Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=2$. Tìm Max $P=\sum \sqrt{a^2+a+4}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a^2b^2c^2$. Tìm GTNN của $A=\frac{a^2b^2}{c^3(a^2+b^2)}+\frac{b^2c^2}{a^3(b^2+c^2)}+\frac{c^2a^2}{b^3(c^2+a^2)}$

$gt\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2}\geqslant 1$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geqslant 1;A=LHS=\sum \frac{z^3}{x^2+y^2}$ (đặt: $1/a=x$)

Không mất tính tổng quát, giả sử: $x\geqslant y\geqslant z> 0\Rightarrow A\geqslant ^{Chebyshev}\frac{1}{3}.\sum x^3.\sum \frac{1}{y^2+z^2}$

Dùng $AM-GM$ nữa là xong :v

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, có các cạnh a,b,c và x,y,z là độ dài các đường phân giác trong tương ứng.CMR

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Phân giác $AD$.

Qua $B$ kẻ đường song song $AD$, cắt $AC$ tại $M$

Tam giác $ABM$ cân tại $A$

Sử dụng tính chất p/g và định lí Ta let, có: $\frac{1}{x}<\frac{1}{2}.(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

Cho $36x^2+16y^2=9$.Chứng minh $\begin{vmatrix}y-2x\end{vmatrix}\leq \frac{5}{4}$

$y-2x=t\Rightarrow y=2x+t\Rightarrow 36x^2+16.(2x+t)^2=9;\Delta _t\geqslant 0$

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$

$LHS.(a+b+c)\geqslant ^{B-C-S}(\sum \frac{a}{ab+a+1})^2=1\Rightarrow LHS\geqslant \frac{1}{a+b+c}$

ĐK : x,y >0

$hpt\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1+\frac{1}{x+y}=\frac{2}{\sqrt{3x}} & \\1-\frac{1}{x+y}=\frac{4}{\sqrt{y}} & \end{matrix}\right.$

cộng trừ hai pt ta được .

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2}{\sqrt{y}}=1 & \\\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2}{\sqrt{y}}=\frac{1}{x+y} & \end{matrix}\right.$

sau đó nhân theo vế hai pt .

$\Rightarrow \frac{1}{x+y}=(\frac{1}{\sqrt{3x}}+\frac{2}{\sqrt{y}}).(\frac{1}{\sqrt{3x}}-\frac{2}{\sqrt{y}})\\\Leftrightarrow \frac{1}{x+y}=\frac{1}{3x}-\frac{4}{y}$

quy đồng ra pt đẳng cấp , tìm được mối liên hệ x, y rồi thế trở lại pt . OK

Mình làm ra đến đó rồi nhưng thấy số lẻ quá , cho xin đáp án vs . Tks 

Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{3x}(1+\frac{1}{x+y})=2\\ \sqrt{2y}(1-\frac{1}{x+y})=4\sqrt2 \end{matrix}\right.$

Cách khác ntn:

$\frac{1}{1+x}=\frac{1+m}{2};\frac{1}{1+y}=\frac{1+n}{2};\frac{1}{1+z}=\frac{1+p}{2}\Rightarrow m+n+p+mnp=0;ine\Leftrightarrow \sum (\frac{m+1}{2})^2+\frac{\prod (m+1)}{4}\geqslant 1\Leftrightarrow m^2+n^2+p^2+m^2n^2p^2\geqslant 4mnp$

Đúng theo $AM-GM$ $4$ số. :v

$a,b,c>0.CMR:\sum \frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{2abc}{\prod (a+b)}\geqslant 1$

 

Kết thúc bài viết, tôi xin đề nghị một số bài tập tự luyện: 

 1. Cho $a, b, c, d\in [0; 1]$. CMR: $$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)+a+b+c+d\ge 1$$

 

$(1):LHS=[(1-b)(1-c)(1-d)-1].-a+(1-b)(1-c)(1-d)+a+b+c-1\geqslant 0$

Cố định $b,c,d$ , $a\in [0;1]$ nên $a=1$;$a=0$.

