Câu 21) Trong mp tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có cạnh AB, CD lần lượt nằm trên 2 đường thẳng $d_1 : x - 2y + 5 = 0; d_2 : x - 2y +1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng AD và BC biết $M(-3;3)$ thuộc đường thẳng AD và N(-1;4) thuộc đường thẳng BC

Bài này bạn nên vẽ hình ra để thấy được cách làm
Đường thẳng MN: $d_{3}: x-2y+9=0$
Ta có $d_{1}: x-2y+1=0$, $d_{2}: x-2y+5=0$, $d_{3}: x-2y+9=0$, 3 đường thẳng này song song(được tạo nhờ phép tịnh tiến $d_{1}$ sang trái 4 và 8 đơn vị) nên $d_{2}$ nằm giữa $d_{1}$ và $d_{3}$, lại có $d(M;d_{1})=2d(M;d_{2})$ $=\frac{8}{\sqrt{5}}$hay $d(d_{3};d_{2})=2d(d_{3};d_{1})$ nên $d_{2}$ cách đều $d_{1}$ và $d_{3}$ với khoảng cách $\frac{4}{\sqrt{5}}$.
Ta có $MN=\sqrt{(-3--1)^{2}+(3-4)^{2}}=\sqrt{5}$
$\left\{\begin{matrix} M\in AD\\ N\in BC\\ MN\parallel AB\parallel CD\end{matrix}\right.\Rightarrow MN=AB=CD=\sqrt{5}$
Không mất tính tổng quát, giả sử $A(x;y)\in d_{2}$, ta có đường thẳng MA trùng với đường thẳng AD, lần lượt lấy các điểm B,C,D còn lại lên $d_{1},d_{2}$ ta có như sau $\left\{\begin{matrix} A,B\in d_{2}\\ C,D\in d_{1}\\ AD\parallel AM\\ BC\parallel BN\parallel AD \end{matrix}\right.$
Khi đó ABCD là hình bình hành, để là hình thoi thì $AD=AB\Leftrightarrow AM=MN=\sqrt{5}$
Từ đây ta tìm được A: $\left\{\begin{matrix} A\in d_{2}\\ AM=MN=\sqrt{5} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-2y+5=0\\ (x+3)^{2}+(y-3)^{2}=5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=2\Rightarrow x=-1\\ y=\frac{4}{5}\Rightarrow x=\frac{-17}{5} \end{bmatrix}$
+Với A(-1;2) pt AD(hay AM): x+2y-3=0
B cùng phía với N so với AD kết hợp với $\left\{\begin{matrix} x-2y+5=0\\ (x+1)^{2}+(y-2)^{2} =5\end{matrix}\right.$ nên B(1;3)
pt BC(hay NB) :x+2y-7=0
+Với $A(\frac{-17}{5};\frac{4}{5})$ pt AD:11x-2y+39=0
B cùng phía với N so với AD kết hợp với $$\left\{\begin{matrix} x-2y+5=0\\ (x+\frac{17}{5})^{2}+(y-\frac{4}{5})^{2}=5 \end{matrix}\right.$$ nên $B(\frac{-7}{5};\frac{9}{5})$
pt BC: 11x-2y+19=0
Vậy $\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} AD:x+2y-3=0 \\ BC:x+2y-7=0 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} AD:11x-2y+39=0\\ BC:11x-2y+19=0 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$
Ko biết có cách nào ngắn hơn ko?

Phai noi la loi giai hay. Ta hoan toan co the bien doi tuong duong duoc ma nhi. hj
Nhan xet tu phuong trinh thu hai suy ra y duong. Nen co the bien doi tuong duong.

$(1)\Leftrightarrow y + \sqrt {{x^2} - {y^2}} = 12 - x$ (*)
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12-x\leqslant 0\\ {(y+\sqrt{x^{2}-y^{2}})^2}= (12-x)^{2} \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow ....$
Nho loi nhan xet y duong de nhan nghiem.

