Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=3 & & \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=xy+yz+zx& & \end{matrix}\right.$

Điều kiện xác định:$x,y,z\geq 0$.Đặt $\sqrt{x}=a;\sqrt{y}=b;\sqrt{z}=c$ (với $a,b,c>0$) từ đó ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix}a^2+b^2+c^2=3 & & \\ a+b+c=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 & & \end{matrix}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức bunhia cốp xki có:

$(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})>=(a+b+c)^2$

Ta chứng minh:$\sum \frac{1}{a^2}\geq \sum a$ với $a^2+b^2+c^2=3$

Áp dụng cô si 3 số có:

$\frac{1}{a^2}+a+a\geq 3$

Tương tự có:$\sum \frac{1}{a^2}\geq 9-2(\sum a)$  (1)

Ta chứng minh được:

$9-2(\sum a)\geq \sum a<=>3\geq \sum a$ (2)

hay $\sum a^2\geq \sum a$

Ta có:$3(\sum a^2)\geq (\sum a)^2<=>3^2\geq (\sum a)^2<=>3\geq \sum a$ (3)

Từ (1)(2)(3) =>$\sum \frac{1}{a^2}\geq \sum a$

Từ đó có:$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a+b+c$ 

mà $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=a+b+c$ => $a=b=c$ hay $x=y=z=1$ (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy $x=y=z=1$

cho các số dương a,b,c thay đổi thỏa mãn a+b+c=3 . tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$S=\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{8(a+b-3\sqrt{c^2+3})}{9c}$

Ta thay giả thiết vào có:

$S=\frac{(a+3)^2}{a^2-2a+3}+\frac{(b+3)^2}{b^2-2b+3}+\frac{8(a+b-3\sqrt{c^2+3})}{9c}$

Theo phương pháp UCT có:

$\frac{(a+3)^2}{a^2-2a+3}+\frac{(b+3)^2}{b^2-2a+3}\leq \frac{1}{3}\left [ 4(a+b)+8 \right ]$

Từ đó có:$S\leq \frac{20}{3}-\frac{4c}{3}+\frac{8}{3c}-\frac{8}{9}-\frac{8\sqrt{c^2+3}}{3c}$

Áp dụng bất đẳng thức bunhiakovski có:

$(c^2+3)(1+3)\geq (c+3)^2$

=>$\sqrt{c^2+3}\geq \frac{c+3}{2}$

Từ đó có:$S\leq \frac{52}{9}-\frac{4c}{3}+\frac{8}{3c}-\frac{4(c+3)}{3c}=\frac{40}{9}-(\frac{4c}{3}+\frac{4}{3c})\leq \frac{40}{9}-\frac{8}{3}=\frac{16}{9}$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c=1$

_Bài toán được biến đổi từ bài toán thi USA MO 2003.Mình xin phát biểu bài toán dạng khác

Cho $a,b,c>0$.Tìm max $\sum \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}$

Hướng làm dùng chuẩn hóa $a+b+c=3$ như đề bài toán đã cho nhé rồi dùng UCT!

Cho a, b thoả: $\left\{\begin{matrix} a^{3}-3ab^{2}=19 \\ b^{3}-3ba^{2}=98 \end{matrix}\right.$

Tính $M=(a^{2}+b^{2})^{3}$

Bình phương hệ ta có hệ mới là

=>$\left\{\begin{matrix}a^6-6a^4b^2+9a^2b^4=19^2 & & \\ b^6-6a^2b^4+9a^4b^2=98^2 & & \end{matrix}\right.$

Từ đó cộng hai phương trình có:$a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+b^6=19^2+98^2$

hay $(a^2+b^2)^3=19^2+98^2$

1/ $PT\Leftrightarrow (8x\sqrt{x+4})^2=(17x-1)^2\Leftrightarrow 64x^3-33x^2+34x-1=0$

Đây là PT bậc 3, dùng cacnado là xong

Có cần dùng cardano không bạn.Kết hợp với điều kiện $x\geq \frac{1}{17}$ là sẽ chứng minh được phương trình $64x^3-33x^2+34x-1=0$ vô nghiệm

Chứng minh:PT<=>$(17x-1)(\frac{64}{17}x^2-\frac{497}{289}x+\frac{9329}{4913})+\frac{4416}{4913}=0$ 

Ta thấy $17x-1\geq 0;\frac{64}{17}x^2-\frac{497}{289}x+\frac{9329}{4913}>0 \forall x$ nên phương trình vô nghiệm

1.Giải phương trình:$\frac{1}{x}+8\sqrt{x+4}=17$

2.Giai phương trình:$4x^3+45=24x^2+\sqrt{-x^2+4x-3}+26$

Giải phương trình:$\frac{1}{1+\sqrt{2}.sinx}+\frac{1}{1+\sqrt{2}.cosx}=(\sqrt{2})^{x+1};x\in (-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4})$ 

