Đặt z = (x, y)
x = z * i
y = z * j
k = (i, j)
Giả sử k > 1 => x, y có ước chung z * k > z => vô lí vì z là ước chung lớn nhất => (i, j) = 1 => $(i^2, j^2) = 1$
$(x^2, y^2) = (z^2*i^2, z^2*j^2)$
$=z^2 * (i^2, j^2) = z^2 = (x, y)^2$ (đpcm)

mình nhầm (a,bc)=(a,(a,b)c)

Gọi d = (a, b)
Đặt b = d * e
$\Rightarrow $ (a, e) = 1 (1)
(a, bc) = (a, (d * c) * e) (2)
Vì (1) $\Rightarrow$ (2) = (a, d * c) = (a, (a, b) * c) (đpcm)

Chứng minh (a,bc)=(a,(a,b),c) với (a,bc) là ước chung lớn nhất của a và bc.

Đề có sai không nhỉ
Thử a = 2, b = 4, c = 3 là thấy sai rồi

Gọi d = (a, b)
Đặt b = d * e
$\Rightarrow $ (a, e) = 1 (1)
(a, bc) = (a, (d * c) * e) (2)
Vì (1) $\Rightarrow$ (2) = (a, d * c) = (a, (a, b) * c) (đpcm)

Bạn giải thích cho mình chỗ "gọi d=(a,b). Đặt b=d*e thì (a,e)=1" được không bạn?

Bài giải trên mình làm sai rồi. Sai ngay chỗ bạn thắc mắc (a, e) = 1
Giải lại như sau
Đặt d = (a, b)
a = d * e
b = d * f
g = (e, f)
Nếu g > 1 suy ra a, b có ước chung d * g > d, => vô lí vì d là ước chung lớn nhất
=> (e, f) = 1
(a, b * c) = (d * e, d * f * c) = d * (e, f * c) = d * (e, c) = (d * e, d * c) = (a, (a, b) * c) (đpcm)

(e, f) = 1
$\Rightarrow$ (e, f * c) = (e, c)
$\Rightarrow$ d * (e, f * c) = d * (e, c)

h = (e, c)
e = i * h
c = j * h
Từ ch minh trên (bài #6) có (i, j) = 1 (1)
có (e, f) = 1
$\Rightarrow$ (i, f) = 1 (2)
(1), (2) $\Rightarrow$ (i, j * f) = 1
$\Rightarrow$ (h * i, h * j * f) = h
$\Rightarrow$ (e, c * f) = h = (e, c) (đpcm)
Ps: không biết có cách cm nào ngắn gọn hơn nữa không các bạn?

a)$I, K$ cách đều $AB, AC$ nên $I, K$ thuộc phân giác $\widehat{BAC}$
$\Rightarrow A, I, K$ thẳng hàng
b)Đường tròn $(I)$ tiếp xúc $AB, AC, BC$ tại $M, N, P$
$S_{ABC} = S_{IAB} + S_{IAC} + S_{IBC}$
$= \frac12(AB.IM + AC.IN + BC.IP)$
$= \frac12.r.(c + b + a)$ (1)
$S_{ABC} = S_{KAB} + S_{KAC} - S_{KBC}$
$= \frac12(KD.AB + KE.AC - KF.BC)$
$= \frac12.R(c + b - a)$ (2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế ta được
$S_{ABC}^2 = \frac14.r.R.((c + b)^2 - a^2)$
$=\frac14.r.R.(c^2 + b^2 + 2bc - a^2)$
$=\frac12.b.c.r.R = S_{ABC}.r.R$
$\Leftrightarrow S_{ABC} = r.R$(đpcm)

Cho các số thực $-1\leqslant a_1,a_2,...,a_n\leqslant 1$
Tìm GTNN của $P=a_1(a_1+a_2+...+a_n)+a_2(a_2+a_3+...+a_n)+...+a_{n-1}(a_{n-1}+a_n)+a_{n}.a_n$

P = $\sum^n_{i = 1}a_i^2 + \sum_{i \neq j}a_ia_j$
$2P = 2\sum^n_{i = 1}a_i^2 + 2\sum_{i \neq j}a_ia_j$
$= \sum^n_{i = 1}a_i^2 + (\sum_{i = 1}^na_i)^2 \geqslant 0 + 0 = 0$
$\Rightarrow P \geqslant 0$
Dấu = xảy ra khi $a_i = 0
\forall i$

$x \leqslant 3 $