Tính tích phân: 

$$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{e^{x}sinx}{(sinx+cosx)^{2}}dx$$

Đề thi thử của báo toán tháng 1.

$I= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{(\sin x-\cos x)e^xdx}{(\sin x+\cos x)^2}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos xe^xdx}{(\sin x+\cos x)^2}$

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^x}d(\frac{1}{\sin x+\cos x})+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^xdx}{\sin x+\cos x}-I$

$\Rightarrow 2I= e^{\frac{\pi}{2}}-1$

Gợi ý thôi nhé.
Thêm bớt $n$ ta có
$lim \sqrt{n^2+n}-n +n -\sqrt{n^3...}}
nhân liên hợp với từng căn.viêt bằng đthoại,thông cảm.

Giải phương trình:

  $\sqrt{\frac{1-x}{x}}=\frac{2x+x^{2}}{1+x^{2}}$

ĐK: $0< x \leq 1$

Pt $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{x}-1}=\frac{\frac{2}{x}+1}{\frac{1}{x^2}+1}$

Đặt $t=\frac{1}{t}(t \geq 1)$ ta có:

$\sqrt{t-1}=\frac{2t+1}{t^2+1}$

$\Leftrightarrow \frac{t-2}{\sqrt{t-1}+1}=\frac{t(2-t)}{t^2+1}$

$(t-2)(\frac{1}{\sqrt{t-1}+1}+\frac{t}{t^2+1}=0$

$\Leftrightarrow t=2 ( \frac{1}{\sqrt{t-1}+1}+\frac{t}{t^2+1} >0 \forall t \geq 1)$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $\Delta ABC$, có $A(-4;0)$, điểm $M(3;1)$ là trung điểm của $BC$. $E, F$ lần lượt là chân đường cao từ $B, C$, $EF: x+1=0$. Tìm pt $BC$

$6x^{2}-10x+5-(4x-1)\sqrt{6x^{2}+6x+5}=0(1)$

Ta thấy $x=\frac{1}{4}$ không là nghiệm của pt

$\Rightarrow (1) \Leftrightarrow \frac{6x^2-10x+5}{4x-1}=\sqrt{6x^2+6x+5}$

$\Leftrightarrow \frac{6x^2-10x+5}{4x-1}+1=\sqrt{6x^2+6x+5}+1$

$\Leftrightarrow \frac{6x^2-10x+5+4x-1}{4x-1}=\frac{6x^2+6x+5-1}{\sqrt{6x^2+6x+5}-1}$

$\Leftrightarrow 6x^2+6x+4=0$ hoặc $4x-1=\sqrt{6x^2+6x+5}-1$........

Cho $x, y, z >0$ thoả mãn $y+z=x(y^2+z^2)$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{4}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

Cho $a, b, c>0$ thoả mãn $abc=1$. Cm:
$ \sum \frac{\sqrt a}{2+b\sqrt a} \geq 1$

Cho $x,y,z $ là các số thực không âm thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm GTLN của biểu thức
$P=6(y+z-x)+27xyz$

Tính tích phân: 

$$I=\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{cos2x+sinx\sqrt{sinx}+\sqrt{sin^2x+cos^2x}}$$

Đề bài sai nhé.

Không thể tồn tại cận $-\frac{\pi}{4}$ trong khi hàm chứa $\sqrt{ \ sinx}$.

Tìm nguyên hàm:

$\int \frac{1- sinx}{(1+ cosx)e^x}dx$

 

1.Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b)(a+c)(b+c)=1$.Chứng minh:

$ab+bc+ac \geq \frac{3}{4}$

2. Cho $a,b,c >0$.Chứng minh:

$\frac{a^3-11b^3}{a+4b}+\frac{b^3-11c^3}{b+4c}+\frac{c^3-11a^3}{c+4a}\geq ab+bc+ac -3(a^2+b^2+c^2)$

Cho hình bình hành $ABCD$,$AC>BD$, $ E, F$ lần lượt là hình chiếu của $B,D$ trên $AC$. $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $C$ trên $AB, AD$. CM: $AB.AH+AD.AK=AC^2$

Cho $a,b,c >0$, và $abc=1$. Chứng minh:

$ \sum \frac{a^2}{(ab+2)(2ab+1)} \geq \frac{1}{3}$

trong mặt phẳng $Oxy$ cho $\Delta ABC$ với $A_{(1;-2)}$; đường cáo $CH: x-y+1=0$ . phân giác trong $BN:2x+y+5=0$.Tìm tọa độ $B;C$ và tính diện tích $\Delta ABC$.

