$\Leftrightarrow 3\cos x-3\sin x\cos x+3\sin x\cos x -5\sin x+5\sin x\cos x-5\sin x\cos x = 0$

đoạn này anh viết nhầm thì phải

GPT:
$\frac{1}{tg^{2}x+(1+tgx)^{2}}+\frac{1}{cot^{2}x+(1+cotx)^{2}}+\frac{(sinx+cosx)^{4}}{4}=\frac{5+sin^{3}2x}{4}$ với $x\in[0,\frac{\Pi }{2}]$
p\s đây là đề thi vô địch Mỹ năm nào em chẳng nhớ

GHPT:
$\left\{\begin{matrix} x^{6}-y^{3}+x^{2}-9y^{2}-30=28y & \\ \sqrt{x+3}+x=y & \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình
$\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{y}+\dfrac{y^2-1}{x}=3\\x^2-y^2=3\end{cases}$

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 6x^2\sqrt{x^3 -6x +5} = (x^2 + 2x -6)(x^3 + 4)\\ x + \dfrac{2}{x} = 1 + \dfrac{2}{y^2} \end{matrix}\right.$

Tính tổng sau
$S=\frac{4^\frac{1}{2012}}{4^\frac{1}{2012}+2}+\frac{4^\frac{2}{2012}}{4^\frac{2}{2012}+2}+...+\frac{4^\frac{2012}{2012}}{4^\frac{2012}{2012}+2}$

Giải phương trình sau: $sin x+ sin xcos x + cos 3x=2( cos 4x+ sin ^3x)$

GHPT:

$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x(1+\frac{1}{x})} + \frac{1}{y(1+\frac{1}{y})}=\frac{xy+1}{x^2y} & & \\ x^{2}(x+1)^{2}=y(x^{2}+y^{2})-y \end{matrix}\right.$

GHPT:
$\left\{\begin{matrix} x^{3}+2y^{2}+y=x^{2}y+2xy+x & \\ 5\sqrt{x^{2}-2y-2}+\sqrt[3]{y^{2}-2x-4}=4 & \end{matrix}\right.$

Tìm a và b để hệ có nghiệm:
$\left\{\begin{matrix} sinx+siny=a & \\ cosx+cosy=b & \end{matrix}\right.$

$4.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^3}y - {y^4} = 28} \\
{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 18\sqrt 2 } \\
\end{array}} \right.\quad (x,y \in R)$

Bài nay em đã giải ở đây

Tưởng tượng và viết tiếp đoạn kết cho những câu truyện sau: Truyện An Dương Vương

Sau khi Triệu Đà chiến thắng An Dương Vương, Trọng Thủy (TT) cùng vua cha quay trở về đất nước. Mặc dù trở thành người anh hùng của dân tộc nhưng TT không thoát khỏi sự dằn vặt của lương tâm vì dã trót lừa dối Mị Châu, người vợ yêu quý của mình. Khi nhớ đến người con gái ấy, chàng lại buồn, ra giếng nước- nơi mà Mị Châu hay ngồi chải tóc để nhớ về những kỉ niệm về nàng. Một hôm, chàng thấy bóng Mị Châu dưới nước, nàng vẫy tay gọi chàng, chàng thấy đôi mắt to, đen, tròn của người vợ yêu đang nhìn chàng... TT nhảy xuống giếng với hi vọng được gặp Mị Châu, mong được nàng thông cảm và tha thứ cho những việc mà mình đã làm. Nhưng ngờ đâu, đó chỉ là ảo ảnh, là hình ảnh do TT tưởng tượng ra vì luôn nghĩ về MC... Khi nhận ra mình đã nhìn nhầm, chàng cũng ko ân hận, chàng phó thác số phận cho ông trời định đoạt, chàng muốn về với biển cả, nơi mà vợ mình đã bị chính cha ra tay chém chết... Chàng muốn chết để đền tội với MC.

