$(\sum \frac{x}{\sqrt{y}})^2=\sum \frac{x^2}{y}+2\sum \frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}$

áp dụng co-si

$\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\geq 4x$

Tới đây mấy cái kia tương tự cộng lại là ra

Giả sử $x\geq y\geq z\geq t\geq 1$

Khi đó thì ta có $2=\frac{5}{xyz}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{yzt}+\frac{10}{xyzt}\leq \frac{30}{t^3}\Rightarrow t^3\leq 15$

Do đó t=1 hoặc t=2

*Với t=1

Ta có $5(x+y+z)+15=2xyz$

$\Rightarrow 2=\frac{5}{xy}+\frac{5}{yz}+\frac{5}{zx}+\frac{15}{xyz}\leq \frac{30}{z^2}\Rightarrow z^2\leq 15$

Do đó z=1,z=2 hoặc z=3

Tới đây thế vào rồi đưa về dạng tích thôi

*Với t=2

Ta có $5(x+y+z)+20=4xyz$

$\Rightarrow 4=\frac{5}{xy}+\frac{5}{yz}+\frac{5}{zx}+\frac{20}{xyz}\leq \frac{35}{z^2}\Rightarrow z^2\leq \frac{35}{4}< 9$

Do đó z=2(do $z\geq t=2$

Tới đây cũng thế vào ồi đưa về tích thôi

Tìm a,b nguyên dương thỏa mãn 

1)$ab(a+b)$ không chia hết cho $7$

2)$(a+b)^7-a^7-b^7$ chia hết cho $7^7$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} z^2(x+y)+y+z=2(z^2+1)\\ x^2(y+z)+z+x=2(x^2+1) \\y^2(z+x)+x+y=2(y^2+1) \end{matrix}\right.$

1,

$P=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-4}}{y}$

Ta có $x=(x-1)+1\geq 2\sqrt{x-1}\Rightarrow \frac{\sqrt{x-1}}{x}\leq \frac{1}{2}$

         $y=(y-4)+4\geq 4\sqrt{y-4}\Rightarrow \frac{\sqrt{y-4}}{y}\leq \frac{1}{4}$

Do đó $P\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

2,

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ với mọi a,b dương

$\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}\geq 4$

Vi A,I,O,B cùng thộc đường tròn đường kính OM nên AIOB là tứ giác nội tiếp

Do đó $\widehat{OIB}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$

do đó $\Delta OIB\sim \Delta OBK(g-g))$

Tới đây suy ra $OI.OK=OB^2=OD^2$

Phần còn lại thì bạn làm thôi

Đặt $a=\sqrt{2x+\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}};b=\sqrt[3]{2014-\frac{2013x-1}{\sqrt{2-x^2}}}$;$c=\sqrt{x+2013};d=\sqrt[3]{x+1}$

Do đó ta có $a-b=c-d$

                   $a^2+b^3=c^2+d^3$

$\Rightarrow (a-c)(a+c)+(b-d)(b^2+bd+d^2)=0$

$\Rightarrow (b-d)(a+c+b^2+bd+d^2)$

Do đó $b=d$

Tới đây thì bạn làm được rồi

Góp mấy bài toán:       
Bài 1: Cho các số thực dương $x,y,z$ và thỏa mãn rằng: $x(x+y+z)=3yz$.Chứng minh rằng:

$(x+y)^{3}+(x+z)^{3}+3(x+y)(x+z)(y+z) \leq 5(z+y)^{3}$

 

 

đây là đề thi đại học khối A năm 2009

http://diendantoanho...số-học-của-vmf/

c xem ở đây thử

hình như đề thiếu phải có điều kiện $\left | mq-np \right |=1$ nữa thì phải

bạn tách ra như sau $\left\{\begin{matrix} (x^2+3x)(3x-y)=1\\(x^2+3x)+2(3x-y)=3 \end{matrix}\right.$

Tới đó thì đặt ẩn thôi

Giải phương trình $x^3-9x^2+9x-2=0$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^3-y^3+x-4y-2=0\\\sqrt{x+2}=y+1 \end{matrix}\right.$

chứng minh rằng $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}$    $\forall a,b,c> 0$

ta cần chứng minh $apq+brq+crp\leq 0\Leftrightarrow -r(bq+cp)-apq\geq 0$

$\Leftrightarrow (p+q)(bq+cp)-apq\geq 0$

$\Leftrightarrow bq^2+cp^2+(b+c-a)pq\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{b}\left | q \right |-\sqrt{c}\left | p \right |)^2+2\sqrt{bc}\left | pq \right |+(b+c-a)pq\geq 0$

Mà theo giả thiết $a^2+b^2+c^2\leq 2ab+2ac+2bc$

$\Rightarrow 4bc\geq (b+c-a)^2\Leftrightarrow 2\sqrt{bc}\geq \left | b+c-a \right |$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{bc}\left | pq \right |\geq \left | b+c-a \right |\left | pq \right |\geq -(b+c-a)pq$

Do đó có điều cần chứng minh

Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không cắt (O;R).E là hình chiếu của O trên d,Trên d lấy M bất kì,từ M kẻ tiếp tuyến MA,MB với (O;R).C,D lần lượt là hình chiếu của E trên MA,MB.Gọi F là giao điểm CD với OE.Chứng minh F cố định
 

Lời Giải: 

 

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng: $qr(a+c-b)\geq 2\sqrt{ac}qr$ $\Leftrightarrow (a+c-b) \geq 2\sqrt{ac}$

 

 

qr đâu có không âm mà chia được

Lời Giải: 

 

 

thì: $(a+c-b)^{2}-4ac\leq 0\Leftrightarrow \Leftrightarrow (a+c-b) \geq 2\sqrt{ac}$

 

Bất đẳng thức trên đâu phải luôn đúng đâu

1,

b,Đề bài =>$\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}=1$

bài bắt chứng minh $\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}{\color{Red} =}1$ mà bạn

Tìm $x,y$ nguyên dương thỏa mãn phương trình $3^x-2^y=1$

Bài 1:

1.Cho hai số x,y thỏa mãn $2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4$.Xác định $x,y$ để $xy$ đạt giá trị nhỏ nhất

2.Tìm tất cả các giá tị của tham số m sao cho phương trình sau có đúng 3 nghiệm

$(x^2-2mx-4m^2-4)(x^2-4x-2m^3-2m)=0$

Bài 2:Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=1

1.Giả sử a,b,c khác 0 và tổng nghịch đảo  của chúng bằng 0

   a)Tính tổng bình phương của chúng

   b)Chứng minh $\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}=1$

2.Chứng mihn rằng $a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$

Bài 3:Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không cắt (O;R).Gọi E là hình chiếu của O trên d.Lấy một điểm $M\in d$(khác E),từ M kẻ tiếp tuyến MA,MB với (O;R)

1.AB cắt OE tại H .Chứng minh H không phụ thuộc vào vị trí của M trên d

2.Gọi C,D lầ lượt là hình chiếu của E trên MA,MB.CD cắt OE tại F.Chứng minh F cố định

Bài 4:Cho tam giác $ABC(AB< AC)$ và các tam giác cân BAD,CAE(BA=BD,CA=CE) soa cho D nằm khác phía với C đối với AB,E nằm khác phía đối với B đối với AC và $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.Gọi M là trung điểm của BC.Hãy so sánh MD với ME