Chéo hóa:

Tính các giá trị riêng: 

$\begin{vmatrix} 1-\lambda &4 \\ 1& 4-\lambda \end{vmatrix}=\lambda^2-5\lambda=0\\ \Rightarrow \lambda=0, \lambda=5$

Với $\lambda=0$:  $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -4\\ 1 \end{bmatrix}$

Với $\lambda=5$:  $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}$

Ma trận làm chéo hóa:

$P=\begin{bmatrix} -4 &1 \\ 1& 1 \end{bmatrix}\Rightarrow P^{-1}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix} -1 &1 \\ 1& 4 \end{bmatrix}$

$D=P^{-1}AP=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 5 \end{bmatrix}\Rightarrow D^n=P^{-1}A^nP=\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 5^n \end{bmatrix}$

Suy ra:

$A^n=PD^nP^{-1}=\begin{bmatrix} -4 &1 \\ 1& 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 5^n \end{bmatrix}.\frac{1}{5}\begin{bmatrix} -1 &1 \\ 1& 4 \end{bmatrix}=5^{n-1}\begin{bmatrix} 1 &4 \\ 1& 4 \end{bmatrix}=5^{n-1}A$

P/s: Nếu để ý rằng: $A^2=5A$, ta có thể suy ngay ra được điều này.

Tính $\det(A)$

Khai triển Laplace:

$\begin{vmatrix} a & 0 & b & a \\ b & b & 0 & a \\ b & a & 0 & b \\ a & b & 0 & a \end{vmatrix}=b\begin{vmatrix} b &b &a \\ b& a& b\\ a& b &a \end{vmatrix}=b\left [ b(a^2-b^2)-b(ba-ab)+a(b^2-a^2) \right ]=-b(a+b)(a-b)^2$

Với các vô hướng $a$, $b$ và $\alpha \in A$, $\beta \in B$, ta có: $a\alpha+b\beta \notin A, \notin B$.

Do đó: $A \cup B$ không phải không gian con của $P$

$I=I^3-A^3=(I-A)(I^2+IA+A^2)\Rightarrow (I-A)^{-1}=I+A+A^2$

Đúng rồi, chỗ đó mình không để ý. Thanks Zayta nhé.

Bài của Zayta nhé.

Do r(A)=1 nên $A=span (R_1)$, có thể viết $a_{ij}=\alpha_j a_{i1}$.

$(A^2)_{ij}=\sum_{k-1}^{n}a_{ik}a_{kj}=\sum_{k-1}^{n}\alpha_k a_{i1} \alpha_j a_{k1}=\alpha_j a_{i1}\sum_{k-1}^{n}\alpha_k a_{k1}=a_{ij}\sum_{k-1}^{n} a_{kk}=trace(A).a_{ij}$

(đpcm)

Mình quên mất nếu $AB=0$ thì không có nghĩa là $A=0$ hoặc $B=0$

Góp một ý tưởng từ một bài có tính chất tương tự nha!

 

http://diendantoanho...atrix/?p=443306

Haha, chính là biến thể từ bài này mà ra. Mấu chốt ở chỗ tách và dùng Vandermonde

Bài toán tương tự xem ở đây nhé: http://diendantoanho...thức/?p=438761

Các đa tuyến tính này được đấy. Em thử tính kết quả cụ thể ra bằng bao nhiêu? Nếu cột toàn chứa $a$ thay thế một cột chứa $x^k$ nào đó $k:1 \rightarrow n)$ thì kết quả hơi phức tạp, nhưng cứ thử làm xem.

