Cho (O), AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau. M là điểm thuộc cung nhỏ AD. MB và MC cắt OA và OD lần lượt ở P, Q. Chứng minh:
$\dfrac{OP}{PA}.\dfrac{OQ}{QD}=const$

Em không biết đề của anh/chị đúng không, nhưng nếu sửa lại hai đường kính đã cho thành AC và BD thì cách giải như sau:

*Từ O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt MB, MC lần lượt ở E, F.

*Áp dụng hệ quả đ/l Thales vào:
APM có AM//OE $\Rightarrow \dfrac{OP}{AP}=\dfrac{OE}{AM}$ (i)

DQM có MD//OF $\Rightarrow \dfrac{OQ}{QD}=\dfrac{OF}{MD}$ (ii)

BMD có OE//MD $\Rightarrow \dfrac{OE}{MD}=\dfrac{OB}{BD}$ (iii)

ACM có OF//AM $\Rightarrow \dfrac{OF}{AM}=\dfrac{OC}{AC}$ (iiii)

*(i), (ii) $\Rightarrow \dfrac{OP}{AP}.\dfrac{OQ}{QD}=\dfrac{OE.OF}{AM.MD}=\dfrac{OE}{MD}.\dfrac{OF}{AM}$, lại có (iii), (iiii)

$\Rightarrow \dfrac{OP}{AP}.\dfrac{OQ}{QD}=\dfrac{OB^2}{BD^2}=\dfrac{OB^2}{4OB^2}$ (do OB, BD là bán kính, đường kính của (O))

$\Rightarrow \dfrac{OP}{AP}.\dfrac{OQ}{QD}=\dfrac{1}{4} (Q.E.D)$

Cho (O), AB và CD là hai đường kính vuông góc với nhau. M là điểm thuộc cung nhỏ AD. MB và MC cắt OA và OD lần lượt ở P, Q. Chứng minh:
$\dfrac{OP}{PA}.\dfrac{OQ}{QD}=const$

Theo em thì hai đường kính phải là AC và BD. Em mới lớp 8 thôi, có sai thì đừng cười em nhé!

to nghi kla cau danh sai dau bai roi chac phai la
x.(y+z)+y(x+z)+z(y+x)

*Mình nghĩ là đề của bạn tramanh94 đúng rồi: x.(y+z)+y(x+z)+z(x+z)
xy+xz+xy+yz+xz+ z^{2}
x.(y+z)+(xy+xz)+(yz+ z^{2})
x.(y+z)+z(y+z)+z(y+z)
(y+z)(x+2z)

ABC, góc A= 60 độ . Các tia phân giác BD và CE cắt nhau tại I . So sánh ID và IE

Cách lớp 7 cho em đây

*Từ I kẻ IM, IN vuông góc với AB, AC lần lượt (M thuộc AB, N thuộc AC)

*Theo t/c giao điểm ba đường p/g (tâm đường tròn nội tiếp tam giác), ta có IM = IN

*Ta có góc NDI = góc ACB + 1/2 góc ABC (góc ngoài tại D của tam giác BDC)
= 1/2 góc ACB + 1/2 góc ABC + 1/2 góc ACB = 1/2(180 độ - góc BAC) + 1/2 góc ACB
= 1/2.120 độ + 1/2 góc ACB = 60 độ + 1/2 góc ACB (1)

*Ta có góc MEI = 60 độ + 1/2 góc ACB (góc ngoài tại E của tam giác AEC) (2)

*(1), (2) 90 độ - góc NDI = 90 độ - góc MEI Góc NID = góc MIE (do 2 tam giác NID, MEI vuông)

*Dễ dàng cm hai tam giác MIE và NID bằng nhau (g_c_g) do góc EMI = góc DNI = 90 độ (cách vẽ), IM=IN (cmt), góc MIE = góc NID (cmt) ID=IE (yttứ)

*Vậy ID=IE

Cho tam giác ABC. Lấy 1 điểm M ngoài tam giác ABC sao cho tứ giác ABMC có AM.BC=AB.CM+AC.BM. Chứng minh góc BAM = góc BCM

*Trong $\angle ABM$ lấy điểm N sao cho $\angle ABC = \angle NBM;\angle ACB = \angle NMB$