Chứng minh:$\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{... +\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4}}}}}}}$ < 3

Đặt $\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{...+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4}}}}}}}=a$($a>0$)

=>$a^2-4=\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{...+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4}}}}}}}=a$

=>$a^2-a-4=0$ 

Từ đó có:$a=\frac{1+\sqrt{17}}{2};a=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$ mà $a>0$ nên $a=\frac{1+\sqrt{17}}{2}<3$ =>$đpcm$ 

Giả sử x, y là các số dương thỏa mãn đẳng thức: $x+y= \sqrt{10}$ 

Tìm giá trị của x và y để biểu thức:

$P= (x^{4}+1)(y^{4}+1)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.

Ta có:$P=x^4+y^4+x^4y^4+1=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+x^4y^4+1=(x^2y^2-4)^2+10(xy-2)^2+45\geq 45$(vì theo giả thiết $x+y= \sqrt{10}$ )

Dấu bằng xảy ra <=>$x=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2};y=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$ hoặc ngược lại

Mở rộng hơn:Bài toán hình như cũng tìm được max 

Cho $a,b,c>0;a+b+c=1:$ cmr.

$\frac{b^2c}{a^3(b+c)}+\frac{c^2a}{b^3(c+a)}+\frac{a^2b}{c^3(a+b)}\geq \frac{1}{2}$

Chỗ kia phải là $\geq \frac{9}{2}$ nhé!

 

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz kết hợp $AM-GM$ có

 

VT $=\sum \frac{(\sqrt{\frac{b^2c}{a^3}})^2}{b+c}\geq \frac{(\sum \sqrt{\frac{b^2c}{a^3}})^2}{2(a+b+c)}\geq \frac{9}{2}$

 

Dấu $=$ khi $3a=3b=3c=1$

Ý tưởng của lahantaithe99 rất hay !Nhưng mình nghĩ bài này dùng chay cô si cũng được mà

Áp dụng bất đẳng thức cô si 3 số có

$VT\geq 3.\sqrt[3]{\frac{1}{(a+b)(a+c)(b+c)}}$

mà ta có:$\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(a+c)}\leq \frac{a+b+b+c+a+c}{3}=\frac{2}{3}$

Từ 2 bất đẳng thức trên suy ra $VT\geq 3.\frac{1}{\frac{2}{3}}=3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c=\frac{1}{3}$

Tìm GTLN của biểu thức: $A=\sqrt{x-2005}+\sqrt{2006-x}$

Bình phương lên có:$A^2=1+2\sqrt{-x^2+4011x-2005.2006}$

Ta có:$-x^2+4011x-2005.2006=-(x-\frac{4011}{2})^2+\frac{1}{4}\leq \frac{1}{4}$

=>$A^2\leq 1+2.\sqrt{\frac{1}{4}}=2$ =>$A\leq \sqrt{2}$(vì $A>0$)

Dấu bằng xảy ra:$x=\frac{4011}{2}$ thỏa mãn

Trật điểm rơi rồi.

Dấu bằng thế kia thì thay vào A ra tận khoảng 19.65 cơ chứ min không phải 7 đâu

Bài toán này dấu bằng xảy ra không tại tâm $a=b=c$ đâu nhé!Đây là bài toán mở rộng của thi quốc gia Mĩ

Bài 4:Cho $a,b$ thỏa mãn $a^{3}+2b^{2}-4b+3=0$ và $a^{2}+a^{2}b^{2}-2b=0$. Tính $a^{6}+b^{6}$

Từ phương trình đầu rút ra được $a^3=-(2b^2-4b+3)=-2(b-1)^2-1\leq 1$ =>$a\leq 1$

Từ phương trình 2 có:$a^2=\frac{2b}{b^2+1}\leq \frac{2b}{2b}=1 =>-1\leq a\leq 1$ 

Từ đó suy ra :$a=-1;b=1$ nên $a^6+b^6=2$

Bài 1: Cho $x,y>0$ thỏa mãn $\frac{2012}{x}+1=\frac{2012}{y}$ và $x+2y=\frac{7042}{3}$

Tính giá trị biểu thức B=$\frac{x}{y}$

Bài 3: Cho các số $a,b,c,x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$. Tính $P=x+y+z$

1,Từ giả thiết có:$x=\frac{7042}{3}-2y$ thay vào ta có:

$\frac{2012}{\frac{7042}{3}-2y}=\frac{2012}{y}<=>\frac{6036}{7042-6y}=\frac{2012}{y}<=>18108y=14168504 <=>y=\frac{7042}{9}$ 

Thay vào có:$x=\frac{7042}{9}$

Do đó:$B=\frac{x}{y}=1$ 

3,Từ giả thiết ta có:$x^2(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2})+y^2(\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2})+z^2(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2})=0$

