$\Leftrightarrow (2x)^2+(x+3)-4x\sqrt{x+3}+2x-1-2\sqrt{2x-1}+1=0$

$\Leftrightarrow (2x-\sqrt{x+3})^2+(\sqrt{2x-1}-1)^2=0\Leftrightarrow x=1$

Ta có bổ đề sau Với $a_i, m_i> 0$ , $k\in N$ và $k>1$

$\sum_{i=1}^{n}\frac{m_i^k}{a_i^{k-1}}\geq \frac{(\sum_{i=1}^{n}m_i)^k}{(\sum_{i=1}^{n}a_i)^k}$ (*)

Khi $n=2$ (*) đúng

Giả sử (*) đúng với $k\in N$ và $k\geq 2$

$\frac{m_1^k}{a_1^{k-1}}+\frac{m_2^k}{a_2^{k-1}}\geq \frac{(m_1+m_2)^k}{(a_1+a_2)^{k-1}}$

Chứng minh quy nạp (*) đúng với $n$ thì cũng đúng vơi $n+1$

Ta có

$\sum_{i=1}^{n+1}\frac{m_i^k}{a_i^{k-1}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{m_i^k}{a_i^{k-1}}+\frac{m_{n+1}^k}{a_{n+1}^{k-1}}\geq \frac{(\sum_{i=1}^{n}m_i)^k}{(\sum_{i=1}^{n}a_i)^{k-1}}+\frac{m_{n+1}^k}{a_{n+1}^{k-1}}\geq \frac{(\sum_{i=1}^{n+1}m_i)^k}{(\sum_{i=1}^{n+1}a_i)^{k-1}}$

Áp dụng

$\frac{1^{2015}}{a^{2014}}+\frac{1^{2015}}{a^{2014}}+\frac{1^{2015}}{b^{2014}}+\frac{1^{2015}}{c^{2014}}\geq \frac{4^{2015}}{(2a+b+c)^{2014}}$

....

$\Rightarrow 4VT\geq 4VP$

ĐPCM

Bài 1 a/

Đặt $\sqrt{2x-1}=a$

$BPT\Leftrightarrow x^2-3a^2-2a(2-x)-1\geq 0\Leftrightarrow (x+3a+1)(x-a-1)\geq 0$

$\Leftrightarrow x-a-1\geq 0\Leftrightarrow x\geq 2+\sqrt{2}$

b/ Xét $x=0 \Rightarrow y=...$ , $y=0 \Rightarrow x=...$

$ x,y\neq 0 $

$(1)\Leftrightarrow \frac{x^5}{y^5}+\frac{x}{y}=y^5+y$

$\Leftrightarrow (\frac{x}{y}-y) (\frac{x}{y}^4+\frac{x}{y}^3 y+\frac{x}{y}^2 y^2+{y}^3+y^4+1)$

$\Leftrightarrow x=y^2$

Năm học 2012-2013

(Thời gian: 180 phút)
Câu 1:
a) Giải bất phương trình:

b) Giải hệ phương trình:

Câu 2:
Tìm tất cả các giá trị tham số $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm:

Câu 3:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho điểm $I(2;4)$ và các đường thằng: $d_1: 2x-y-2=0, d_2: 2x+y-2=0$. Viết $(C)$ tâm $I$ sao cho $(C)$ cắt $d_1$ ở $A,B$ và $d_2$ ở $C,D$ thỏa mãn: $AB^2+CD^2+16=5AB.CD$
Câu 4
1. Cho tam giác $ABC$ có $AB=c, BC=a, CA=b$. Trung tuyến $CM$ vuông góc với phân giác $AL$ và $\dfrac{CM}{AL}=\dfrac{3}{2}\sqrt{5-2\sqrt{5}}$
Tính $\dfrac{b}{c}$ và $cosA$
2. Cho $a,b \in \mathbb{R}$ thỏa mãn: $(2+a)(1+b)=\dfrac{9}{2}$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\sqrt{16+a^4}+4\sqrt{1+b^4}$
Câu 5
Cho $f(x)=x^2-ax+b$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn rằng tồn tại các số nguyên $m,n,p$ đôi một phân biệt và $1 \le m,n,p \le 9$ sao cho $|f(m)|=|f(n)|=|f(p)|=7.$
Tìm tất cả các bộ số $(a;b)$ 