Tính

$\begin{vmatrix} x_1+a &x_2+a &... &x_n+a \\ x_1^2+a & x_2^2+a & ... &x_n^2+a \\ x_1^3+a &x_2^3+a &... &x_n^3+a \\ . & . & ... &. \\ x_1^n+a& x_2^n+a &... &x_n^n+a \end{vmatrix}$

với $a\in \mathbb{R}$

Bài 3: CMR: Nếu x, y, z là các số nguyên thì: $\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ x &y &z \\ x^2 &y^2 &z^2 \end{vmatrix}$ chia hết cho: $x-y$; $y-z$; $z-x$

Biến đổi cột với $x-y$ thử nhé. Lấy cột thứ nhất trừ đi cột thứ 2:

$\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ x &y &z \\ x^2 &y^2 &z^2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0.(x-y) &1 &1 \\ x-y &y &z \\ (x-y)(x+y) &y^2 &z^2 \end{vmatrix}=(x-y)\begin{vmatrix} 0 &1 &1 \\ 1 &y &z \\ x+y &y^2 &z^2 \end{vmatrix}$

Với $y-x$ và $z-x$ thì làm tương tự.

Tích phân Gauss nổi tiếng đây mà. Laplace chứng minh nó bằng $\sqrt{\pi}$. Còn technique để tính thì như thế này:

$I=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$

Bình phương 2 vế và đổi biến:

$I^2=\left ( \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx \right )^2=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^2+y^2)}dxdy$

$dxdy$ là vi phân diện tích trong mặt phẳng $Oxy$, miền lấy tích phân là toàn bộ mặt phẳng này nên ta chuyển sang tọa độ cực:

$\left\{\begin{matrix} x=r \cos\varphi\\ y=r\sin\varphi \end{matrix}\right.$

Trong đó:

$\left\{\begin{matrix} \varphi: 0 \rightarrow 2\pi\\ r: 0 \rightarrow +\infty \end{matrix}\right.$

$I^2=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{2\pi}e^{-r^2}rdrd\varphi=\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}rdr\int_{0}^{2\pi}d\varphi=\frac{1}{2}.2\pi=\pi$

Do đó: $I=\sqrt{\pi}$

Đáp án C. Nửa đường tròn nằm trong góc phần tư thứ nhất, tâm $(2,0)$, bán kính $r=1$ trong mặt phẳng phức nhé.

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ thuộc lớp $\mathbb{C}^2$ sao cho:

1/ $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=0$

2/ $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$

Cho số thực dương $u_0$ và $\left \{ a_n \right \}$ là dãy các số thực dương. Đặt:

$u_{n+1}=u_n+\frac{a_n}{u_n}$

Chứng minh dãy $\left \{ u_n \right \}$ hội tụ khi và chỉ khi chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ hội tụ.

Tìm tất cả các tự đồng cấu $\varphi$ từ không gian $\mathbb{R}^n$ vào chính nó thỏa mãn: $\varphi ^2=id$

Giả sử $A$ là ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn: Với mọi $X$ cũng là ma trận vuông cấp $n$, ta có $(XA)^2=0$. Chứng minh: $A=0$

Anh đã kiểm tra không phải dạng vi phân nhị thức. Nhân có thời gian thử đặt $x=sinht$ rồi biến đổi xem sao.

Cái này mình phải in ra để nghiên cứu thôi. Đọc lướt thì mình thật sự không thẻ hiểu nổi, mà lại bằng tiếng anh nữa. Mà chỉ thấy cách giải ma trận bậc 2 thôi bạn ạ.

Mấy bài phương trình ma trận của bạn lấy ở đâu thế? Mình chưa gặp bao giờ.

Đây là tích phân eliptic rồi thì phải

a, Chứng minh theo quy nạp:

$k=1$: Từ định nghĩa: $AB-BA=B\Rightarrow AB=B(A+I_n)$

Giả sử đẳng thức đúng với $k>1: AB^k=B^k(A+kI_n)$

Ta có: $AB^{k+1}=AB^kB=B^k(A+kI_n)B=B^k(AB+kI_nB)=B^k(BA+B+kB)=B^{k+1}(A+(k+1)I_n)$

c, Có: $trace(B)=trace(AB-BA)=trace(AB)-trace(BA)=0$

Do ma trận B có vết bằng 0 nên nó lũy linh.

b, Do B lũy linh nên hiển nhiên $detB=0$.

P/s: Các bạn thử chứng minh mệnh đề này nhé: Một ma trận lũy linh nếu và chỉ nếu vết của nó bằng 0.