*Dễ dàng chứng minh được $\vartriangle ABC \sim \vartriangle NBM (g.g)$
$\Rightarrow \angle BAN = \angle BCM;\dfrac{AB}{BN} = \dfrac{BC}{BM} = \dfrac{AC}{MN}$
$\Rightarrow AC.BM=BC.MN (1)$

*Dễ dàng cm được $\angle ABN = \angle CBM $(bằng việc cộng góc), lại có $\dfrac{AB}{BN} = \dfrac{BC}{BM} (cmt)$
$\Rightarrow \vartriangle ABN \sim \vartriangle CBM (c.g.c)$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BN}{BM} = \dfrac{AN}{CM}$
$\Rightarrow AB.CM = BC.AN (2)$

*(1), (2) AC.BM + AB.CM = BC.(MN+AN) AM.BC (bất đẳng thức tam giác với tam giác AMN) (3)
Mà theo gt, AC.BM + AB.CM = AM.BC (4)

*(3), (4) AC.BM + AB.CM = AM.BC A, N, M thẳng hàng (bất đẳng thức tam giác)

*Lại có $\angle BAN = \angle BCM (cmt)$, mà A, N, M thẳng hàng suy ra góc BAN trùng với góc BAM
ĐPCM

*Đây còn gọi là định lý Ptolemee đảo, phát biểu như sau: Nếu một tứ giác có tích hai đường chéo bằng tổng của tích các cạnh bên đối nhau thì tứ giác đó nội tiếp.

Giả sử th1 đã được cm đúng !
Bạn đọc phải tự suy ra cách giả sử còn lại chứ ! Và từ đó để thấy trường hợp 2 là không xãy ra!

3+5=2+6, nhưng 3 đâu có bằng 2 đâu? Mình vẫn nghĩ cách giải này chưa chặt chẽ lắm^^
Nếu có gì sai thì bạn bỏ qua cho mình nhé, đừng giận

Từ B kẻ tia BI sao cho gABI = gCBM ( I thuộc đoạn AM)
AM.BC=AB.CM+AC.BM <=> (AI + IM).BC = AB.CM + AC.BM <=> AI.BC + IM.BC = AB.CM + AC.BM
Giả sử AI.BC = AB.CM <=> AI/CM = AB/BC và có gABI = gCBM (theo cách vẽ) => tgAIB ~ tgCMB => đfcm.

Theo mình cách giải này sai rồi. Bạn mới giả sử AI.BC=AB.CM thôi, lỡ khi nó không bằng hoặc AI.BC=AC.BM, mà chỉ giả sử thôi thì chưa đủ để kết luận đpcm đâu

Mấy bạn ơi,mấy câu mà in đậm là chưa làm được.Mấy bạn zúp mình nhé !!! Có mấy cái hỏi ròi zờ hỏi lại,tại ko hiểu sao cái acc của mình ko còn coi được mấy cái chủ đề đã gởi nữa !!! Thông cảm nha !

Bài 1 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O).H là trực tâm. Lấy M thuộc cung nhỏ BC.
a)Xác định M sao cho BHCM là hình bình hành
b)Với M bất kì thuộc cung nhỏ BC.Gọi N,E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB,AC. Hãy CMR : N,H,E thẳng hàng
c)Xác định vị trí M thuộc cung nhỏ BC sao cho NE có độ dài lớn nhất [Đề LHP chung 2001 - 2002]

Bài 2 : Cho (O) cố định có R=1.Tam giác ABC thay đổi và luôn nội tiếp (O).Một đường thẳng đi qua tâm O và cắt AB,AC lần lượt tại M,N.Xác định GTNN của diện tích AMN

Bài 3 : Cho (O;R) và (d) không qua O,cắt (O) tại 2 điểm A,B.Từ điểm di động M nằm trên (d) và ngoài (O),ta vẽ 2 tiếp tuyến MN,MP với (O)
a) Góc NMO = góc NPO
b) chứng minh (MNP) đi wa điểm cố định khi M di động trên (d)
c)Xác định M trên (d) sao cho MNOP là hình vuông
d)Chứng minh tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP di động trên đường cố định nào khi M di động trên (d)