Tương tự với $b,c\in {0;1}$

$x,y,z\geqslant 0.CMR:\sum \sqrt{\frac{x}{x+y+7z}}\geqslant 1$

Bài 153: (Việt Nam TST 2005) 

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh: $\left ( \frac{a}{a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^3+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^3 \geq \frac{3}{8}$

Dùng $PP$ trội tử, có được:

$\frac{a}{a+b}=\frac{1+x}{2}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{1-x}{1+x}\Rightarrow x+y+z+xyz=0;-1< x,y,z< 1$

$BDT\Leftrightarrow \sum (\frac{x+1}{2})^3\geqslant \frac{3}{8}\Leftrightarrow \sum x^3+3\sum x^2-3xyz\geqslant 0$

Để í rằng: $x^2(x+1)\geqslant 0\Leftrightarrow x^3\geqslant -x^2\Rightarrow VT\geqslant 2\sum x^2-3xyz\geqslant \sum x^2-3xyz\geqslant 3.\sqrt[3]{(xyz)^2}-3xyz\geqslant 3.\left | xyz \right |-3xyz\geqslant 0$

$BDT$ được chứng minh.

1.Cho n,p,k là ba số nguyên dương bất kì.Chứng minh rằng các số $n^{p+4k}$ và $n^p$ có chữ số hàng đơn vị giống nhau.

2.Cho 4 số tự nhiên a,b,c,d biết rằng tổng số của bốn số đó chia hết cho một số bất kì trong 4 số đó và một số bất kì trong 4 số đó nhỏ hơn tổng của 3 số còn lại.Chứng minh rằng có ít nhất hai số bằng nhau.

$(1)$ $n^{p+4k}-n^p=n^p.(n^{4k}-1)=n^{p-1}(n^5-n).A\vdots 30$

$(2)$

$1\leq a<b<c<d;a+b+c+d=ma=nb=pc=qd\Rightarrow q<p<n<m\Rightarrow a+b+c>d=>qd>2d=>q\geqslant 3;p\geqslant 4;n\geq 5;m\geqslant 6\Rightarrow \sum \frac{1}{m}\leqslant \frac{19}{20}<1\rightarrow \boldsymbol{False}$

Chứng minh với mọi số dương a,b,c có tích bằng 1:

$\frac{1}{2a^{3}+b^{3}+c^{3}+2}+\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+c^{3}+2}+\frac{1}{a^{3}+b^{3}+2c^{3}+2}\leq \frac{1}{2}$

$VT=\sum \frac{1}{(a^3+b^3+1)+(a^3+c^3+1)}\leqslant \frac{1}{4}\sum (\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1})$

Quá đơn giản cho việc cm: $\sum \frac{1}{a^3+b^3+1}\leqslant \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1\Rightarrow VT\leqslant \frac{1}{2}$

Cho x,y,z> 0 và $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{2}{z^2}$

Tìm Min $P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

dùng BĐT Minkowski

làm ntn ???

làm đi bạn

Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm Min: $S=3\sqrt{x^2+y^2}+4\sqrt{x^2+y^2-8y+16}+5\sqrt{x^2+y^2-6x+9}$

giải hpt $\left\{\begin{matrix} 2x^2(4x+1)+2y^2(2y+1)=y+32\\ x^2+y^2-x+y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Giải phương trình:

$x^2+3x-2=\frac{9x\sqrt{3x+1}}{(1+\sqrt{3x+1})^2}$

Giải hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{4x+3}+\sqrt{3-2x}=4y^2+2\\ x^2+y^2-x+y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Câu 3 và 5a

Đề thi thử tốt nghiệp THPT - Quốc Học Huế 2014-2015

cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c (a>b>c). 1 mặt phẳng ($\alpha$) song song với 2 cạnh đối, cắt tứ diện theo 1 thiết diện có chu vi p và diện tích s. Xác định ($\alpha$) để s lớn nhất và tính diện tích ấy.

Giải bpt

$\sqrt{(x+1)(4x+1)}-\sqrt{2x^2+2x-5+\frac{1}{x}}\leq \sqrt{2x+\frac{2}{x}+1}$