Giải các phương trình vô tỉ sau:

$a,\sqrt {x + {x^2}} + \sqrt {x - {x^2}} = x + 1$

$b,\sqrt {8 + \sqrt {x - 3} } + \sqrt {5 - \sqrt {x - 3} } = 5$

$c,\sqrt {x + 2 + 3\sqrt {2x - 5} } + \sqrt {x - 2 - \sqrt {2x - 5} } = 2\sqrt 2$

$d,\sqrt {2 - {x^2}} + \sqrt {{x^2} + 8} = 4$

$e,\sqrt {2x + 4 - 2\sqrt {2 - x} } = \dfrac{{12x - 8}}{{\sqrt {9{x^2} + 16} }}$

$f,\sqrt {{x^2} - \dfrac{1}{4}\sqrt {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} } = \dfrac{1}{2}\left( {2{x^3} + {x^2} + 2x + 1} \right)$

$g,\dfrac{{3x}}{{\sqrt {3x + 10} }} = \sqrt {3x + 1} - 1$

$h,\sqrt {4{x^2} + 5x + 1} + 3 = 2\sqrt {{x^2} - x + 1} + 9x$

$i,\sqrt {7 - x} + \sqrt {x + 1} = {x^2} - 6x + 13$

$k,\sqrt {2x + \sqrt {x + 1} + 1} + \sqrt {2x - \sqrt {x + 1} } = 2\sqrt {x + 1} + 1$

$l,\sqrt {5{x^3} + 3{x^2} + 3x - 2} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x - \dfrac{1}{2}$

Anh nào cho cái topic này vào một file để e dow về với!

Chứng minh rằng có duy nhất 3 số thực (x;y;x) thỏa mãn:
$\sqrt {x - 2008} + \sqrt {x - 2009} + \sqrt {z - 2010} + 3012 = \dfrac{1}{2}(x + y + z)$

Theo ý kiến cá nhân của mình thì có lẽ cái đề bài mà bạn đưa có đôi chút vấn đề. Mình xin được sửa lại như sau (thay $-3012$ bằng $+3012$ và $x-2009$ bằng $y-2009$) :
$$\sqrt {x - 2008} + \sqrt {y - 2009} + \sqrt {z - 2010} + 3012 = \dfrac{1}{2}(x + y + z)$$
Và đây là lời giải của mình:
Điều kiện xác định: $x\ge 2008, y\ge 2009, z\ge 2010$.
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với
$x+y+z-6024-2\sqrt {x - 2008} -2 \sqrt {y - 2009} -2 \sqrt {z - 2010}=0$
$\Leftrightarrow (x-2008-2\sqrt{x-2008}+1)+(y-2009-2\sqrt{y-2009}+1)+(z-2010-2\sqrt{z-2010}+1)=0$
$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x-2008} -1\right )^{2}+\left ( \sqrt{y-2009} -1\right )^{2}+\left ( \sqrt{z-2010} -1\right )^{2}=0$
$\Leftrightarrow x=2009,y=2010,z=2011$
Vậy có duy nhất bộ 3 số $(x,y,z)$ thoả mãn điều kiện đề bài là $(2009,2010,2011)$.

Nhận xét: từ lời giải trên, ta thấy nếu giữ nguyên đề bài cũ là -3012 thì không có bộ số $(x,y,z)$ thoả mãn điều kiện đề bài, bởi vì vế trái luôn luôn nhỏ hơn vế phải.

Cảm ơn bạn nha! Chắc mình nhầm đề__ Do là ghi lại của cô giáo! Thanks nhiều!

Đặt ${a_n} = \sqrt {6 + \sqrt {6 + \sqrt 6 + ....} }$
Ta có:
$\begin{array}{l}
{a_1} = \sqrt 6 < 3 \\
{a_2} = \sqrt {6 + {a_1}} < \sqrt {6 + 3} = 3 \\
{a_3} = \sqrt {6 + {a_2}} < \sqrt {6 + 3} = 3 \\
........ \\
{a_n} = \sqrt {6 + {a_{n - 1}}} < \sqrt {6 + 3} = 3 \\
\end{array}$
Hiển nhiên
${a_{100}} > \sqrt 6 > 2$
Như vậy : $2 < {a_{100}} < 3$
do đó ${a_n} = x=3$
Đây là bài trích trong Toán nâng cao và phát triển toán 9. (Tập 1)

BĐT 18 là holder thì phải. Bạn chứng minh luôn nhé mình đang cần cái chứng minh của holder

Chứng minh BĐT 18
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:

$\dfrac{{{a^3}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}} + \dfrac{{{x^3}}}{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}} + \dfrac{{{m^3}}}{{{m^3} + {n^3} + {p^3}}} \ge \dfrac{{3axm}}{{\sqrt[3]{{\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)\left( {{m^3} + {n^3} + {p^3}} \right)}}}}$

Xây dựng tương tự 2 BĐT nữa với $(b;y;n)$ và $(c;z;p)$ rồi cộng vế theo vế lại ta có điều phải chứng minh.

