$\frac{1}{a^{2}(b+c)  + \frac{c+b}{4a}\geq \frac{1}{a\sqrt{a}$
$\frac{1}{b^{2}(a+c)  + \frac{a+c}{4b}\geq \frac{1}{b\sqrt{b}$
$\frac{1}{c^{2}(b+a)  + \frac{a+b}{4c}\geq \frac{1}{c\sqrt{c$}
Cộng vế theo vế ta có 
$S + \frac{ab}{4c}+ \frac{ac}{4b} + \frac{bc}{4a}\geq \frac{1}{a\sqrt{a}+\frac{1}{b\sqrt{b} +\frac{1}{c\sqrt{c}$
Mà $\frac{ab}{4c}+ \frac{ac}{4b} + \frac{bc}{4a}\leq  \frac{1}{2c\sqrt{c}+\frac{1}{2b\sqrt{b}+\frac{1}{2a\sqrt{a}$
Cộng vào => dpcm

 

Bạn gõ công thức lại được không? Bạn gõ sai rồi!

Theo Cosi - s vác ta có :$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}\geq \frac{(\sum \frac{1}{a})^2}{2\sum a}=\frac{(\sum ab)^2}{2\sum a}$

mà ta lại có $(\sum ab)^2\geq 3abc(\sum a)$

từ đó suy ra đpcm

bài này hình như còn áp dụng được AM- GM thì phải mấy bạn ạ! Dạng của nó thế này: $\frac{m^{2}}{x}+\frac{n^{2}}{y}+\frac{k^{2}}{z}\geqslant \frac{(m+n+k)^{2}}{x+y+z}$

Cho n là số nguyên. Tìm n để: $n^{4}+4^{n}$ là số nguyên tố

cho abc= 1.CMR:$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(c+a)}+\frac{1}{c^{2}(a+b)}\geq \frac{3}{2}$ 

giải phương trình nghiệm nguyên: $3x^{2}+5y^{2}=215$

Chú ý: Đăng bài này vào phần số học.

Từ GT suy ra $(ab+bc+ca)(a+b+c)=abc\rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0\rightarrow (DPCM)$

Bạn giải thích chỗ này rõ hơn được không?

CMR: trong 15 số tự nhiên liên tiếp không vượt quá 2014 và đôi một nguyên tố cùng nhau luôn tìm được 1 số nguyên tố

cho $a,b,c\neq 0;a+b+c\neq 0; \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}=\frac{1}{a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}}$

$2^{n}> n^{3}\left ( n\mathbb{N} n\geq 10\right )$

đề là gì vậy bạn?

Giả sử phương trình: $\frac{x^{2}}{yz}+\frac{y^{2}}{zx}+\frac{z^{2}}{xy}=3$ có 3 nghiệm không đồng thời bằng nhau $(a;b;c);(p;q;r)(\frac{a}{p};\frac{b}{q};\frac{c}{r})$.

Chứng minh rằng: $(ap^{2};bq^{2};cr^{2})$ cũng là nghiệm của phương trình đó.

Tìm min của biểu thức: $a^{4}-2a^{3}+3a^{2}-4a+5$

Từ GT suy ra: $4xy-3x+12y=130\rightarrow x(4y-3)+12y-9=121\rightarrow (x+3)(4y-3)=121$, bạn tự giải tiếp được rồi!

bạn sai chỗ này rồi, phải là 13 chứ!

Cách này là đơn giản và sơ cấp rồi bạn

BĐT S. Chur ở THCS thì lớp $8,9$ ai mà chẳng biết

Bài này hình như áp dụng AM- GM được thì phải bạn ạ!

Đề là gì vậy bạn?

Tìm x, y bạn ạ!

Theo bđt S. Chur ta có

 

$abc\geqslant (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=(3-2a)(3-2b)(3-2c)$

 

$\Leftrightarrow abc\geqslant -27+12(ab+bc+ac)-8abc$

 

$\Leftrightarrow 9abc\geqslant -27+12(ab+bc+ac)\Leftrightarrow 4abc\geqslant -12+\frac{16}{3}(ab+bc+ac)$

 

$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+4abc\geqslant 3(a^2+b^2+c^2)+\frac{16}{3}(ab+bc+ac)-12$

 

$=\frac{8}{3}(a+b+c)^2+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-12\geqslant 13$

Có cách nào sơ cấp hơn không bạn?

Cho x, y nguyên dương thỏa mãn: 

$\frac{2}{x^{2}y}-\frac{3}{2x^{2}y^{2}}+\frac{6}{x^{3}y}=\frac{6.5}{x^{3}y^{2}}$

Tìm x, y

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác thỏa mãn a+b+c=3. Tìm min của biểu thức:

$3a^{2}+3b^{2}+3c^{2}+4abc$

Cho hình thang cân ABCD (BC//AD), lấy trung điểm M, N lần lượt của các đáy BC, AD. Trên tia đối của AB lấy điểm P bất kì. PN cắt BD tại Q. Chứng minh rằng: MN là tia phân giác của$\angle PMQ$

Giải phương trình nghiệm nguyên:$x^{2}+y^{2}=3-xy$

Bạn có thể giải cụ thể ra được không, giải đến đó thì mình cũng giải ra rồi

Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn: $(a-b)^{3}+(b-c)^{3}+(c-a)^{3}=210$. Tính giá trị biểu thức:

A =  $\left |a-b \right |+\left | b-c \right |+\left | c-a \right |$

Cho các số thực dương thỏa mãn x+y+z=3. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^{2}+x}+\frac{1}{y^{2}+y}+\frac{1}{z^{2}+z}\geq \frac{3}{2}$

Cho mình hỏi bài này xét dấu kiểu gì thế?

$x^{5}+x-1$

Sách đã có bán ở đâu chưa anh.