cách 1 hay quá.Thêm 1 bài nữa
$(x-1)(x+3)+2(x-1)\sqrt{\frac{x+3}{x-1}}=8$

Cho (O) và điểm P cố định trong đường tròn (P$\neq$O). 2 dây AB và CD thay đổi sao cho AB$\perp$CD tại P. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AC,AD.Các đường thẳng EP,FP cắt BD,BC lần lượt tại M,N.
a)Chứng minh 4 điểm M,N,B,P cùng thuộc 1 đường tròn.
b)Chứng minh BD=2EO.
c)Tìm Max,Min của diện tích tứ giác ACBD.
p/s: mọi người giúp mình tìm min của diện tích tứ giác ACBD nha

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{4z-1}\\ y+z=\sqrt{4x-1}\\ z+x=\sqrt{4y-1} \end{matrix}\right.$

1)Cho $\Delta ABC$ có các cạnh thỏa a<b<c. Một đường thẳng L đi qua trọng tâm G của $\Delta ABC$. Xác định vị trí của L để tổng khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác đến L là lớn nhất.
2)Gọi O là điểm trong tam giác ABC. Gọi $d_{a},d_{b},d_{c}$ lần lượt là khoảng cách từ O đến BC,CA,AB.Xác định vị trí của O để $d_{a},d_{b},d_{c}$ có giá trị lớn nhất.
3)Cho M là điểm trong tam giác ABC, các đường thẳng AM,BM,CM cắt các cạnh của tam giác ABC tại A',B',C'.Xác định M để $\frac{MA}{MA'}=\frac{MB}{MB'}=\frac{MC}{MC'}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
p/s:Chỗ này dấu "=" hay "+" mình cũng chả biết.Đề thì ghi "=" nhưng mình lại nghĩ là "+".

Đóng góp tí cho vui
151)Cho $\Delta ABC$ đều nội tiếp (O). M là 1 điểm thuộc cung nhỏ AC, D là giao điểm của CM và BA, E là giao điểm của BM và AC. CMR: Đường thẳng DE luôn đi qua 1 điểm cố định.

Tôi chả đã nói là lấy A' đối xứng với B qua A là gì

chắc bạn nhầm hay sao ấy chứ bài toán phụ mà bạn đưa ra phải vẽ thêm như thế này: trên tia đối tia AB lấy điểm A' sao cho AA'=AC

Tôi chả đã nói là lấy A' đối xứng với B qua A là gì

AA'=AC=AB à

Có tồn tại hay không 1 số chính phương có tổng các chữ số bằng 2012.

a, I ( giao điểm hai đường chéo ) thuộc đường tròn tâm K( trung điểm OB ) bán kính OB trên 2
b, Vẽ hẳn cái đường tròn ở câu a ra. Nối OA cắt (K) tại J ( J luôn cố đinh---> tự chứng minh) chứng minh được AN luôn nhỏ hơn hoặc bằng AJ. từ đó tìm được vị trí điểm M
Đùng thì thanks nhát nhé (lâu lắm rồi mới tái xuất dieddantoanhoc)

chỗ này có vấn đề. Hình mình vẽ theo bạn này

Bài này cùi thôi:
chứng minh được I chuyển động trên cung chứa góc (90 độ cộng với góc A chia 2) dựng trên BC.
Bây giờ chúng minh bài toán phụ : trong (O), dây BC cố định. Xác định A thuộc (O) sao cho P ABC max
với bài toán phụ này cậu hãy vẽ điểm A' đối xứng với B qua A. Rồi chứng minh BA' ( = BA+AC) Max khi nó đi qua điểm I là điewẻm chính giữa cung BC lớn ( sử dụng liên hệ giữa dây cung và đường kính)

sao BA'=BA+AC được vậy bạn

Tìm GTLN của $A=\frac{(a+b-c)^{2}}{5c^{2}}$ với $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông và $c$ là cạnh huyền, $a,b$ là 2 cạnh góc vuông.