Mình giải thích rõ chút là vế phải của pt (2) =12 nên y>0, từ đó bình phương 2 vế của pt (1) với điều kiện $12-x\leq 0$

Bài 2: Trong Oxy,cho hình bình hành ABCD có B(1;5) và đường cao AH có Pt $d_{1}$ : x+2y-2=0,với H thuộc BC,Đường phân giác trong $\widehat{ACB}$ có pt $d_{2}$: x-y-1=0.Tìm tọa độ đỉnh A,C,D

mình làm hơi dài ;
Kẻ $BK\perp d_{2} $cắt AC tại M; $(K \in d_{2})$
Ta có tam giác MBC cân tại C do CK vừa là đường phân giác vừa là đường cao trong tam giác MBC
Tìm được K bằng cách giải hệ $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{BK}\perp \vec{u}(1;1)\\ K\in d_{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-1)+(y-5)=0\\ x-y-1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{7}{2}\\ y=\frac{5}{2} \end{matrix}\right.$
Tìm tọa độ M: $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BK}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-1)=2(\frac{7}{2}-1)\\ (y-5)=2(\frac{5}{2}-5) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=6\\ y=0 \end{matrix}\right.$
Gọi N là giao điểm của $d_{1}$ và $d_{2}$
Tìm tọa độ N: $\left\{\begin{matrix} N\in d_{1}\\ N\in d_{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y-1=0\\ x+2y-2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{4}{3}\\ y=\frac{1}{3} \end{matrix}\right.$
Tìm A:$\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{NA}\perp \overrightarrow{BA}\\ A\in d_{1} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-\frac{4}{3})(x-1)+(y-\frac{1}{3})(y-5)=0\\ x=2-2y \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{7}{5}\Rightarrow x=\frac{-4}{5}\\ y=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\frac{4}{3} \end{bmatrix}$
$A(\frac{-4}{5};\frac{7}{5})$ (loại $A(\frac{4}{3} ;\frac{1}{3})\equiv N(\frac{4}{3} ;\frac{1}{3})$)
pt đường thẳng AM là $d_{3}$=$7x+34y-42=0$
C là giao điểm của $d_{3}$ và $d_{2}$ nên C:$\left\{\begin{matrix} 7x+34y-42=0\\ x-y-1=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{76}{41}\\ y=\frac{35}{41} \end{matrix}\right.$
Ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{76}{41}-1=x-(\frac{-4}{5})\\ \frac{35}{41}-5=y-\frac{7}{5} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{11}{205}\\ y=\frac{-563}{205} \end{matrix}\right.$

Vậy $(A;C;D)= ((\frac{-4}{5};\frac{7}{5});(\frac{76}{41};\frac{35}{41});(\frac{11}{205};\frac{-563}{205} ))$

8) Tìm toạ độ tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết trọng tâm G(2;-1) và trực tâm H(1;4)

Ta có $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$ $(=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$
Gọi O(x;y)
Ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix} (1-x)=3(2-x)\\ (4-y)=3(-1-y) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{5}{2}\\ y=\frac{-7}{2} \end{matrix}\right.$
Vậy tọa độ điểm O là $O(\frac{5}{2};\frac{-7}{2})$

Bài 1: Trong mp Oxy,cho hình chữ nhật ABCD có M(4;6) là trung điểm của AB.Giao điểm $I$ của 2 đường chéo nằm trên đường thẳng (d) có pt:
3x-5y=6=0,Điểm N(6;2) thuộc cạnh CD.hãy viết pt cạnh CD biết tung độ điểm $I$ lớn hơn 4.

bạn chỉnh lại đề với

Trong mp O xy, cho tam giác ABC biết A(0;4), trọng tâm G($\frac{4}{3}$;$\frac{2}{3}$), trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ O.Tìm B;C và tính diện tích tam giác ABC??
(Trich" Đề thi thử trường chuyên Hạ Long_Quảng Ninh")

Gọi M(x,y) là trung điểm BC, ta có $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GM} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{4}{3}=2(x-\frac{4}{3})\\ \frac{-10}{3}=2(y-\frac{2}{3}) \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow M(2;-1)$
Ta có
$BC\perp AO \Rightarrow y_{B}=y_{C}=y_{M}=-1$
$\left\{\begin{matrix} BO\perp AC\\ MB=MC \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{OB}\perp \overrightarrow{AC}\\ MB^{2}=MC^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{B}.x_{C}+(-1).(-5)=0 \\ (x_{B}-2)^{2}=(x_{C}-2)^{2} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} x_{B}=x_{C}\\ x_{B}+x_{C}=4 \end{bmatrix}\\ x_{B}x_{C}=-5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x_{B}=5\\ x_{C}=-1 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x_{B}=-1\\ x_{C}=5 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$
Vậy tọa độ 2 đỉnh là...
+Tính diện tích tam giác ABC với 2 trường hơp tọa độ B,C là như nhau:
$S=\frac{1}{2}.d(A,BC).BC=\frac{1}{2}.5.6=15$
Vậy diện tích là 15

Còn bài 4 và bài 10?