Ta có

$a^2-ab+b^2=\frac{3}{4}(a-b)^2+\frac{1}{4}(a+b)^2\geq \frac{1}{4}(a+b)^2$

$\Rightarrow P\geq \sum \frac{a+b}{2(9bc+1)}\geq ^{C-S}\sum \frac{(2a+2b+2c)^2}{\sum 2(a+b)(9bc+1)}$

Ta có các đánh giá sau:

Không mất tổng quát giả sử $c$ nằm giữa $a$ và $b$

$a(b-c)(a-c) \leq 0$

$\Leftrightarrow a^2b+c^2a\leq abc+a^2c$

$\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc \leq c(a^2+b^2+2ab)=c(a+b)^2$

Theo $AM-GM$

$c(a+b)^2=\frac{2c(a+b)(a+b)}{2}\leq \frac{1}{2}.(\frac{2a+2b+2c}{3})^3=\frac{8}{27}$

Bạn nhân bung cái mẫu rồi áp dụng kia, lười quá

Đầu tiên chứng minh $2x\leq y+z$

$x^2+x(y+z)=3yz\leq \frac{3}{4}(y+z)^2\Leftrightarrow (x-\frac{y+z}{2})(x+\frac{3}{2}(y+z))\leq 0$

$\Leftrightarrow 2x\leq y+z$

Đặt $a=x+y$, $b=x+z$ , $c=y+z$ thì $x=\frac{a+b-c}{2}$, $y=\frac{a+c-b}{2}$, $z=\frac{b+c-a}{2}$ và $c^2=a^2-ab+b^2$

BĐT$\Leftrightarrow a^3+b^3+3abc\leq 5c^3\Leftrightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)+3abc\leq 5c^3$

$\Leftrightarrow (a+b)c+3ab\leq 5c^2$

Từ $2x\leq y+z$ $\Rightarrow a+b\leq 2c$

$\Rightarrow (a+b)c\leq 2c^2$ và $3ab\leq \frac{3}{4}(a+b)^2\leq 3c^2$

Suy ra điều chứng minh

$3=ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\leq 1$

$\Rightarrow \frac{1}{1+a^2(b+c)}\leq \frac{1}{abc+a(ab+ac)}=\frac{1}{a(ab+bc+ca)}$

$\Rightarrow VT\leq \sum \frac{1}{a(ab+bc+ca)}=\sum \frac{bc}{abc(ab+bc+ca)}=\frac{1}{abc}$

$\prod (a-b)=(a-b)(b-c)(c-a)$ ;$\sum a.(a-b)^2=a(a-b)^2+b(b-c^2)+c(c-a^2)$
Chúng ta sẽ sử dụng kĩ thuật phân tích bình phương
BĐT
$\Leftrightarrow 12\prod (a-b)+\frac{1}{2}.\sum a.\sum (a-b)^2+3(\sum a^3-\sum a^2b)\geq 0$
$\Leftrightarrow 9\prod (a-b)+\frac{1}{2}.\sum a.\sum (a-b)^2+3\sum a.(a-b)^2\geq 0$
Ta xét 2 trường hợp
$\star $ $c\geq b\geq a$
Dễ dàng chứng minh
$\star a$ $\geq b\geq c$
BĐT cần chứng minh tương đương với
$\frac{1}{2}.\sum (a-b)^2.(7a+b+c)\geq -9\prod (a-b)$
Ta xét
$\sum S_a(b-c)^2\geq S\prod (a-b)$
Trường hợp $a\geq b\geq c$
$VT=S_a(b-c)^2+S_b(a-b+b-c)^2+S_c(a-b)^2$
$=(S_b+S_c)(a-b)^2+(S_a+S_b)(b-c)^2+2S_b(a-b)(b-c)$ (Đoạn này $ AM-GM$ phát ta có điều dưới)
BĐT$\Leftrightarrow 2\sqrt{(S_a+S_b)(S_b+S_c)}+2S_b-S(c-a)\geq 0(a-b)(b-c)+2S_b(a-b)(b-c)$

Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix}3x^2+(9-y))x^2-3xy=1 & & \\ x^2+9x-2y=3 & & \end{matrix}\right.$

Em làm kiểu này không biết đúng k =))
$(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\rightarrow (x,y,z)$
Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
$\sum x(\frac{1}{y^2+z^2-x^2}-\frac{1}{xy})\geq 0\Leftrightarrow \sum x^2(\frac{yz}{y^2+z^2-x^2}-1)\geq 0$
(ĐK : vì $a,b,c$ là các cạnh tam giác nên cũng dễ dàng chứng minh $x,y,z$ là các cạnh tam giác)
Ta áp dụng BĐT phụ sau:
$xa^2+yb^2+zc^2 \ge 4\sqrt{xy+yz+zx}S$
(Ta có
$c^2=a^2+b^2-2ab.cosC$
$S=\frac{1}{2}ab.sinC$
BĐT$\Leftrightarrow a^2(x+z)+b^2(y+z)\geq 2ab(\sqrt{xy+yz+xz}.sicC+z.cosC)$
Mặt khác
$(\sqrt{xy+yz+xz}.sicC+z.cosC)^2\leq (sinC^2+cosC^2)(xy+yz+xz+z^2)=(z+x)(z+y)$
Áp dụng tiếp AM-GM ta có điều phải chứng minh)
Vậy ta cần chứng minh $\sum (\frac{1}{2sin_A}-1)(\frac{1}{2sin_B}-1)\geq 0$
Đến đây ta chỉ cần việc khai triển và sử dụng AM-GM cùng bất đẳng thức tam giác $\sum sin_A\leq \frac{3}{2}$ $\square$.

Cho các số thực dương $a,b,c $ thỏa mãn $abc=1$.CMR
$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\leq \frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}$

Other Solution
Theo $ Cauchy- Schwarz$
$[(a+b)c+(b+c)a+(c+a)b].VT\geq (\sqrt{\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{c}})^2\geq ^{AM-GM}9$
(vì $(a+b)c+(b+c)a+(c+a)b=2(ab+bc+ca)=2$)
$\Rightarrow VT\geq \frac{9}{2}$ $\square$ .
Other
$2=a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)\geq 3\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}$
Áp dụng $AM-GM$
$VT\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq \frac{9}{2}$

Bài 2
BĐT$\Leftrightarrow 2-\frac{2\sum ab}{\sum a^2}\geq1- \frac{8abc}{\prod_{a,b,c} (a+b)}$
$\Leftrightarrow \frac{\sum (a-b)^2}{\sum a^2}\geq \frac{\sum c(a-b)^2}{\prod(a+b)}$
Đúng theo định lí 4 ( $a\geq b\geq c, S_b,S_c\geq 0, a^2.S_b+b^2.S_a\geq 0$)

Mình nói là không phức tạp vấn đề mà ( đi thi thế chết liền)
Nhân cả 2 vế với $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$
$\sum \frac{\sum a^2+\sum ab}{b^2+bc+c^2}=1+\frac{a.\sum a}{b^2+bc+ca}$
$=3+\sum a.\sum \frac{a}{b^2+bc+c^2}$
BĐT$\Leftrightarrow 3+\sum a.\sum \frac{a}{b^2+bc+c^2}\geq \frac{9(\sum a^2+\sum ab)}{(\sum a)^2}$
Mặt khác theo Cauchy-Schwarz , ta có
$\sum \frac{a}{b^2+bc+c^2}=\sum \frac{a^2}{a(b^2+bc+c^2)}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a.\sum
ab}=\frac{\sum a}{\sum ab}$
Ta chỉ cần chứng minh
$\frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}+\frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geq 6 $ (Luôn đùng theo AM-GM
$\square .$

