áp dụng bđt minkowski $\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{c^{2}}}\geq \sqrt{9+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}\geq \sqrt{9+\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ca}}$

do a+b+c=abc, suy ra $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

suy ra $\sqrt{9+\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ca}}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$

Bạn cho mình dạng tổng quát và cách chứng minh bđt minkowski đk k?

Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác đều ABC. Một đường thẳng d tiếp xúc với (I) và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M,N. Chứng minh rằng  

$\frac{MA}{MB}+\frac{NA}{NC} = 1$

Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác đều ABC. Một đường thẳng d tiếp xúc với (I) và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M,N. Chứng minh rằng  

 $\frac{MA}{MB}+\frac{NA}{NC} = 1$

Với $F,D$ lần lượt là trung điểm của đoạn $AB,AC$

Đặt $\alpha=\widehat{FIM},\beta=\widehat{DIN}$ dễ thấy $\alpha+\beta=60^{\circ}$

Có $\tan\alpha=\dfrac{FM}{FI},\tan\beta=\dfrac{DN}{DI},\tan60^{\circ}=\dfrac{AF}{IF}=\dfrac{AD}{DI}$

Ta có $\frac{MA}{MB}+\frac{NA}{NC} = \frac{AF-MF}{AF+MF}+\frac{AD-DN}{AD+AN} $

$=\dfrac{\dfrac{AF}{FI}-\dfrac{MF}{FI}}{\dfrac{AF}{FI}+\dfrac{MF}{FI}}+\dfrac{\dfrac{AD}{DI}-\dfrac{ND}{DI}}{\dfrac{AD}{DI}+\dfrac{ND}{DI}}$

$=\dfrac{\tan60^{\circ}-\tan\alpha}{\tan60^{\circ}+\tan\alpha}+\dfrac{\tan60^{\circ}-\tan\beta}{\tan60^{\circ}+\tan\beta}=1$

$\Rightarrow \dfrac{\tan(\alpha+\beta)-\tan\alpha}{\tan(\alpha+\beta)+\tan\alpha}+\dfrac{\tan(\alpha+\beta)-\tan\beta}{\tan(\alpha+\beta)+\tan\beta}=1,(*)$

Cái $(*)$ bạn tự chứng minh xem có đúng không ( dựa vào công thức $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot \tan\beta}$ )

  Còn cách nào nó ít dính đến mấy cái lượng giác này không bạn?

Giải phương trình:

$\sqrt{x^{2}+12}+5=\sqrt{x^{2}+5}+3x$

Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh:

$\sum \frac{a^{4}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

Cho $tan\alpha =\frac{1}{3}$. Tính $\frac{sin^{3}\alpha+cos\alpha }{3cos\alpha -sin\alpha }$

Cho phương trình: $x^{2}-x-3=0$ với $x_{1},x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình. Chứng minh $x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011}$ là số nguyên

Cho tam giác ABC(a,b,c) ngoại tiếp đường tròn (O;r) cho trước. Tìm min a+b+c

Cho tam giác ABC(a,b,c) nội tiếp đường tròn (O;R) cho trước. Tìm giá trị lớn nhất của P= abc

CM như sau :
Ta có :$x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{2} ; x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ 
Theo Viet thì $x_{1}.x_{2}=-3$ và $x_{1}+x_{2}=1$
Khai triển $x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011}=(x_{1}+x_{2})(x_{1}^{2010}+x_{2}^{2010})-x_{1}.x_{2}(x_{1}^{2009}+x_{2}^{2009})$ 
hay $S_{n+2}=S_{n+1}+3S_{n}$
Lại có $S_{0}=2 ,S_{1}=1$
CM bằng quy nạp ta đc $S_{n}$ $\in \mathbb{Z} ,\forall n \in N$

Bạn nói rõ đoạn sau được không. Mình không hiểu lắm. Có cách làm khác không bạn???

Giải và biện luận phương trình sau theo m: $x^{3}+5x^{2}+(5m+1)x + m^{2}=(x^{2}-x+1)^{2}$

Chia cả 2 vế cho $cos\alpha \neq 0$:

$A=\frac{sin^{3}\alpha+cos\alpha }{3cos\alpha -sin\alpha }=\frac{(\frac{sin\alpha}{cos\alpha})^3+1}{3-\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}=\frac{tan\alpha^3+1}{3-tan\alpha}=\frac{7}{18}$

KQ : $\boxed{A=\frac{7}{18}}$

P/s : sorry, mình làm nhầm mất T.T

Bạn ơi chia kiểu ji mà lại có $(\frac{sin\alpha }{cos\alpha })^{3}$ được, $sin^{3}\alpha :cos\alpha$ thôi mà???