Trích Quyển Sáng tạo bất đẳng thức.( Trang 27)

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3:

Chứng minh:
$\sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} + \sqrt {c + 1} \le 3\sqrt 2$

Cho x,y là số không âm. Thỏa mãn: ${x^2} + {y^2} = 1$

Tìm GTNN của $D = (1 + x)\left( {1 + \dfrac{1}{y}} \right) + (1 + y)\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)$

1, Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB và C là điểm bất kì thuộc đường tròn ( C khác A và B). Gọi E và F lần lượt là trung điểm của CB và CA. Tia OE và OF lần lượt cắt đường tròn tại N và M. Kẻ $NP \bot AC$ tại P.
a, Chứng minh: ND là tiếp tuyến của (O)
b, Đường thẳng OE cắt (O) ở K ($K \ne N$). Chứng minh rằng: tứ giác ADEK là hình bình hành.
c, Chứng minh khi C di chuyển trên đường tròn tâm O thì MN luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.
2, Cho hình thang cân ABCD $BC\parallel AD$. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BC,AD. Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì. PN cắt BD tại Q. Chứng minh rằng MN là tia phân giác $\angle PMQ$

Bài này áp dụng AM-GM ko biết có ra không? Anh nào làm hộ em với!

Cách AM-GM đây :
$(a+1) + 2 \overset {AM-GM} {\ge} 2\sqrt{2(a+1)}$
Lập các BĐT tương tự :
$\Rightarrow \sum a + 9 \ge 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{a+1}$
hay $12 \ge 2\sqrt{2}.\sum \sqrt{a+1}$
$\Rightarrow \sum \sqrt{a+1} \le 3\sqrt{2}$
$\Rightarrow Q.E.D$

Mình vẫn chưa hiểu lắm về bài làm của bạn? Có ai có cách chứng minh bằng AM-GM mà dễ hiểu hơn không

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $xy$ biết x;y là nghiệm của phương trình:
$${x^4} + {y^4} - 3 = xy(1 - 2xy)$$

TÌm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn :
$\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} }} < 0,02$

1, CHo tam ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn này cắt AB,AC lần lượt ở E và F.
a, CHứng minh rằng O,E,F thẳng hàng
b, Tiếp tuyến với (O) tại E và F cắt BC lần lượt tại M và N. Tính số đo góc MON
c, Cho AB=4cm,AC=8cm. Tính diện tích tứ giác MEFN
2, Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và A là góc nhỏ nhất trong các góc của tam giác. CHứng minh: Nếu đường cao AH bằng đường trung tuyến BM của tam giác thì góc B ko lớn hơn 60 độ.

\[\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} }} = \sqrt {n + 1} - n + \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} = \sqrt {n + 2} - n\]

Cho em hỏi anh Hân là khi anh trục căn thức ở mẫu thì $\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} }} = \sqrt {n + 1} - \sqrt {n}+ \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} $ chứ.
Nếu mà làm đúng thì phải là:
$\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} }} = \sqrt {n + 1} - \sqrt {n}+ \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} $$ = \sqrt {n + 2} - \sqrt n < \dfrac{1}{{50}} \Leftrightarrow n + 2 < \dfrac{1}{{25}}\sqrt n + n + \dfrac{1}{{2500}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{4999}}{{2500}} < \dfrac{1}{{25}}\sqrt n$ $\Leftrightarrow \dfrac{{4999}}{{100}} < \sqrt n \Leftrightarrow 2499,0001 < n$
Theo đề bài thì n nguyên dương nhỏ nhất: $\Rightarrow n = 2500$

?????????????????????????????????????

Em xin lỗi a xusint nhà! Em xem lầm đề phải là x,y không âm mới đúng. E sửa lại đề rùi

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.Hãy tìm GTNN của:

$C = \dfrac{a}{{b + c - a}} + \dfrac{b}{{a + c - b}} + \dfrac{c}{{b + a - c}}$

Anh viết tiếp đi

Không biết là mình cũng có một số bộ sách viết về pt vô tỉ! Ko biết có viết được ko?

Cho $x,y,z > 0;x + y + z = 1$. Chứng minh rằng:

$\dfrac{3}{{xy + yz + xz}} + \dfrac{2}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} > 14$

Vậy mình sai rồi, đang vắt óc ra để nghĩ đây!!

Có 8 chiếc bút bi! Trong đó có 1 chiếc bút nặng hơn. Hỏi làm sao chỉ với 2 lần cân thì ta tìm được chiếc bút bi nặng hơn đó???????????

Tèng teng téng ! => gi gỉ gì gi cái gì cũng biết!

1, Cho các số dương x,y thay đổi thỏa mãn điều kiện: x+y=1
Hãy tìm GTNN của:
$P = \left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{y^2}}}} \right)\left( {{y^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)$
2, Tìm GTNN của: $A = \dfrac{{{x^4} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

Cho a,b,c là các số dương số dương và a+b+c=1
Chứng minh:
$\dfrac{{19{b^3} - {a^3}}}{{ba + 5{b^2}}} + \dfrac{{19{c^3} - {b^3}}}{{cb + 5{c^2}}} + \dfrac{{19{a^3} - {c^3}}}{{ca + 5{a^2}}} \le 3$

a,Chứng minh: ${\left( {x + y + z} \right)^2} \le 3({x^2} + {y^2} + {z^2})$ $\forall x,y,z \in R$

b, CHo;$x + y + z = 1;x,y,z \ge \dfrac{{ - 1}}{4}$

CMR: $\sqrt {4x + 1} + \sqrt {4y + 1} + \sqrt {4z + 1} \le \sqrt {21} $