Bài 4 : Cho (O) có AB=2R. K là trung điểm cung nhỏ AB.M là điểm di động trên cung nhỏ AK ( M khác A và K). Lấy N trên BM sao cho BN = AM.
a)Chứng minh góc AMK = BNK
b)Chứng minh tam giác MNK vuông cân.
c)AM và OK cắt nhau tại D.Chứng minh MK là phân giác góc DMN
d)Chứng minh : đường thẳng vuông góc vơi BM tại N luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5 : Cho hình thang ABCD có 2 đường chéo AC và BD cùng bằng đáy lớn AB.Gọi M là trung điểm CD.Cho biết góc MBC = CAB. Tính các góc của hình thang !!!

Bài 6 :Cho hình thang ABCD có 2 đáy BC và AD ( BC > AD ). Trên tia đối của tia CA lấy P tuỳ ý.Đường thẳng qua P và trung điểm I của BC cắt AB tại M. Đường thẳng qua P và trung điểm J của AD cắt CD tại N. Chứng minh MN // AD

Bài 7 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nt (O) (AB < AC). Vẽ (I) qua 2 điểm A và C,cắt các đoạn AB,BC tại M,N.Vẽ đường tròn tâm J đi wa 3 điểm B,N,M cắt (O) tại H. CMR :
a) OB vuông góc MN
b)IOBJ là hình bình hảnh ( đã CM được OI//BP )
c) BH vuông góc IH

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
HẾT ĐỀ THI LHP ÒI Đồ !!! ( 2001 - 2005 ) . Mai post típ mấy bài hình của TDN với DHSP. Zúp mình nhé !!! Bây zờ mình yk ngủ ây !

Bài 6/ ( Em mới học lớp 8 thôi, tò mò nên vào xem chơi, thấy giải được bài 6 nên mạn phép làm thử )
*Kéo dài BC cắt PJ tại E. Từ C kẻ CF//AB (F thuộc PM)
*Ta có NC/DN = CE/JD (hệ quả đ/l Thales cho tam giác DJN có JD//CE (hthang ABCD))
= CE/AJ (do J là trung điểm AD)
= CP/AP ( hệ quả đ/l Thales cho tam giác AJP có AJ//CE (hthang ABCD))
= CF/AM ( hệ quả đ/l Thales cho tam giác APM có CF//AM (cách vẽ))
NC/ND = CF/AM (1)
*Dễ dàng cm được CF=MB
CF/AM = MB/AM (2)
*(1), (2) suy ra đpcm

1.Cho x>0. Tìm Min: $P= x+\sqrt{x^2+ \dfrac{8}{x^2} }$
2.Cho x, y thỏa mãn: $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{16}=36$.TÌm max min của $P= x - y + 2004.$
3.Cho a,b 0. Tìm min: $P= a^2 + b^2 + \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2}$ .
4. CHo x,y,z thỏa mãn $x + y + 2z = 1$. Tìm max $P = xy +yz + zx.$

Mong mọi người xem hộ nha ( Nhớ là làm theo tam thức bậc 2 nhé).

Bài 3 :
*Áp dụng bđt $x^2 + y^2 \geq 2xy$, ta có:
$a^2 + \dfrac{1}{b^2} \geq 2 \dfrac{a}{b}$
$b^2 + \dfrac{1}{a^2} \geq 2 \dfrac{b}{a}$
*Cộng vế theo vế, ta có$ P \geq 2( \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} )$
*Áp dụng bđt$ \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \geq 2$, ta có $P \geq 4$
*Dấu "=" xảy ra a=b

*Mình làm k bik đúng k, nhờ mọi người xem xét dùm. Còn giải theo tam thức bậc hai là sao, mình chưa hiểu ý bạn


Lưu ý : bạn ấy bảo dùng theo tam thức bậc 2 mà bạn

Xin lỗi nha, mình viết thiếu: BD cắt AH tại O, cắt AQ tại P

Bài 1/Cmr HP.CK=HK.CP
Gọi tia đối của MP là Mx
*Dễ dàng cm được MH là p/g trong của tam giác MPK suy ra HP/HK=MP/MK (t/c đường p/g) (1)
*Ta có góc PMA + góc AMK + góc KMC + góc CMx = 180 độ
Lại có góc AMK + góc KMC = góc AMC = 90 độ
góc PMA + góc CMx = góc AMK + góc KMC = 90 độ, mà góc PMA = góc AMK (do MA là p/g góc PMK)
góc CMx = góc KMC MC là p/g ngoài tại M của tam giác MPK suy ra CP/CK=MP/MK (2)
*(1), (2) suy ra đpcm