Gợi ý hướng giải :

• Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
• Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
• Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

Sao từ BĐT $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$ mà suy ra được $S \le \frac{1}{4}$ vậy a

Gợi ý hướng giải :

• Chứng minh $S \le \frac{1}{4}$,đẳng thức có được khi tam giác đều.
• Đưa BĐT về dạng $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \le \frac{1}{4r^2}$.
• Chứng minh $\frac{1}{a^2} \le \frac{1}{4(p-b)(p-c)}$ và $r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$;trong đó $p$ là nửa chu vi.

anh có thể nói cụ thể hơn vì sao $S$ $\leq$ $\frac{1}{4}$ không ạ

Gọi $a$,$b$,$c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác $ABC$ và $h_{a},h_{b},h_{c}$ là 3 đường cao tương ứng. Tìm tính chất của tam giác $ABC$ khi biểu thức $S=\frac{h_{a}^{2}+h_{b}^{2}+h_{c}^{2}}{(a+b+c)^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Cho dây cung $BC$ cố định của $(O)$. Gọi $A$ là điểm chuyển động trên cung lớn $BC$. $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ . Hãy xác định vị trí điểm $I$ sao cho chu vi $\Delta IBC$ đạt giá trị lớn nhất.

Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$ cố định. $M$ di động trên $(O)$., gọi $N$ là điểm sao cho $AMNB$ là hình bình hành.
a)Tìm quỹ tích giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành $AMNB$ khi $M$ chuyển động trên $(O)$.
b)Xác định vị trí điểm $M$ trên $(O)$ sao cho $AN$ dài nhất.

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A, vẽ hình chữ nhật MNPQ nội tiếp $\Delta$ ($M,N\in BC$; $P\in AC$; $Q\in AB$). Gọi $R_{1};R_{2};R_{3}$ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp $\Delta MBQ;CNP;APQ$.CMR:
a)$\Delta AQP\sim \Delta MBQ$ và $\Delta MBQ\sim \Delta NPC$.
b)Diện tích MNPQ lớn nhất khi và chỉ khi $R_{1}^{2}+R_{2}^{2}=R_{3}^{2}$.

Cho $\Delta ABC$ và hình chữ nhật KPMN nội tiếp $\Delta$ sao cho $K,N\in BC$; $P\in AB$; $M\in AC$. CMR: Diện tích KPMN lớn nhất khi PM chia đôi đường cao $AA^{'}$ của $\Delta ABC$

Cho $\Delta ABC$ vuông tại C có AB=c; AC=b; BC=a.Kẻ các trung tuyến AE và BF có độ dài là AE=m và BF=n. Đặt bán kính đường tròn nội tiếp là r. CMR:
a)$\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}< \frac{1}{20}$
b)Tìm GTLN của $\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}$

146)Cho $\Delta ABC$ vuông tại C có AB=c; AC=b; BC=a.Kẻ các trung tuyến AE và BF có độ dài là AE=m và BF=n. Đặt bán kính đường tròn nội tiếp là r. CMR:
a)$\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}< \frac{1}{20}$
b)Tìm GTLN của $\frac{r^{2}}{m^{2}+n^{2}}$

sao không ai giải giúp mình vậy

1)Trong các tứ giác lồi có 3 cạnh bằng a (a là hằng số).Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.
2)Cho (O) đường kính AB. Từ một điểm C trên đường tròn kẻ $CH\perp AB$ (C khác A và B; H $\in$ AB). (C;CH) cắt (O) tại D và E. CMR DE luôn qua 1 điểm cố định.
3)Cho 2 đường tròn đồng tâm và điểm M cố định trên đường tròn nhỏ. Qua M kẻ 2 đường thẳng vuông góc với nhau, một đường thẳng cắt đtr nhỏ ở A khác M, đường kia cắt đtr lớn ở B và C.Khi cho 2 đường này quay quanh M mà vẫn vuông góc với nhau.CMR:
a)Tổng $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$ không đổi.
b)Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố định.

Cho 0<b<a,$a^{2}+b^{2}=1$.Tìm min của:
$A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}})^{2}$

bài này mình nghĩ là 0<b$\leqslant$a

Cho 0<b<a,$a^{2}+b^{2}=1$.Tìm min của:
$A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}})^{2}$

Gọi I là TĐ DE, M là giao điểm của đường trung trực Ix của DE với (O)
IM là đường trung trực của DE nên DM=DE
$\Delta DBM=\Delta ECM$(cgc) nên BM=CM nên M là điểm chính giữa cung lớn BC $\Rightarrow$ M cố định