$A=\sqrt{\frac{(x^{2}-3)^{2}+12x^{2}}{x^{2}}}+\sqrt{(x+2)^{2}-8x}$

$\sqrt{\frac{x^4+6x^2+9}{x^2}}+\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{x^2+6+\frac{9}{x^2}}=\sqrt{(x-2)^2}+\sqrt{(x+\frac{3}{x})^2}=\left | x-2 \right |+x+\frac{3}{x}$ (chú ý đk)

$\rightarrow A \in Z \leftrightarrow \frac{3}{x} \in Z.$

Ok r nhé!

Giả sử $a\geq b\geq c\rightarrow \frac{1}{2bc+1}\geq \frac{1}{2ac+1}\geq \frac{1}{2ab+1}$

Áp dụng BĐT Chebyshev ta có:

$3\sum \frac{a^2}{2bc+1}\geq (a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{2bc+1}+\frac{1}{2ac+1}+\frac{1}{2ab+1})\geq (a^2+b^2+c^2)(\frac{9}{2bc+2ac+2ab+3})\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)+3}=\frac{9}{5}$

$\rightarrow  ĐPCM$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\fbox{1}$.

Cho $a,b,c>0$ và $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}=3$

Chứng minh:

$\frac{27a^2}{c(c^2+9a^2)}+\frac{b^2}{a(4a^2+b^2)}+\frac{8c^2}{b(9b^2+4c^2)}\geq \frac{3}{2}$

$\fbox{2}$

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=6$

chứng minh: $8^x+8^y+8^z \geq 4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}$

Chỗ này sửa là ${\color{Red} \frac{1}{6}}$ nhé bạn

nhầm. dấu < chứ ko phải $\leq $ 

$\fbox{1}$ Cho $x,y,z>0$. chứng minh:

$P=\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}$

$\fbox{2}$ $x,y,z>0,xyz=xy+yz+xz$

chứng minh: $\frac{1}{x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+z}+\frac{1}{3x+y+2z}< \frac{3}{16}$

$\fbox{3}$ $x,y,z>0$, $x^2+y^2+z^2=1$.

cm: $\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{x^2+z^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$cot^2x+2tanx-1=\frac{1}{cos^2x}$

1. Cho:

$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 & \\ ab\geq 12, bc\geq 8 & \end{matrix}\right.$

Chứng minh: $A=a+b+c+2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})+\frac{8}{abc}\geq \frac{121}{2}$

2. cho $a,b,c>0$ và $a=max(a,b,c)$. Tìm min:

$B=\frac{a}{b}+2\sqrt{1+\frac{b}{c}}+3\sqrt[3]{1+\frac{c}{a}}$

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $ab+bc+ca=3$

Chứng minh rằng: $\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3} \geq \frac{3}{4}$

Cho các số thực $a,b,c>0$ thoả mản $ab+bc+ca=1$.

CMR:

$\frac{a}{(3b+5c)^3}+\frac{b}{(3c+5a)^3}+\frac{c}{(3a+5b)^3}\geq \frac{9}{512}$