Phương trình $AB: x+y+1=0 \Rightarrow B(-4;3)$

Ta có $H(-1;0)$ , điểm $H'$ đối xứng với $H$ qua phân giác $BN$ là $H'(-3;-1)$

mà $H' \in BC \Rightarrow BC: 4x+y+13=0$

$\Rightarrow C(\frac{-14}{5}; \frac{-9}{5})$... Từ đó tính $S_ABC$

ĐK: $x>5$
Ta có :
$f(x)= \log_3(x-5)+ \log_5(x-3)-\frac{x+2}{x-3}=0$
$f'(x)=\frac{1}{\ln5(x-3)}+\frac{1}{\ln3(x-5)}+\frac{5}{(x-3)^2} >0$, với mọi $x>5$
$\Rightarrow f(x)$ đồng biến
mà $f(8)=0$ nên $x=8$ là nghiệm duy nhất của pt.

a,Kẻ $SE \perp BC$.

Ta có $SE \perp BC, SA \perp BC \Rightarrow BC \perp (SAE)$

$\Rightarrow AE \perp BC \Rightarrow \angle SEA= \angle ((SBC);(ABC))$

$\Rightarrow AE=\frac{a}{\sqrt 3}$

$ \Delta ABC $ vuông $\Rightarrow \frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$

$\Rightarrow AC=\frac{a}{\sqrt 2}$

$ V_{S.ABC}=\frac{1}{3}a. \frac{a^2}{2\sqrt 2}=\frac{a^3}{6\sqrt 2} (đvtt)$

Kẻ $AH \perp SE$ ta có $AH \perp (SBC)$

$\Rightarrow AH=\frac{a}{2}$

b, Theo định lí Talet ta có:

$\frac{SK}{SC}=\frac{d(K;SBC)}{d(C; (SBC)}=\frac{V_{S.ABK}}{V_{S.ABC}}$

$S_{SAB}=\frac{a^2}{2} \Rightarrow d(C;(SBC)) =\frac{a^3}{2\sqrt 2}. \frac{2}{a^2}=\frac{a}{\sqrt 2}$

Ta có $SC=\frac{\sqrt 6 a}{2}$

$SK=\frac{a}{\sqrt 3}$

$\Rightarrow V_{S.ABK}=\frac{a^3}{18} (đvtt)$

$(x-2)(\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-2})=2x-1(1)$

Điều kiện: $x \geq 1$

Ta có $x=2$ không là nghiệm của phương trình nên:

$(1) \Leftrightarrow \sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-2}=\frac{2x-1}{x-2}$

Để pt trên có nghiệm thì $\frac{2x-1}{x-2} \geq 0 \Leftrightarrow x >2$

Khi đó ta có:

$ \sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-2}=\frac{2x-1}{x-2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x+3}-3 +\sqrt{2x-2}-2=\frac{2x-1}{x-2}-5$

$\Leftrightarrow \frac{2x-6}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{2x-6}{\sqrt{2x-2}+2}=\frac{9-3x}{x-2}$

$\Leftrightarrow (x-3)(\frac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{2}{\sqrt{2x-2}+2}+\frac{3}{x-2})=0$

$\Leftrightarrow x=3$

Lô hàng gồm 8 sản phẩm. Kiểm tra một nửa số sản phẩm của lô đó thấy có 3 chính phẩm, 1 phế phẩm. Tính xác suất để khi kiểm tra 3 sản phẩn tiếp theo có 1 chính phẩm, 2 phế phẩm. Biết rằng số phế phẩm có thể là bất kì từ 0 đến 8, các khả năng là như nhau.

Let $A$ and $B$ be matrices $3\times 3$ with integer entries such that $A,\: A+B,\: A+2B,\: A+3B,\: A+4B,\: A+5B$ and $A+6B $ are all invertible matrices with their inverse have integer entries. Show that $A+2012B$ is invertible and its inverse has integer intries.

 

Submit your solution!

Cho $y=x^3-4x+1(C )$.Chứng minh (C) cắt $Ox$ tại 3 điểm phân biệt có tọa độ $x_1,x_2,x_3$.Tính :

$A=\frac{1}{3-x_1}+\frac{1}{3-x_2}+\frac{1}{3-x_3}$

Trong không gian cho mặt cầu (S), tâm $I(1;2;3)$, tìm mp (P) cắt mặt cầu tại 3 điểm $B,C,D$ sao cho tứ diện $ABCD$ vuông tại A và có thể tích lớn nhất.

Giải hpt:

$\left\{\begin{matrix} (xy)^2-2x+y^{2}=6\\ 2x^{3}+3x^{2}+6y-12x+13=0 \end{matrix}\right.$

 

Tính $I= \int \frac{3-4\ln^2x}{4x^2 \sqrt{1+\ln x}}dx$

Tính $I=\int\frac{xe^x}{e^{2x}-2e^x+2}$