Về phần MC, sau khi chết, nàng được Rùa Vàng giúp đỡ cho sống ở Long Cung, ở đây,dù sống trong thế giới đầy đủ, sung sướng nhưng những kí ức về TT vẫn ko hề nhạt dần theo thời gian... Hằng đêm, nàng khóc, khóc vì một phần do nhớ ck, nhớ quê hương, nhớ dân tọc, khóc vì giận TT đã lừa dối, phải bội mình, khóc vì ân hận đã yêu TT một cách mù quáng, lú lẫn,..vì TT mà giờ đây nàng đã là tội đồ của dân tộc. Nhiều lúc , MC thấy tuyệt vọng vì số phận nàng sao mà bi ai đến thế, nàng buồn cho chính số phận của bản thân, may mà nhờ An Dương Vương, Rùa Vàng, Thủy Linh công chúa (con của Long Vương) an ủi, lòng nàng cũng nhẹ bớt... Nhưng mỗi lúc nhớ đến ck mình, nỗi đau trong tim lại trào dâng, từng dòng lệ cay chảy ra từ khóe mắt nàng...

Thần kim quy thấy tình cảm giữa mc và TT vẫn còn sâu đậm nên ra tay giúp đỡ, cho 2 người gặp lại nhau. Xác TT vữa ra, trôi theo dòng nước đến biển Đông, hồn chàng bay theo gió, thần KQ liền nhập thành một, ban cho khả năng sống dưới nước, báo mộng rằng vợ chàng, mc đang sống ở long cung. TT mơ thấy vậy liền tìm cách xún long cung tìm người vợ, và, một câu chuyện mới lại bắt đầu.....

TT tìm đến được Long cung, trước mắt chàng là một cơ ngơi đồ sộ, nguy nga, lộng lẫy mà chàng chưa từng thấy. Cổng long cung được canh gác cẩn thận vs đội quân hùng hậu. TT đứng đấy ngước nhìn chưa kịp nói thì bị hai vị Thủy thần gần đó chặn lại, hỏi:
-Tên kia, mày là ai? đến đây làm j? có biết đây là chốn long cung uy nghiêm ko?
TT ms nghe đã sợ, nhưng vì muốn đc gặp vợ, chàng dũng cảm trả lời:
-Thưa hai vị, con là TT, vợ con là mc. con đến đây vì đc thần kim quy báo mộng rằng vợ con đang ở trong này...
Rôì chàng thành thật kể lại câu chuyện giữa chàng và mc, đúng lúc đó, thủy linh công chúa đang định đi ra khỏi long cung, gặp chàng thì ns:

- đây là bạn ta, các người hãy để chàng vào trong

TT được thủy linh công chúa dẫn đến chỗ mc…

Trong long cung, cảnh thật đẹp. từng đàn cá bơi lội tung tăng, từng rặng san hô đủ màu sắc, đây đúng là chốn thần tiên. Bỗng, tt thấy mình đang ở một nơi rất đẹp , ko gian yên tĩnh. Trước mắt chàng ,xa xa là một ng con gái vs mái tóc dài mượt đang ngồi chơi đàn, tiếng đàn sao mà sầu, bi ai đến thế. Dựa vào hình dáng ng con gái, dựa vào mái tóc, vào âm thanh của bản nhạ thì chàng k thể nhầm đc. Đó là mc! Chàng kiu to tên vk, chạy đến bên vk, nhưng về phần mc, nàng sợ, hoảng hốt bỏ chạy. Nàng chạy trốn người đã phản bội mình, tt đuổi theo, bắt được nàng, mc vẫn im lặng, nhìn tt = ánh mắt căm thù, oán giận, lẫn chút nhớ nhung, trọng thủy nhận ra điều đó, chàng ns:

- mc, sao nàng chạy trốn ta, ta bik ta có lỗi, ta đã phải bội nàng, nhưng xin hãy hiểu ho ta, ta ko còn lựa chọn nào khác. Là phận con, ta phải tuân lệnh cha, ta biết ta sai, nhưng nàng chớ hiểu nhầm ta k yêu nàng, đừng nghĩ rằng rằng ta cưới nàng chỉ vì âm mưu xâm lăng .. trong lòng ta lun có nàng, ta nhận ra khi nàng ko ở bên ta, ta ko thể sống đc.. xin hãy tha thứ cho ta

mặc dù tt đã xl chân thành nhưng mc k ns gì, nàng im lặng ngắm nhìn ng ck bấy lâu nay nàng mong nhớ, cũng là ng đã phản bội nàng. Tim mc đau nhói, nàng ko biết làm j để vẹn đôi đường. tại sao ông trời lại nỡ làm vậy vs nàng chứ, để nàng gặp tt, yêu chàng và h đây lại oán thù chàng, nhưng trái tim yếu đuối kia đã thuộc về tt mất rồi

- xin đừng im lặng vs ta, nàng hãy ns j đi, đánh ta, mắng ta cũng đc, xin nagf đừng im lặng, nàng làm thế ta bùn lắm, mọi chuyện xảy ra chỉ vì âm mưu của phụ thâm ta. Thật tình ta ko biết phải làm sao nữa, thôi thì mọi việc, mọi tội lỗi đều do ta gây ra, nhưng xin hãy trở về vs ta- tt ns

mc ngắm tt, ng chàng ốm,xơ xác đi nhiều vì lo nghĩ, nàng cũng muốn quay lại vs tt nhưng lại sợ. mị châu vs hai hàng lệ đẫm tuôn trào, ns:

-tt chàng ơi, thiếp biết chàng ns thật, nam nhi đại trượng phu phải đặt sự nghiệp lên đầu. nhưng thiếp k thể, nếu quay lại, nỡ chàng lại phải bội thiếp thì sao? Bây h thiếp đã là tội đồ của dân tộc, nếu quay lại tội thiếp nặng gấp bội phân

-k đâu nàng ơi, ta thề sẽ k phản bội nàng đâu, nếu k giữ lời hứa ta se bị ngũ mã phanh thây, thân xác k ven toàn đời đời bị khinh bỉ, suốt kiếp k siêu thoát. Đi m hãy đi cùng ta đến gặp cha nàng cùng thần kim quy, ta sẽ xin cho hai vị cho chúng ta dc sống hp bên nhau, dù trải qua bao nhiêu gian khổ đi chăng nữa, ta chỉ mún sống cùng nàng tới bạc đầu.

Đầu tiên, mc lưỡng lự song cũng đồng ý, hai ng đến gặp vua cha. Tại đây, an dương vương cùng rùa vàng đang đánh cờ nc. Sau khi nghe kể về đôi trẻ, an dương vương k bik làm sao. Thấy vậy rùa vàng liền ns:

- thôi thì hai con hãy đi cùng ta đến gặp ngọc hoàng, nếu người đồng ý hai con sẽ dc như ý muốn, còn k thì mc chỉ có thể ở lại đây cùng cha

ns rồi, tt, mc đc rùa vàng dẫn đến gặp ngọc hoàng, sau khi nghe chuyện, hoàng hậu cảm động rơi lên, xin ngọc hoàng ân xá cho đôi trẻ, nhưng còn tội của hai ng thì sao? Ngọc hoàng phán rằng:
-thôi thì t/c của hai con vẫn còn lưu luyến nhưng tội thì k thể tha thứ, hai con hãy xún hạ giới làm việc thiện ba năm, sau ba năm sẽ đc đầu thai, sống chung vs nhau, còn hạnh phúc hay ko thì tùy thuộc vào hai con

Hai người chưa kịp ns lời chia tay thì đã đc ngọc hoàng đưa xún hạ giới. mc đầu thai vào gia đình quan chức , nàng vẫn vậy, xinh đẹp nết na, nhưng trái tim của nàng h đây mạnh mẽ hơn, nàng hay giúp người,làm việc thiện… về phần tt, chàng trở thành một anh ngư dân chăm chỉ, tốt bụng…
Thời gian trôi qua thật nhanh, ms đó đã 3 năm, thời hạn để hai ng gặp nhau đã đến