Bài 4/ a) Cmr tam giác OPQ vuông cân
*AHIK là hình vuông suy ra AH=AK
*Góc BAH + góc HAC = góc HAC + góc DAK = 90 độ suy ra góc BAH = góc DAK
*Tam giác AHB = tam giác AKD (g_c_g) vì góc BAH = góc DAK (cmt), AH=AK (cmt), góc AHB = góc AKD = 90 độ (gt)
Suy ra AD=AB (yttứ), lại có góc BAD = 90 độ suy ra tam giác ABD vuông cân tại A (t/c)
Suy ra góc ABD = góc ADB = 45 độ, lại có góc BAP = 45 độ (do AP là p/g góc BAC (gt))
Suy ra tam giác ABP vuông cân tại P (t/c) suy ra góc OPQ = 90 độ và AP=BP (yttứ)
*Góc BAH + góc OAP + 45 độ = 90 độ
Góc BAH + góc PBQ + 45 độ = 90 độ
Suy ra góc OAP = góc PBO, lại có AP=BP (cmt), góc APO = góc BPQ = 90 độ
Suy ra tam giác APO = tam giác BPQ (g_c_g) suy ra OP = PQ
* Xét tam giác OPQ có OPQ = 90 độ (cmt) và OP = PQ (cmt) suy ra đpcm

b)Dựng A để S(AHIK) lớn nhất
*Lấy M sao cho AM là trung tuyến của tam giác ABC
*Ta có AH AM (quan hệ đường xiên và hình chiếu)
AH.AH AM.AM
S(AHIK) (BC/2)^{2} (do AM là trung tuyến nên AM=BM=MC=BC/2)
S(AHIK) BM.MC
*Vậy S(AHIK) lớn nhất AH=AM Tam giác ABC vuông cân tại A

Bài 2/ Đề sai rồi, không phải "góc A + góc B = 180 độ" mà phải là góc A + góc C = 180 độ
*Góc MON là góc ngoài tại O lần lượt của tam giác NOG và tam giác MOH
góc MON + góc MON = 1/2 góc N + góc OGN + 1/2 góc M + góc MHO
= (1/2 góc N + góc MHO) + (1/2 góc M + góc OGN)
= (180 độ - góc A) + (180 độ - góc C) (dùng t/c góc ngoài đó )
= 360 độ - (góc A + góc C) = 360 độ - 180 độ = 180 độ
góc MON = 90 độ
Tam giác MHF có MO vừa là p/g vừa là đường cao
Tam giác ENG có NO vừa là p/g vừa là đường cao
Tam giác MHF, tam giác ENG lần lượt cân tại M, N
MO, NO cũng là các đường trung tuyến của tam giác MHF, tam giác ENG
O là trung điểm chung của EG, FH
EFGH là hbn (tứ giác có 2 đường chéo có trung điểm chung)
Lại có EG vuông góc với FH (do góc MON = 90 độ (cmt))
EFGH là hình thoi (hbn có 2 đường chéo vuông góc) (đpcm)

Giúp mình giải 4 bài này nha:
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB<AC. 3 đường cao AM, AN, CP đồng qui tại trực tâm H. CP cắt MN ở K. Cm HP.CK=HK.CP
Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD ko có cạnh nào // và góc A + góc B = 180 độ. AD và BC cắt nhau tại M. AB cắt CD tại N. Phân giác góc DMC cắt AB ở E, CD ở G. Phân giác AND cắt BC, EG, AD tại F, O, H. Tính góc MON và cm: EFGH là hình thoi.
Bài 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và AB<AC. Qua A vẽ đường thẳng d // BC.
a) cm: $\angle BAM > \angle CAM$
b) Lấy D nằm giữa A,C. BD cắt AM ở I, cắt d ở K. Cm: IB.KD=ID.KB
Bài 4:Cho tam giác ABC vuông tại A, AB <=AC. Ah là đuo27ng cao. AQ là pah6n giác. Dựng hình vuông AHIK (I thuộc HC). AC cắt IK tại D.
a. CM: tam giác OPQ vuông cân; H, P, K thẳng hang
b. Cho B cố định. Dựng A (vẫn thỏa tam giác ABC vuông tại A có AB<= AC) để AHIK có diện tích lớn nhất.
Các bạn hướng dẫn rõ giúp mình nha, đặc biệt là câu b vì mình không quen với dạng này.

