Rút gọn biểu thức sau :

$A=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}-4}{2\sqrt{3}+1}}-\sqrt{\frac{\sqrt{3}+4}{5-2\sqrt{3}}}$

-Sắp thi rồi, mà còn nhiều đề quá không làm hết nổi. Có bạn nào ở Hải Phòng thì pm mình nhá, hiện mình đang có một ít đề dự thi vào lớp 10 THPT của tỉnh Hải Phòng. Facebook mình : https://www.facebook.com/kien102

(T6)$^3\sqrt{3+^3\sqrt{3}}+^3\sqrt{3-^3\sqrt{3}}$ < $2^3\sqrt{3}$

Bài này bạn áp dụng bất đẳng thức sau:

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$

bằng cách đặt $a=3+\sqrt[3]{3},b=c=1$ và $x=3-\sqrt[3]{3};y=z=1$

2,Cho tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM sao cho $\widehat{BAH}=\widehat{ACM}$
chứng minh a,BC=2R là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 

P/s: Bài này có câu b) không bạn ? 

Vì $\widehat{BAH}=\widehat{ACM}$ nên $\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=\widehat{ACM}+\widehat{ABC}=90^o$

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông.

Do đó $BC=2R$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

-Bạn tách ra thế này

$4=(a-\frac{1}{a})^2+(a-\frac{b}{2})^2+ab+2$

để tìm giá trị lớn nhất

-Và bạn tách ra như thế này 

$4=(a-\frac{1}{a})^2+(a+\frac{b}{2})^2-ab+2$

để tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải phương trình:

$x(x^2+9)(x+9)=22(x-1)^2$

1) Cho x,y thoã $x^2+5y^2+2y-4xy-3=0$. Tìm x sao cho y nhỏ nhất

2) Cho $x>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất $M=4x^2-3x+\frac{1}{4x}+2014$

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=\frac{1-4\sqrt{x}}{2x+1}-\frac{2x}{x^2+1}$

4) (Chuyên toán)

a) Giả sử x,y là 2 số nguyên dương thoả $A=x^2+y^2$ chia hết cho 2013.

Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

b) Cho x,y là 2 số nguyên dương thoã $x+y=2013$

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất $M=x(x^2+y)+y(y^2+x)$

c) Cho $x>1$. C/mR: $2(x^3-\frac{1}{x^3})>3(x^2-\frac{1}{x^2})$

 Cho $x,y>0$ thỏa mãn: $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1) \geq 4$

Tìm GTNN của biểu thức:

$A=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}$

P/s: Cách này hơi dài và cũng không biết có đúng hay không

Dễ chứng minh được: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\geq x+y$

Theo giả thiết đề bài ta có : $(\sqrt{x}+1)^2(\sqrt{y}+1)^2\geq16$

Mà $(\sqrt{x}+1)^2(\sqrt{y}+1)^2\leq 4(x+1)(y+1)=4(x+y)+4xy+4\leq (x+y)^2+4(x+y)+4=(x+y+2)^2$

Vậy $(x+y+2)^2\geq16$

Do đó $x+y+2\geq4$

Hay $x+y\geq 2$.

Cho 3 số dương $a,b,c$. C/mR:

$\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{ac}}\geq \sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}$

------------------------------------------

P/s: . Tựa đề của tôi quá dài vì thế không thể ghi hết cả vào. Đành phải làm vầy.

Câu 3:
Gợi ý: $\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+8y^{3}}}\geqslant \frac{x^{2}}{x^{2}+2y^{^{2}}}$ (biến đổi tương đương)

Tương tự: $\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}\geqslant \frac{2y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}\rightarrow Min M=1$

$\sqrt{\frac{4y^{3}}{y^{3}+(x+y)^{3}}}\geqslant \frac{2y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}$

Cái phần này em chứng minh tương đương mãi mà chả ra, anh xem giải giúp em với !

Bạn xem lại đề có sai không?

Đề hoàn toàn đúng bạn ơi !

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}x^3+y^3=1+x+y+xy& \\ 7xy+y-x=7& \end{matrix}\right.$

Cho $x,y>0$ và $x+2y=3$. C/mR: $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\geq 3$

1)Cho $x,y>0$ thỏa $\sqrt{xy}(x-y)=x+y$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=x+y$.