6. Sau một hồi... không ra gì !!!!!!

Xét $y=0$,..........

Xét $y \neq 0$

$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
8x^3y^2+\frac{27}{y}=18y^2 & & \\4x^2y+6x=y^2
& &
\end{matrix}\right.$$

$$\Rightarrow \frac{8x^3y^2+\frac{27}{y}}{18}=4x^2y+6x\Rightarrow 8x^3y^3-72x^2y^2-108xy+27=0\Rightarrow (2xy-3)(4x^2y^2-42xy+9)=0$$

Một cách của bài 6, có lẽ dài hơn:
Xét y=0 ko thỏa
Xét y#0:
$pt \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 8x^{3}+\frac{27}{y^{3}}=18\\ \frac{4x^{2}}{y}+\frac{6x}{y^{2}}=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{Bmatrix} (2x)^{3}+(\frac{3}{y})^{3}=18\\ \frac{2x}{y}(2x+\frac{3}{y})=1 \end{Bmatrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x+\frac{3}{y})^{3}-3.3.\frac{2x}{y}(2x+\frac{3}{y})=18(1)\\ \frac{2x}{y}(2x+\frac{3}{y})=1 (2) \end{matrix}\right.$
thế (2) vào (1)

Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1;0) và đường tròn ©: $x^{2}+y^{2}-2x+4y-5=0$
Viết pt đường thẳng $\Delta$ cắt © tại 2 điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A
(Bài này mình làm cách hơi dài và lộn xộn, ko biết bạn nào làm cách ngắn ko?)

bậc 3 cũng có nghiệm nhưng chưa ra, có vẻ bậc 2 dễ hơn nhỉ

Mình nghĩ đề là $x^2+3x+1=\left(x+3\right)\sqrt{x^2+1}$

(nếu ko phải thì đừng nhìn vào bài giải phía dưới )
đặt $t=\sqrt{x^{2}+1}\geq 1$
pt$\Leftrightarrow t^{2}+3x=(x+3)t\Leftrightarrow \begin{bmatrix} t=3\\ t=x \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^{2}+1=9\\ \begin{Bmatrix} x\geq 0\\ x^{2}+1=x^{2} \end{Bmatrix} \end{bmatrix} \Leftrightarrow x=\pm 2\sqrt{2}$
Vậy pt có 2 nghiệm $x=\pm 2\sqrt{2}$

4. $(2)\Rightarrow x+y+2\sqrt{xy}=16$
Đặt $\left\{\begin{matrix} x+y=a & & \\ xy=b & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a+2\sqrt{b}=16$
$(1)\Rightarrow \sqrt{a-2b}+\sqrt{2b}=8\sqrt{2}\Rightarrow 2\sqrt{2ab-4b^2}=128-a\Rightarrow 4(2ab-4b^2)=(128-a^2)$
Cách khác: Đặt $\sqrt{x}=a$; $\sqrt{y}=b$.

Câu 4 nếu pt (1) bạn nhân 2 vế với $\sqrt{2}$ rồi mới trừ cho (2)bình thì chắc đẹp hơn đó
Ra đc x=y luôn