Mc gặp trọng thủy, hai ng ôm lấy nhau khóc, nước mắt đã xóa đi hết những tội lỗi trước đây, hai người cưới nhau sống hp quá đỗi
Về phần triệu đà, vì con đi lâu mà ko thấy về, nhớ con, hắn đổ bệnh mà chết
Tình yêu mà mc và tt trao cho nhau vẫn còn sáng chói như ngọc trai đc rửa trong giếng nước nơi trọng thuỷ thấy bóng vợ mình. Câu chuyện giữa hai ng thật cảm động, đó cũng là bài học cho chúng ta, hãy yêu thật lòng, hãy tin vào cuộc sống bạn nhé

p/s: bài này nguyên xi bài văn năm ngoái của mềnh, được 9



mỏi tay quá em ơiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

Cái này sao quen thế linh gà

bậc của pt hệ quả hơi lớn, nhưng đặt ẩn phụ là xong.

hạ bậc, bình lên và chuyển về hàm sin hết.

bạn không nên viết như vậy có thể coi là spam đó. bạn có thể giải chi tiết được không

Giải phương trình:
$sin3x+cos^{2}(\frac{x}{2})=0$

2,$x-1+\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}=x^{2}+\sqrt{2}$

Ở đây

Tìm nghiệm nguyên dương $3^m =n\cdot 2^m + 1$

$\frac{3+\sqrt{x}}{x^{2}+x\sqrt{x}+x+3}+\frac{x+\sqrt{x}+2}{x^{2}+x\sqrt{x}+3}+\frac{x\sqrt{x}+x+2}{x^{2}+\sqrt{x}+4}+\frac{x^{2}+x\sqrt{x}+2}{x+x\sqrt{x}+4}+\frac{x^{2}+3}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}+3}=\frac{10}{3}$

Xem ở đây

Giải phương trình:
$5\sqrt[3]{x\sqrt[5]{x}}+3\sqrt[5]{x\sqrt[3]{x}}=8$

KỲ THI KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12
THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI
NĂM HỌC: 2012 - 2013

Bài 1. Cho $x, y$ là hai số thực dương thỏa mãn $x^3+y^3=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=\dfrac{x^2+y^2}{(1-x)(1-y)}$$

Bài 2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases}u_1=-1; u_2=-2 \\ nu_{n+2}-(3n+1)u_{n+1}+2(n+1)u_n=3, \forall n \ge 1\end{cases}$.

Đặt $S=\sum_{n=1}^{2012} u_n -2(2^{2012}-1)$. Chứng minh rằng S chia hết cho 2013.

Bài 3. Tìm tất cả các hàm số liên tục $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa: $f(x)+f(x^4)=2012, \forall x \in \mathbb{R}$.

Bài 4. Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh $SC$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $AM$ nhưng luôn cắt cạnh $SB, SD$ lần lượt tại $B', D'$. Gọi $V=V_{S.ABCD}$ và $V_1=V_{S.AB'MD'}$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\dfrac{V_1}{V}$.

Bài 5. Giải phương trình trên tập số thực: $$(26-x)\sqrt{5x-1}-(13x+14)\sqrt{5-2x}+12\sqrt{(5x-1)(5-2x)}=18x+32$$

Bài 6. Cho tập $S=\{1,2,...,999\}$. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho mọi tập con $A$ của $S$ gồm $n$ phần tử luôn tồn tại 4 phần tử $a, b, c, d$ thuộc $A$ sao cho: $a+2b+3c=d$.
(Trích Toán tuổi già )

Ngày thứ nhất (19-9-2012)

Bài 1: (5 điểm): tìm m để hệ sau có nghiệm:

$\left\{\begin{matrix} m(x^2+\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{x^2}+1)=xy & \\m(\sqrt[3]{x^8}+x^2+\sqrt[3]{x^2}+1)=(2y+1-m)\sqrt[3]{x^4} & \end{matrix}\right.$
Bài 2: (5 điểm):

Cho P,Q,I là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC và chia chu vi tam giác đó thành 3 phần bằng nhau (IA+AP=PB+BQ=QC+CI), gọi S,R,r lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . CMR: $ S_{\triangle PQI} \geq \frac{2}{9}(1+\frac{r}{4R})S $