Vì $a^2,b^2,c^2\geq 0$ nên có:$\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2},\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2},\frac{1}{c^2}-\frac{1}{a^2+b^2+c^2}>0$

Mà $x^2,y^2,z^2\geq0$ nên =>$x=y=z=0$.Từ đó có:

$P=x+y+z=0$

Với x,y,z dương Chứng minh rằng: 

$\sum$ $\sqrt{\frac{x^{3}}{x^{3}+(y+z)^{3}}} \geq 1$

Bạn tham khảo lời giải tại đây

Chứng minh rằng nếu  $x,y \epsilon Z$  thỏa mãn  $2x^{2} + x = 3y^{2} + y$ thì $2x + 2y +1 ; x-y $  đều là số chính phương

Từ điều kiện đã cho bạn biến đổi về:

$(x-y)(2x+2y+1)=2y^2$

Bạn chứng minh được $(x-y);(2x+2y+1)$ nguyên tố cùng nhau rồi áp dụng nếu tích 2 số là số chính phương mà 2 số nguyên tố cùng nhau thì 2 số đó đều là những số chính phương 

p/s:mình có hỏi thầy giáo chứng minh bài toán bổ đề trên nhưng thầy bảo không cần chứng minh    

Cho số tự nhiên n > 1. Chứng minh rằng $4^{n}+n^{4}$ là hợp số

Gỉa sử $4^n+n^4$ là số nguyên tố =>$n=2m+1$ (với $m$ là số tự nhiên)

$n^4+4^n=(n^2+2^n)^2-n^2.2^{n+1}=(n^2+2^n)^2-n^2.(2^{m+1})^2=(n^2+2^n-n.2^{m+1})(n^2+2^n+n.2^{m+1})$

Từ đó chứng minh $(n^2+2^n-n.2^{m+1})>1$ suy ra $n=1$ => vô lí vì giả thiết $n>1$ nên điều giả sử là sai 

Do đó :$4^n+n^4$ là hợp số với mọi số tự nhiên $n>1$

Hoặc nếu bạn không muốn giả sử thì bạn xét với $n$ chẵn thì $4^n+n^4$ là hợp số luôn từ đó xét trường hợp $n$ lẻ .Mình làm như trên vì bài toán còn một bài nữa là 

Tìm số tự nhiên $n$ để $4^n+n^4$ là số nguyên tố khái quát cả 2 bài !

1:Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn:$x+y+z^2=3$.Tìm max:$P=\sum \frac{yz^3}{(x^4+y^4)(1+z^3)^3}$

2:Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn:$a+b+c=\sqrt[3]{7}$.Tìm min:$A=(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)$

  Cho $a,b,c$ là các số thực thuộc đoạn $\left [ 0,1 \right ]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

 

                 $P=a(b-c)^3+b(c-a)^3+c(a-b)^3$

 

 p/s: quen thuộc

Dùng dồn biến nhé bạn!

Đặt $f(a,b,c)=\sum a(b-c)^3$

Không mất tính tổng quát giả sử $a=max\left \{ a,b,c \right \}$

Suy ra:$f(a,b,c)-f(a,0,c)=-b(a-c)(a^2-b^2+ac+c^2)  \leq 0$

Lại có:$f(a,0,c)-f(1,0,c)=-c(1-a)(a^2+a+1-c^2)  \leq 0$

Suy ra $f(a,b,c)\geq f(1,0,c)=c-c^3=-(c+\frac{2+\sqrt{3}}{3})(c-\frac{\sqrt{3}}{3})^2+\frac{2\sqrt{3}}{9}\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

Do đó :max $P=\frac{2\sqrt{3}}{9}$

_Có thể tổng quát bài toán:Tìm min max của $P=\sum a(b-c)^n$

hoặc bài toán cũng có thể thay đổi giả thiết

Cho $a,b,c>0$ ,$a+b+c=1$.Tìm min,max của  $P=\sum a(b-c)^n$

Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=1$

Chứng minh :

    $\sum \frac{ab}{c+1}\leq \frac{1}{4}$

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{x+y}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})$ có:

$\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{a+c+b+c}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})$

Tương tự có:$\sum \frac{ab}{c+1}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c})=\frac{1}{4}.\left [ b\frac{a+c}{a+c}+c\frac{a+b}{a+b}+a\frac{b+c}{b+c} \right ]=\frac{1}{4}(a+b+c)=\frac{1}{4}$

