Bài 2: ĐK: $\left | x \right |\leq 1$

Đặt $x=cost,t\epsilon \left [ 0;\pi \right ]$

Phương trình trở thành

$2cos^{2}t+\sqrt{1-cost}+2cost\sqrt{1-cos^{2}t}-1=0$

$\Leftrightarrow cos2t+sin2t+\sqrt{2}sin\frac{t}{2}=0$

$\Leftrightarrow sin(2t+\frac{\pi }{4})=sin(-\frac{t}{2})$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2t+\frac{\pi }{4}=-\frac{t}{2}+k2\pi \\ 2t+\frac{\pi }{4}=\pi +\frac{t}{2}+k2\pi \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t=\frac{\pi }{2}+\frac{k4\pi }{3}\\ t=-\frac{\pi }{10}+\frac{k4\pi }{5} \end{matrix}$

So với ĐK suy ra $t=\frac{\pi }{2},t=\frac{7\pi }{10}$

Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm $x=0,x=cos\frac{7\pi }{10}$

Thiếu nghiệm bạn rồi bạn. Xem lại đi

Minh xem rui, thiếu nghiệm nào vậy bạn???

$x=-2$ nữa

Vậy bài mình sai chỗ nào vậy bạn???

Giải phương trình: $(4x-1)(\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5})=4x+8$ 

                                                     (Đề thi chọn HSG trường mình)

ĐK: $x\geqslant -3$

pt$\Leftrightarrow \sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5}=\frac{4x+8}{4x-1}$

Đặt $f(x)=\sqrt{x+3}+\sqrt[3]{3x+5};g(x)=\frac{4x+8}{4x-1}$

$\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{(3x+5)^{2}}}> 0;g'(x)=\frac{-36}{(4x-1)^{2}}< 0$

mà $f(1)=g(1)=4$

Vậy pt có nghiệm duy nhất $x=1$

Bình phương 2 vế phương trình thứ nhất được: $((a^2-b^2)^2+4a^2b^2)a^2b^2=100$

Tìm $u=a^2-b^2,v=a^2b^2$,suy ra $a,b$,suy ra $x$ 

Vậy thì ngay lúc đầu ta bình phương hai vế luôn đi!!!

Đặt $a=\sqrt{x-1},b=\sqrt{x-4}$

Suy ra hệ $\left\{\begin{matrix} (a^2+b^2)ab=10\\a^2-b^2=3 \end{matrix}\right.$

Rồi làm sao nữa hả bạn???

Lỗi đánh máy bạn ơi

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \left | y \right |=\left | x-3 \right |\\(2\sqrt{z}-2+y)y=1+4y \\ x^{2}+z-4x=0 \end{matrix}\right.$

Cho hàm số $f(x)=(x^{3}-3x^{2}+2)\sqrt{x^{2}-2x+3}$. Chứng minh rằng với mọi hệ số thực m, hệ phương trình sau luôn có nghiệm thực:

$\left\{\begin{matrix} f^{(2008)}(x)+f^{(2008)}(y)=0 & \\x^{2}-my=4-m & \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\sqrt{2-y^2}}=4
 &  & \\ 2^y+2^{\sqrt{2-x^2}}=4
 &  &
\end{matrix}\right.$

ĐK: $|x|\leq \sqrt{2},|y|\leq \sqrt{2}$

$\Rightarrow 2^x-2^{\sqrt{2-x^2}}=2^y+2^{\sqrt{2-y^2}}$       (*)

Xét hàm số $f(t)=2^t-2^{\sqrt{2-t^2}}$         với $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

Mà $f'(t)=2^t.\ln2+2^{\sqrt{2-t^2}}.\ln2.\frac{t}{\sqrt{2-t^2}}>0$ với mọi $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến

 Do vậy$(*)\Leftrightarrow x=y$

Thay $x=y$ vào pt (1) ta được: $ 0=2^x-2^{\sqrt{2-x^2}}-4=g(x)$

Xét $$g'(x)=2^x.\ln2+2^{\sqrt{2-x^2}}.\ln2.\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}>0$$

Suy ra $g(x)$ đồng biến. Mà $g(\sqrt{2})=2^{\sqrt{2}}+1<2^2+1=4$ nên hệ vô nghiệm

Bạn bị nhầm rùi, hệ có nghiệm x=y=1, và chưa chắc $f'(t)>0,\forall t\epsilon \left [ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right ]$

Theo mình thì giải như sau:

+ Xét $x\epsilon \left [ -\sqrt{2};0 \right ]$, ta có:

$2^{x}\leqslant 1$

$2^{\sqrt{2-y^{2}}}\leqslant 2^{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow 2^{x}+2^{\sqrt{2-y^{2}}}\leqslant 1+2^{\sqrt{2}}<4$

Suy ra hệ vô nghiệm, tương tự ta có hệ vô nghiệm khi $y\epsilon \left [ -\sqrt{2};0 \right ]$