Giải hệ:
1.$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+1})(y+\sqrt{y^{2}+1})=1\\ y+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}+\frac{35}{12}=0 \end{matrix}\right.$
2.$\left\{\begin{matrix} x^{3}-8x=y^{3}+2y\\ x^{2}-3=3(y^{2}+1) \end{matrix}\right.$
3.$\left\{\begin{matrix} y^{2}+2y\sqrt{x^{2}-1}=26-x^{2}\\ y^{2}+y\sqrt{x^{2}-1}=10 \end{matrix}\right.$
4.$\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}+3y^{2}-3x=2\\ x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}-3\sqrt{2y-y^{2}}=-2 \end{matrix}\right.$
5.$\left\{\begin{matrix} x^{2}+2y^{2}=xy+2y\\ 2x^{3}+3xy^{2}=2y^{2}+3x^{2}y \end{matrix}\right.$
6.$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2x+6}=y+1\\ x^{2}+xy+y^{2}=7 \end{matrix}\right.$
7.$\left\{\begin{matrix} y^{2}=(5x+4)(4-x)\\ y^{2}-5x^{2}-4xy+16x-8y+16=0 \end{matrix}\right.$
8.$\left\{\begin{matrix} (2x^{2}+y)(x+y)+x(2x+1)=7-2y\\ x(4x+1)=7-3y \end{matrix}\right.$
9.$\left\{\begin{matrix} (2x^{2}-1)(2y^{2}-1)=\frac{7}{2}xy\\ x^{2}+y^{2}+xy-7x-6y+14=0 \end{matrix}\right.$
10.$\left\{\begin{matrix} \sqrt{9x+\frac{y}{x}}+2\sqrt{y+\frac{2x}{y}}=4\\ (\frac{2x}{y^{2}}-1)(\frac{y}{x^{2}}-9)=18 \end{matrix}\right.$
Đây là những bài luyện thi đại học, mình đăng lên để mọi người tham khảo, làm thử và mong sẽ có những cách giải hay, ngắn nhất cho các bài này

Giải hệ:
1.$\left\{\begin{matrix} x^{3}(2+3y)=1\\ x(y^{3}-2)=3 \end{matrix}\right.$
2.$\left\{\begin{matrix} x^{2}(y+1)(x+y+1)=3x^{2}-4x+1\\ xy+x+1=x^{2} \end{matrix}\right.$
3.$\left\{\begin{matrix} 12y^{2}-15x^{2}-3xy=27\\ x^{2}+xy+1=\frac{12}{x+y} \end{matrix}\right.$
4.$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+3xy=3y-13\\ 3y^{2}+2xy=2x+11 \end{matrix}\right.$
5.$\left\{\begin{matrix} (17-3x)\sqrt{5-x}+(3y-14)\sqrt{4-y}=0\\ 2\sqrt{2x+y+5}+3\sqrt{3x+2y+11}=x^{2}+6x+13 \end{matrix}\right.$
6.$\left\{\begin{matrix} 1+xy+\sqrt{xy}=x\\ \frac{1}{x\sqrt{x}}+y\sqrt{y}=\frac{1}{\sqrt{x}}+3\sqrt{y} \end{matrix}\right.$

giải hệ:
1.$\left\{\begin{matrix} (x+y)(x^{2}+y^{2})=15\\ (x-y)(x^{2}-y^{2})=3 \end{matrix}\right.$
2.$\left\{\begin{matrix} x^{2}+1+y(y+x)=4y\\ (x^{2}+1)(y+x-2)=y \end{matrix}\right.$
3.$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-y}+\sqrt{x+y}=2\\ x^{3}-6x^{2}y+9xy^{2}-4y^{3}=0 \end{matrix}\right.$
4.$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2}\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=4 \end{matrix}\right.$
5.$\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{x^{2}+3y}-\sqrt{y^{2}+8x}=1\\ x(x+8)+y(y+3)=13 \end{matrix}\right.$
6.$\left\{\begin{matrix} 8x^{3}y^{3}+27=18y^{3}\\ 4x^{2}y+6x=y^{2} \end{matrix}\right.$

Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC vuông tại A, biết
1. Tọa độ B(-3;0) và C(7;0)
2. bán kính đường tròn nội tiếp là 2
3. tung độ của tâm I >0
Cho mình hỏi làm sao để sửa tên chủ đề vậy các bạn?