Bài 3/
a)Qua C vẽ CE//AB (E thuộc AM)
ABC có AB < AC (gt) suy ra $\angle ACB < \angle ABC$
Dễ dàng chứng minh được ABM = ECM AB=CE và $\angle BAM=\angle CEM $
Mà AB < AC (cmt) suy ra CE < AC suy ra $\angle CAM <\angle CEM$, mà $\angle BAM=\angle CEM$ đpcm
b)Qua D vẽ DF//BC (F thuộc AM)
Áp dụng hệ quả định lý Thales cho:
* IBM có DF//BM (cách vẽ) suy ra $\dfrac{IB}{ID}=\dfrac{BM}{DF}=\dfrac{MC}{DF}$ (do AM là trung tuyến tam giác ABC (gt)) (1)
* AKD có AK//BC (gt) suy ra $\dfrac{KB}{KD}=\dfrac{AC}{AD}$ (2)
* AMC có DF//MC (cách vẽ) suy ra $\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{MC}{DF}$ (3)
(1), (2), (3) suy ra đpcm

*Lấy E là trung điểm AD.
*$AB = \dfrac{{AC}}{3}$ (gt), AD=2CD (gt) và AE=ED (cách vẽ) suy ra AB=AE=ED=DC suy ra 2ED=EC
$AB^{2} + AE^{2} =2* ED^{2}$
$BE^{2}=ED*2*ED=ED*EC$
$\dfrac{{BE}}{{EC}} = \dfrac{{ED}}{{BE}}$ lại có góc BEC chung
$\vartriangle EBC \sim \vartriangle EDB$ (c_g_c)
$\angle ECB = \angle EBD$
$\angle ECB + \angle ADB = \angle EBD + \angle ADB = \angle AEB = 45^ \circ $ (do ABE vuông cân tại A)
đpcm

Bài 1 em đã chỉnh sửa đề rồi, anh thử giải lại giùm em có được không.Cảm ơn anh nhiều

*|x+y|^{2}= (x+y)^{2} (1)
* |a|+|b| |a+b|
(|a|+|b|)^{2} |a+b|^{x}=(a+b)^{2} ( áp dụng (1))
a^{2}+2|a||b|+b^{2} a^{2}+2ab+b^{2} (áp dụng (1)) (đúng do |a||b| ab)
*Vậy |a|+|b| |a+b|, dấu "=" xảy ra khi a,b 0

Cho hình thoi ABCD có ABC : = 60^{0}, hai đường chéo cắt nhau tại O, E thuộc tia BC sao cho BE = 4/3 BC AE cắt CD tại F trên hai đoạn thẳng AB, AD lần lượt lấy hai điểm G, H sao cho CG //FH.
1/ CMR: BG.DH = 3/4 BC.BC
2/ Tính số đo góc GOH

*Từ BE/BC=4/3(gt) suy ra CE/BC=1/3 suy ra CE/AD=1/3 (do BC=AD (do ABCD là hình thoi)) suy ra CF/DF=1/3 (áp dụng đ/l Thales cho AFD có AD//CE (tức là AD//BC) suy ra DF/DC=3/4 (cộng 1 vào 2 vế)
*[Cách suy nghĩ: cm BG.DH=3/4.BC.BC có nghĩa là cm BG.DH/BC.BC=3/4]
*[Cm đc 2 tam giác BGC và DFH đồng dạng] suy ra BG/BC=DF/DH
*Ta có: BG.DH/BC.BC=BG/BC.DH/BC=DF/DH.DH/BC=DF/BC=DF/DC(do ABCD là hình thoi)=3/4, từ đó suy ra đpcm