y)(x+z)=x(x+y+z)+yz = x(x+y+z) + \frac{1}{x(x+y+z))} \geq 2$
Bài 5:
Ta có:
$\large \dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc} =\frac{1}{c}( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}) \geq \frac{4}{c(a+b)} \geq \frac{4}{\frac{(a+b+c)^2}{4}} = 16 $

Đặt $a+b-c=x;b+c-a=y;c+a-b=z$ ta đưa về bài toán quen thuộc!

Bài 1:
Vô nghiệm
Bài 2:
Nhân tung ra rồi xét!

Cho a,b,c dương.CMR $\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(a+c)^3)}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+(a+b)^3)}}\geqslant 1$

Bạn xem ở đây nè:
http://diendantoanho...opic=58309&st=0

Không biết lập Topic Toán Casio ở đâu. Post bài vào đây vậy.

Ở đây nè bạn:

• Diễn đàn Toán học
• → Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học
• → Câu lạc bộ ngoại khóa
• → Góc Tin học
• → Giải toán bằng máy tính bỏ túi

Góp vui một bài dạng này!
Cho a,b,c là các số thực dương .CMR:
$\sum (\frac{a+2b}{a+2c})^2 \geq 3$

Một bài toán hay cho mọi người :
Cho $a, b, c, d$ là các số thực dương . Chứng minh bất đẳng thức :
$$\left (\dfrac{ab + ac + ad + bc + bd + cd}{6}\right )^3 \ge \left (\dfrac{abc + abd + acd + bcd}{4} \right )^2$$

Bài này có hai cách:
1) Dùng Cauchy-Schwarz:
2)Dùng Vi ét!

Cho $ \dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\geq 1$
Tìm max $abc$

Bạn hãy đặt tiêu đề rõ ràng bằng Latex, không nên đặt là: ... đây, giúp ... với, một bài ... hay, ...

Ta có:
$\dfrac{1}{a+2} \geq (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{b+2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{c+2})$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a+2} \geq \dfrac{b}{2(b+2)} +\dfrac{c}{2(c+2)} \geq 2\sqrt{\dfrac{b}{2(b+2)} .\dfrac{c}{2(c+2)}} $
Lamf tương tự như vậy rồi nhân các BDT lại ta được ĐPCM!