$x,y,z$ dương là được thôi anh à, lời giải tổng quát ( sao anh không để các em nó tự tìm tòi )
Ta có
$c^2=a^2+b^2-2ab.cosC$
$S=\frac{1}{2}ab.sinC$
BĐT$\Leftrightarrow a^2(x+z)+b^2(y+z)\geq 2ab(\sqrt{xy+yz+xz}.sicC+z.cosC)$
Mặt khác
$(\sqrt{xy+yz+xz}.sicC+z.cosC)^2\leq (sinC^2+cosC^2)(xy+yz+xz+z^2)=(z+x)(z+y)$
Áp dụng tiếp AM-GM ta có điều phải chứng minh

Bài 1/Cho các số thực không âm a,b,c sao cho không có $2$ số nào cùng bằng $0$.Chứng minh rằng
$\frac{1}{(a+2b)^2}+\frac{1}{(b+2c)^2}+\frac{1}{(c+2a)^2}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$
Bài 2/ Chứng minh rằng với mọi $a,b,c>0$
$\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}+\frac{1}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}$
(Cũng đã lâu rồi nhưng cũng rất hay, @Đạt: không cần chuẩn hóa và rất cổ điển)

Cho a,b,c là các cạnh của tam giác. Chứng ming rằng
$a^2+3b^2+4c^2\geq 4\sqrt{19}. S_{\triangle ABC}$

Cho các số thực $a,b,c$ bất kì .Chứng minh rằng
$\frac{1}{(3a-b)^2}+\frac{1}{(3b-c)^2}+\frac{1}{(3c-a)^2}\geq \frac{21}{26(a^2+b^2+c^2)}$

Cho $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ là các số thực dương, tìm giá trị lớn nhất của :
$\sqrt{\frac{a}{8a^2+1}}+\sqrt{\frac{b}{8b^2+1}}+\sqrt{\frac{c}{8c^2+1}}$

Bạn biết cái này không nhỉ $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
một hệ quả nhỏ của Cauchy-Schwarz,( mình áp dụng cái đó)

Mình giải thích nhé, anh ấy dùng $ Cauchy-Schwarz$
$\sum \frac{a^3}{\sqrt{1+b^2}}=\sum \frac{a^4}{a\sqrt{1+b^2}}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a.\sqrt{1+b^2}}$
Áp dụng B.C.S
$(a.\sqrt{1+b^2}+b\sqrt{1+c^2}+c\sqrt{1+a^2})^2\leq (a^2+b^2+c^2)(1+b^2+1+c^2+1+a^2)$
Bạn hiểu chưa
P/s: sửa lại tiêu đề đi bạn ơi

Bài này đơn giản mà
Bình phương cái BĐT $\Leftrightarrow (\sum a^2)^2\leq (2\sum ab)^2\Leftrightarrow \sum a^4\leq 2\sum a^2b^2+8abc(a+b+c)$
Áp dụng cái trên là được mà

Bài 1 http://diendantoanho...eq-sqrt3abbcca/

Em có cái này các anh coi được không
$(x,y,z)\rightarrow (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c})$
BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{3a^2+ab}{(a+b)^2)}\geq 3\Leftrightarrow \frac{3}{4}\sum (\frac{a-b}{a+b}+1)^2+\frac{1}{4}\sum \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{(a+b)^2)}\geq 3$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{a-b}{a+b})^2\geq 3\prod \frac{a-b}{a+b}$
Mặt khác $\prod \frac{a-b}{a+b}\leq 1\Leftrightarrow 2(a^2b+b^2c+c^2a)\geq 0$
$\square.$

Cho các số a,b,c dương.Chứn minh rằng
$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}$