+ Xét $x,y\epsilon (0;\sqrt{2}]$

$\Rightarrow 2^{x}-2^{\sqrt{2-x^{2}}}=2^{y}-2^{\sqrt{2-y^{2}}}$

Xét hàm số $f(t)=2^{t}-2^{\sqrt{2-t^{2}}},t\epsilon (0;\sqrt{2}]$$f(t)=2^{t}-2^{\sqrt{2-t^{2}}},t\epsilon (0;\sqrt{2}]\Rightarrow f'(t)=2^{t}.ln2+2^{\sqrt{2-t^{2}}}.\frac{t}{\sqrt{2-t^{2}}}ln2>0$

$\Rightarrow x=y$

$\Rightarrow 2^{x}+2^{\sqrt{2-x^{2}}}=4$

xét hàm số $g(x)=2^{x}+2^{\sqrt{2-x^{2}}},x\epsilon (0;\sqrt{2}]$

$\Rightarrow maxg(x)=g(1)=4$

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất $x=y=1$

ĐK: $x\ge 1;y\ge 0$.

Từ PT thứ hai ta có $\sqrt y=x-1$.

Đặt $t=\sqrt{x-1}$. ĐK $t\ge 0$.

Ta thay vào PT đầu tiên được $t-t^2=8-(t^2+1)^2\Leftrightarrow t^4+t^2+t-7=0$

Rùi làm sao nữa hả bạn???

$(1)\Leftrightarrow \frac{2x-2y}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}}=x-y\Leftrightarrow (x-y)(\frac{2}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}}-1)=0$

Dễ thấy $x=y=0$ không là nghiệm của hệ

$\Rightarrow \sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}> 2\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}}< 1\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}}-1< 0$

$\Rightarrow x=y$

Đến đây thế vào $(2)$ là được

Tại sao $\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}>2$ vậy bạn???

ĐK:$x\geq \frac{-3}{2}$

Bấm máy tính nhẩm ra nghiệm $x=3$

Ta biến đổi như sau

$<=>\frac{1}{4}x\sqrt{2x+3}+\frac{5}{4}\sqrt{2x+3}=x^{2}+x-6$

$<=>\frac{1}{4}x(\sqrt{2x+3}-3)+\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}(\sqrt{2x+3}-3)+\frac{15}{4}=x^{2}+x-6$

$<=>\frac{1}{4}x\left ( \frac{2x-6}{\sqrt{2x+3}+3} \right )+\frac{5}{4}\left ( \frac{2x-6}{\sqrt{2x+3}+3} \right )-x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{39}{4}=0$

$<=>\left ( 2x-6 \right )\left ( \frac{1}{4}.\frac{x}{\sqrt{2x+3}+3}+\frac{5}{4}.\frac{1}{\sqrt{2x+3}+3} \right )-(x-3)(x+\frac{13}{4})=0$

$<=>\left ( x-3 \right )\left ( \frac{x}{2\sqrt{2x+3}+6}+\frac{5}{2\sqrt{2x+3}+6}-x-\frac{13}{4} \right )=0$

$<=>x=3 vs g(x)=0$

Với $x\geq \frac{-3}{2} thì g(x) luôn < 0$ 

Kết luận.pt có nghiệm duy nhất $x=3$

Giải thích một chút ở chỗ g(x)=$\left ( \frac{x}{2\sqrt{2x+3}+6}+\frac{5}{2\sqrt{2x+3}+6}-x-\frac{13}{4} \right )$<0 đi bạn!!!

Cái này dùng mẹo thôi bài thi làm vậy là được.

Bạn dùng chế độ SHIFT+SOLVE bấm thử pt xem nó có nghiệm ko?

Kết quả ra vô nghiệm ,sau đó bạn bấm thử tất cả các giá trị $x\geq \frac{-3}{2}$ thì thấy đều <0

Vậy là đủ để cm nó vô nghiệm.

Bạn giải thích dùm mình cái $\frac{log_{2}(x+1)^{2}-log_{3}(x+1)^{3}}{x^{2}-3x-4}>0\Leftrightarrow \frac{ln(x+1)}{x-4}>0$?

Làm sao c/m được pt vô nghiệm vậy bạn???

Nghiệm x=0 không thoả mãn bạn ơi!

Bài giải ở đây  DA-TOAN-A2012-CT.pdf   393.37K   57 Số lần tải

$x=y,x+\sqrt{x^2+1}=3^x\Leftrightarrow \sqrt{x^2+1}-x=3^{-x}$

Suy ra $3^x-3^{-x}-2x=0$

Xét $f(x)=3^x-3^{-x}-2x$ đồng biến nên PT có nghiệm duy nhất.Dễ thấy $x=0$ thỏa mãn.

Xét $f(x)=3^x-3^{-x}-2x$, làm sao suy ra $f'(x)>0$ vậy bạn ơi???

Nếu x>y  (1)

$\Rightarrow x+\sqrt{x^{2}+1}> y+\sqrt{y^{2}+1}$

$\Leftrightarrow 3^{y}>3^{x}$

$\Leftrightarrow y>x$ trái với (1)

Nếu y>x tương tự như trên cũng loại

Vậy x=y

Đến đây thay vào dễ dàng rồi.

Bạn ơi $x>y$ không suy ra được $\sqrt{x^{2}+1}>\sqrt{y^{2}+1}$!!!