2) Cho $x,y>0$ thỏa $(\sqrt{x}+1)(\sqrt{y}+1)\geq4$. Tìm giá trị nhỏ nhất $B=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}$

3)Cho $x,y>0$. Tìm giá trị nhỏ nhất :

$M=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

mik có này nak $(x-y)(2x^{2}+2xy+2y^{2}+2x+2y+1)=0$

ta có$2x^{2}+2xy+2y^{2}+2x+2y+1$= $(x+y)^{2}+(x+\frac{1}{2})^{2}+(y+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}> 0$

do đó x=y

Mình nghĩ sai lầm ở đây là vì $x=y$ nên $x-y=0$.

Do đó ta không được chia hai vế cho $x-y$.

Cách khác (chày cối):

$\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}=\sqrt{x^{2}+\frac{1}{16x^{2}}+...+\frac{1}{16x^{2}}}\geqslant \sqrt{17\sqrt[17]{\frac{1}{16^{16}x^{30}}}}=\sqrt[34]{\frac{1}{16^{16}x^{30}}}.\sqrt{17}$

Vậy cần chứng minh: 

$\sum \sqrt[34]{\frac{1}{16^{16}x^{30}}}\geqslant \frac{3}{2}$

Thật vậy: 

$\sum \sqrt[34]{\frac{1}{16^{16}x^{30}}}\geqslant 3\sqrt[102]{\frac{1}{16^{48}(xyz)^{30}}}\geqslant 3\sqrt[102]{\frac{1}{2^{192}.\frac{1}{2^{90}}}}=\frac{3}{2}$ (do $xyz\leqslant \frac{1}{8}$) $(DPCM)$

Cách này phải là điểm rơi của Co-si không anh ?

Cho số thực x thỏa mãn điều kiện 0<x<1.CMR:

$\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\geq 3+$ $2\sqrt2$.Khi nào dấu "=" xảy ra

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

$(\frac{2}{1-x}-2)+(\frac{1}{x}-1)+3=3+\frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}\geq 3+2.\sqrt{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia dạng phân thức là được mà

Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z$\leq$1. Tìm Min A=2(x+y+z)+3($\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$).

$A=(27x+\frac{3}{x})+(27y+\frac{3}{y})+(27z+\frac{3}{z})-25(x+y+z)\geq 54-25=29$.

Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$.

-------------------------------------------------

P/s: BQT xóa giúp tôi bài này ! Chân thành cảm ơn !

Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z$\leq$1. Tìm Min A=2(x+y+z)+3($\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$).

$A=(27x+\frac{3}{x})+(27y+\frac{3}{y})+(27z+\frac{3}{z})-25(x+y+z)\geq 54-25=29$.

Dấu $''=''$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$.

Đặt $\frac{bc}{a^{2}}=x;\frac{ca}{b^{2}}=y;\frac{ab}{c^{2}}=z\rightarrow xyz=1;A=x+y+z$

Do đó: $MaxA=+\infty ;MinA=3$

Toán trung học cơ sở mà anh ghi $+\infty$  gì ghê thế anh ?

Mình gợi ý cho bạn nhé, áp dụng bài toán phụ này :

Với a,b là các số nguyên dương thì $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$ đạt giá trị dương nhỏ nhất khi $b=a+1$.

Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$

Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+2b+3}+\frac{1}{b^2+2c+3}+\frac{1}{c^2+2a+3}\leq\frac{1}{2}$

giải bất phương trình

$\sqrt{1-\sqrt{2x-x^{2}}}+\sqrt{1+\sqrt{2x-x^{2}}}\geq \frac{2}{\left | x-1 \right |}$

Bình phương lên thử xem, sau đó phân tích nó thành nhân tử và xét dấu của nó.

Còn câu b) và c) mọi người giúp nốt luôn đi ạ......

Câu d đề có thiếu ko bạn? Mình nghĩ phải thêm số hạng $\frac{1}{\sqrt{25}+\sqrt{27}}$

Đề đủ bạn ơi, không thiếu......