Mình giải ra đc điều kiện là $\begin{bmatrix} x> 5\\ x\leq -5 \end{bmatrix}$
còn về phương pháp biến đổi thì chưa có, bạn nào giải thử xem

$x^{3}=\frac{1}{8}(t^{3}+\frac{1}{t^{3}}+6x)\Rightarrow t^{3}+\frac{1}{t^{3}}=8x^{3}-6x.$
$x^{2}=\frac{1}{4}(t^{2}+\frac{1}{t^{2}}+2)\Rightarrow t^{2}+\frac{1}{t^{2}}=4x^{2}-2$
$\Rightarrow(t^{3}+\frac{1}{t^{3}})(t^{2}+\frac{1}{t^{2}})=(8x^{3}-6x)(4x^{2}-2)\Leftrightarrow t^{5}+\frac{1}{t^{5}}+t+\frac{1}{t}=2(16x^{5}-20x^{3}+6x)\Leftrightarrow t^{5}+\frac{1}{t^{5}}=2(16x^{5}-20x^{3}+5x)\Leftrightarrow 16x^{5}-20x^{3}+5x=\frac{1}{2}(t^{5}+\frac{1}{t^{5}})$Do đó phương trình 2 trở thành
$\frac{1}{2}(t^{5}+\frac{1}{t^{5}})+7=0(**)(đk \left | t \right |> 1)$

Mình có một số câu hỏi, mong mọi người giải thích giúp
1.tại sao khi $x=\frac{1}{2}(t+\frac{1}{t})$ rồi sao lại ko thay vào pt mà lại tính $x^{3}$ và $x^{2}$ trước? (thay vào liệu có đơn giản hơn ko?)
2. Tại sao lại nảy ra ý tưởng $(8x^{3}-6x)(4x^{2}-2)$ ?
3. bạn có bài tập nào tương tự ko gửi cho bọn mình tham khảo với

cũng là 1 cách nhân liên hợp:
đk $x\neq 0$
Xét x<0 ko thỏa mãn
Xét x>0
$\sqrt{2x^{2}+x+6}-\sqrt{x^{2}+x+3}> 0, \forall x>0$
pt$\Leftrightarrow \frac{x^{2}+3}{\sqrt{2x^{2}+x+6}-\sqrt{x^{2}+x+3}}=\frac{2(x^{2}+3)}{x}\Leftrightarrow x=2(\sqrt{2x^{2}+x+6}-\sqrt{x^{2}+x+3})\Leftrightarrow 7x^{4}+16x^{3}-24x^{2}-144=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=2\\ 7x^{3}+30x^{2}+36x+72=0(*) \end{bmatrix}$
Ta có (*) vô nghiệm vì x>0
Vậy pt có nghiệm x=2

pt$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\\ 16x^{5}-20x^{3}+5x+7=0 (*)\end{bmatrix}$

Giải pt, hệ pt:
(1)$\sqrt{2x^{2}+x+6}+\sqrt{x^{2}+x+3}=2(x+\frac{3}{x})\\$
(2)$\left\{\begin{matrix} 12xy+12(x^{2}+y^{2})+\frac{9}{(x+y)^{2}}=85\\ \frac{3}{x+y}=13-6x \end{matrix}\right.$

Ta có: ĐKXXĐ:...
$$2(2\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}})-\sqrt{1-x^{4}}=3x^{2}+1$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}-2)(2\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2})=0$$

Cho mình hỏi Bạn phân tích như thế nào để đc vậy?

Another Solution: (Thay vì AM-GM khổ sở, dùng Cauchy-Schwarz cho nhanh)
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
${\left( {x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2} \le \left( {{x^2} + 1 - {x^2}} \right)\left( {{y^2} + 1 - {y^2}} \right) = 1$
___

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1$
Nghiệm $\left\{\begin{matrix} \left | x \right |\leq 1\\ y=\pm \sqrt{1-x^{2}} \end{matrix}\right.$

$DKXD:-1 \leq x,y \leq 1$

Với $- \leq x,y \leq 0$ thì $A \leq 0$ suy ra pt vô nghiệm

Đặt $A=x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}}=1 (1)$

Với $0 \leq x,y \leq 1$ ta có:

$A=x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} \Leftrightarrow A=\sqrt{x^2(1-y^2)}+\sqrt{y^2(1-x^2)}$

thế còn trường hợp 1 âm 1 dương thì sao?

Giải pt: $2x(8x-1)^{2}(4x-1)=9$

Em nghĩ làm thế này nhanh hơn:
$pt\Leftrightarrow 8x(8x-1)^{2}(8x-2)=72$
đặt $y=8x-1$
ta có $(y+1)y^{2}(y-1)=72\Leftrightarrow (y^{2}-1)y^{2}=72$