$m^{2} + 5mx - x^{4} +3x^{3} + 2x^{2} +3x + 1 =0$ (1)

Coi đây là tam thức bậc 2 ẩn m , ta có :

 \Delta$$= 25x^{2}+4x^{4}-12x^{3}-8x^{2}-12x+4 = (2x^{2}-3x+2)^{2}$

Phương trình có 2 nghiệm : $m_{1}=x^{2} - 4 x -1 ; m_{2}=-x^{2} - x -1$ 

Ta có: $\Delta_m=4x^4-12x^3+17x^2-12x+4=(2x^2-3x+2)^2$
Các nghiệm của $(1)$ là $m_1=x^2-4x+1; m_2=-x^2-x-1$
Do vậy $(2) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m=x^2-4x+1}\\
{m=-x^2-x-1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x^2-4x+1-m=0   (3)}\\
{x^2+x+1+m=0    (4)}
\end{array}} \right.$
$\Delta'_1=4-1+m=m+3; \Delta_2=1-4-4m=-4m-3$
các nghiệm nếu có của phương trình $(3)$ là : $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
Các nghiệm nếu có của phương trình $(4)$ là : $x_{1.2}=\frac{-1\pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Để ý (*):$ (x^2-4x+1-m)+(x^2+x+1+m)=2x^2-3x+2=2(x-\frac{3}{4})^2+\frac{7}{8}>0, \forall x$ suy ra các phương trình$(3)$ và $(4)$ không có nghiệm chung
* Nếu $m<-3$:
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ vô nghiệm
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-3$:
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có nghiệm kép $x_1=x_2=2$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_3=1, x_4=-2$
Suy ra phương trình $(1)$ có nghiệm $x=1, x=\pm 2$
* Nếu $-3<m<-\frac{3}{4}$
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{3,4}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có $4$ nghiệm phân biệt
     $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}; x_{3,4}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-\frac{3}{4}$
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1= \frac{1}{2}; x_2=\frac{7}{2}$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ có một nghiệm kép $x_2=x_4=-\frac{1}{2}$
Suy ra phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt $x=\pm \frac{1}{2}; x=\frac{7}{2}$
* Nếu $m>-\frac{3}{4}$
  * $\Delta'_1<0:$ Phương trình $(3)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}= 2 \pm \sqrt{m+3}$
  * $\Delta_2: $ Phương trình $(4)$ vô nghiệm
Suy ra phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$
Tóm lại:
* Nếu $m<-3$: Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-3$: Phương trình $(1)$ có nghiệm $x=1, x=\pm 2$
* Nếu $-3<m<-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có bốn nghiệm phân biệt
       $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}; x_{3,4}=\frac{-1 \pm\sqrt{-4m-3}}{2}$
* Nếu $m=-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có ba nghiệm phân biệt $x=\pm \frac{1}{2}; x=\frac{7}{2}$
* Nếu $m>-\frac{3}{4}$: Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1,2}=2 \pm \sqrt{m+3}$

Bạn sửa lại phần gõ ở đầu đk không??? Mình suy mãi mà chẳng được bạn à

Giải bất phương trình: $\sqrt{2x+4}-2\sqrt{2-x}> \frac{12x-8}{\sqrt{9x^{2}+16}}$

Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2010}+\left | y+1 \right |=a & \\ \left | x \right |\sqrt{y^{2}+2y+2010}=\sqrt{2010-x^{2}}-a& \end{matrix}\right.$

Tìm m để hệ sau có tập nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài là 1 đơn vị:

$\left\{\begin{matrix} \frac{3x^{2}-2x-12}{x}\geq 3x+4 & \\ m(x-1)\geq m+6& \end{matrix}\right.$

Cho tam giác ABC có AB=10, AC=4, góc A bằng 60. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=6, trên tia AC lấy điểm E sao cho AE=x. Tìm x để BE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.

Tìm m để hệ sau có tập nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài là 1 đơn vị:

$\left\{\begin{matrix} \frac{3x^{2}-2x-12}{x}\geq 3x+4 & \\ m(x-1)\geq m+6& \end{matrix}\right.$

Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+2010}+\left | y+1 \right |=a & \\ \left | x \right |\sqrt{y^{2}+2y+2010}=\sqrt{2010-x^{2}}-a& \end{matrix}\right.$

Cho a,b,c >0 thỏa mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$
 

Gọi R,r lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác ABC, d là khoảng cách giữa trọng tâm G và tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó, chứng minh $d^{2}< R(R-2r)$

Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

$\left\{\begin{matrix} x+y=1 & \\ \left | x+my \right |=1& \end{matrix}\right.$

Tìm tất cả các nghiệm không nguyên của phương trình:

$x+\frac{96}{x}=\left [ x \right ] + \frac{96}{\left [ x \right ]}$. Với $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.

Cho $a,b,c\in \left [ 0;1 \right ].$. Chứng minh rằng: $\frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ba}\leq 2$