(Bài toán tổng quát hơn: $A$ lũy linh nếu và chỉ nếu $trace(A^k)=0$ với $k>0$)

Giờ mình cũng đang tìm hiểu về mấy cái này. Mấy cái phương trình ma trận đa thức đọc một tí đã thấy loạn lên @.@ Mà bạn giải ma trận trên truờng số thực hay trường số phức vậy?

Vừa xem cái này. Bạn có thời gian thì đọc nhé. Mình đọc lướt một tí thấy có vẻ đúng với phần này. Hi vọng có thể giúp bạn được.

 1207.6027.pdf   66.91K   775 Số lần tải

2) $\begin{vmatrix} a+b+c & a+b & a &a \\ a+b & a+b+c & a & a\\ a & a & a+b+c & a+b\\ a & a & a+b & a+b+c \end{vmatrix}=c^{2}(2b+c)(4a+2b+c)$

Nếu bài này chia thành ma trận khối để ăn nhanh thì sao nhỉ?

$det\begin{bmatrix} A &B \\ C & D \end{bmatrix}=detA det(D-CA^{-1}B)$

Với 

$A=D=\begin{bmatrix} a+b+c &a+b \\ a+b& a+b+c \end{bmatrix}$

$B=C=\begin{bmatrix} a &a \\ a& a \end{bmatrix}$

$detA=(a+b+c)^2-(a+b)^2=c^2+2c(a+b)$

Giả sử: $A=\begin{bmatrix} p &q \\ r& s \end{bmatrix}\Rightarrow A^{-1}=\frac{1}{detA}\begin{bmatrix} s &-q \\ -r& p \end{bmatrix}$

Ở đây:

$A^{-1}=\frac{1}{c^2+2c(a+b)}\begin{bmatrix} a+b+c &-(a+b) \\ -(a+b)& a+b+c \end{bmatrix}$

$CA^{-1}B=\begin{bmatrix} a &a \\ a& a \end{bmatrix}.\frac{1}{c^2+2c(a+b)}\begin{bmatrix} a+b+c &-(a+b) \\ -(a+b)& a+b+c \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} a &a \\ a& a \end{bmatrix}=\frac{a^2}{c^2+2c(a+b)}\begin{bmatrix} c &c \\ c& c \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 1& 1 \end{bmatrix}=\frac{2a^2}{c+2(a+b)}\begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}$

$D-CA^{-1}B=\frac{1}{c+2(a+b)}\begin{bmatrix} 3ac+3bc+4ab+2b^2+c^2 & ac+bc+4ab+2b^2\\ ac+bc+4ab+2b^2 & 3ac+3bc+4ab+2b^2+c^2 \end{bmatrix}$

$det(D-CA^{-1}B)=\frac{(4ac+4bc+8ab+4b^2+c^2)(2ac+2bc+c^2)}{[c+2(a+b)]^2}$

$detA.det(D-CA^{-1}B)=(2ac+2bc+c^2)\frac{(4ac+4bc+8ab+4b^2+c^2)(2ac+2bc+c^2)}{[c+2(a+b)]^2}=c^2[4a(2b+c)+2b(2b+c)+c(2b+c)]=c^2(2b+c)(4a+2b+c)$

anh ơi còn câu 1 sao chưa giải v??? anh giải giúp em lun với

Câu 1 đây nhé:

$\begin{vmatrix} n^2 & (n+1)^2 &(n+2)^2 \\ (n+1)^2 & (n+2)^2 & (n+3)^2\\ (n+2)^2 & (n+3)^2 & (n+4)^2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} n^2 & (n+1)^2 &(n+2)^2 \\ 2n+1 & 2n+3 & 2n+5\\ 2n+3& 2n+5 & 2n+7 \end{vmatrix}$

$=\begin{vmatrix} n^2 & 2n+1 &2n+3 \\ 2n+1 & 2 & 2\\ 2n+3& 2 & 2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -n^2-n & 1 &3 \\ 2n+1 & 2 & 2\\ 2& 0 & 0 \end{vmatrix}=(-1)^{3+1}.2.\begin{vmatrix} 1 &3 \\ 2& 2 \end{vmatrix}=2(1.2-2.3)=-8$