Giải phương trình $2\sqrt{x^{2}-7x+10} - \sqrt{x^{2}-12x+20}=x$

Điều kiện xác định:$x\leq 2;x\geq 10$

Phương trình <=> $2\sqrt{x^2-7x+10}=x+\sqrt{x^2-12x+20}$

                        => $4(x^2-7x+10)=x^2+x^2-12x+20+2x\sqrt{x^2-12x+20}$

                      <=> $x^2-8x+10=x\sqrt{x^2-12x+20}$

                        => $x^4+64x^2+100+20x^2-16x^3-160x=x^2(x^2-12x+20)$

                      <=> $x^3-16x^2+40x-25=0$

                      <=> $(x-1)(x^2-15x+25)=0$

                      <=> $x=1;x=\frac{15+5\sqrt{5}}{2};x=\frac{15-5\sqrt{5}}{2}$

Thử lại có:$x=1;x=\frac{15+5\sqrt{5}}{2}$ là nghiệm của phương trình

Giải phương trình:$\sqrt{2x^2-1}+\sqrt{x^2-3x+2}=\sqrt{2x^2+2x+3}+\sqrt{x^2-x+2}$

@Đề bài không sai đâu nhé các anh.Nếu hệ số trong cắn $x^2-3x-2$ trục thì đẹp!

Giúp em bài phương trình vô tỉ này với. Bấm nghiệm ra $x= 1$ mà ko biết giải tiếp thế nào

 

$\frac{\sqrt{x^2+8x}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+7}=\frac{7}{\sqrt{x+1}}$

Mình xin đề xuất ý tưởng còn bạn tự làm nhé

Điều kiện$\left\{\begin{matrix}x^2+8x\geq 0 & & \\ x+7\geq 0 & & \\ x+1> 0 & & \end{matrix}\right.$ bạn tự tìm tiếp nhé

Phương trình <=>$\sqrt{x^2+8x}+\sqrt{(x+7)(x+1)}=7 <=>\sqrt{x^2+8x}+\sqrt{x^2+8x+7}=7$

Đặt $\sqrt{x^2+8x}=a,\sqrt{x^2+8x+7}=b (a\geq 0,b>0)$

Ta có:$a+b=b^2-a^2 <=>(a-b)(a+b)+(a+b)=0<=>(a-b+1)(a+b)=0 <=>a=b-1$ (vì $a+b>0$)

Đến đây bạn thay vào rồi tính tiếp nhé!

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c=2013$. Chứng minh: $A=\frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2013b+ca}}+\frac{c}{c+\sqrt{2013c+ab}}$

Ta có:$\sqrt{2013a+bc}=\sqrt{a^2+ab+ac+bc}=\sqrt{(a+c)(a+b)}$

Tương tự có:$A=\sum \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

Áp dụng bất đẳng thức bunhia kovski có:

$\sqrt{(a+b)(a+c)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{ac}$

=>$\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}$

Tương tự có:$A\leq \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c=671$

_Đây là bài toán xử lí khá hay của Crux.Bài toán gốc chỉ có chứng minh biểu thức $A\leq 1$ nên từ giả thiết biến đổi về dạng bất đẳng thức này

Cho $x,y,z\geq 0$ $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$

Chứng minh: $\frac{1}{2x+y}+\frac{1}{2y+z}+\frac{1}{2z+x}\leq 1$

Áp dụng bất đẳng thức dạng sau:

$\frac{1}{a+b+c}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$ (*) ta có:

$\frac{1}{2x+y}=\frac{1}{x+x+y}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=\frac{1}{9}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y})$

Tương tự có:$\sum \frac{1}{2x+y}\leq \frac{1}{9}.3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{9}.3.3=1$

Dấu bằng xảy ra <=>$x=y=z=1$

_Đây là dạng bài khá cơ bản của bất đẳng thức phụ (*) tách ở mẫu!

_Đề bài phải là $x,y,z>0$ vì nếu $x;y;z=0$ thì làm sao tồn tại phân số $\frac{1}{x},...$ được bạn?

Câu 1: Giải phương trình $4x+\sqrt{2x^2+3x+1}-\frac{1}{x}=3$

Điều kiện:$2x^2+3x+1\geq 0$

Phương trình tương đương:$4x^2-3x-1+x\sqrt{2x^2+3x+1}=0$

Đặt $x=b,\sqrt{2x^2+3x+1}=a$

Viết phương trình lại thành:$a^2-ab-6b^2=0$

                                     <=>$(a-3b)(a+2b)=0$

 Xét 2 trường hợp

Trường hợp 1

$a=3b$ =>$7x^2-3x-1=0$

<=>$x=\frac{3+\sqrt{37}}{14};x=\frac{3-\sqrt{37}}{14}$

Thử lai:$x=\frac{3+\sqrt{37}}{14}$ thỏa mãn

Trường hợp 2

$a=-2b$ =>$2x^2-3x-1=0$

<=>$x=\frac{3+\sqrt{17}}{4};x=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$

Thử lai:$x=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$ thỏa mã

Vậy phương trình có 2 nghiệm trên

@:Bài này xử lí khá hay.Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc 2!