Bài 3: (5 điểm): Tìm tất cả các hàm $ f; g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ thỏa 2 điều kiện sau:

i) $ f(x^2-y^2)=g(x-y)f(x+y)+f(x-y) \forall x,y \in \mathbb{R} $

ii) nếu $ x>y $ thì $ f(x) >f(y) \forall x,y \in \mathbb{R} $

Bài 4: (5 điểm): Trong mặt phẳng cho $ n $ điểm $ A_1, A_2, ....., A_n (n \geq 4) $ sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào cùng nằm trên 1 đường tròn. gọi $ a_t (1 \leq t \leq n)$ là số các đường tròn ngoại tiếp tam giác $ A_iA_jA_k (1 \leq i,j,k \leq n$; $ i,j,k $ đôi một khác nhau $ )$ chứa điểm $ A_t$. đặt $ N©=a_1+a_2+...+a_n$. chứng minh rằng các điểm $ A_1, A_2, ...., A_n $ là các đỉnh của 1 đa giác lồi khi và chỉ khi $ N©=\frac{n^4-6n^3+11n^2-6n}{12} $.

Ngày thứ 2 (20-9-2012)

Bài 5: (6 điểm):

Dãy số $ (x_n) $ là dãy tuần hoàn nếu tồn tại số tự nhiên $ p \neq 0 $ sao cho $ x_{n+p}=x_n \forall n \geq 1 $.

cho dãy số hữu tỉ $ (x_n) $ với $ x_1=2; x_{n+1}=\frac{2+x_n}{1-2x_n} \forall n \geq 1 $. CMR:

1) $ x_n \neq 0 \forall n \geq 1 $

2) dãy $ (x_n)$ không phải là dãy tuần hoàn

Bài 6: (7 điểm): Cho đường tròn $ (O) $ cố định và 1 dây $ AB $ cố định khác đường kính của $(O)$. gọi $ I $ là trung điểm $ AB$. $ P$ là 1 điểm di động trên cung lớn $ AB $, các điểm $M,N $ lần lượt thuộc các tia $ PA,PB $ sao cho $\widehat{PMI}=\widehat{PNI}=\widehat{APB}$. Chứng minh rằng đường thẳng Euler của tam giác $PMN $ đi qua 1 điểm cố định.

Bài 7: (7 điểm):

Gọi p,r lần lượt là nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp của 1 tam giác có độ dài 3 cạnh là các số nguyên dương a,b,c .
chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương n sao cho $\left\{\begin{matrix} p=(3n+3)r & \\b+c=(2n+1)a & \end{matrix}\right.$
(Trích Toán tuổi già )

Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}x^2+x^2y-xy^2+xy-y=1\\x^4+y^2-xy(2x-1)=1\end{cases}$$

HPT$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x^{2}-y-1)+xy(x-y+1)=0 & \\ (x^{2}-y-1)(x^{2}-y+1)+xy=0 & \end{matrix}\right.$
Tới đây thế vào là ok ^^

Bài toán: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+x^2y-xy^2+xy-y=1\\ x^4+y^2-xy\left ( 2x-1 \right )=1 \end{matrix}\right.$.

Bài này ở đây rồi quân

Bài 1 hình như là phương trình hàm $Cauchy$ thì phải anh xem thêm ở đây nhen

Nhưng bài này liên tục trên [0;1] mà

Tìm tất cả hàm số $f:\Bbb{R}\longrightarrow\Bbb{R}$ thỏa mãn
\[f(f(x)+y)=2x+f(f(f(y))-x),\forall x,y\in\Bbb{R}\]

Bài 1: Xác định các hàm $f(x) $ liện tục trên $[0;1]$ thỏa mãn điều kiện:

$f(x + y) = f(x) + f(y) , x,y,x + y \in R$

Bài 2: Xác định các hàm $f(x) $ liện tục trên $R$ thỏa mãn điều kiện:

$f(x) f(y) - f(x+y) = \sin{x} \sin{y}, x,y \in R$