giải hpt $\left\{\begin{matrix} 2x^2(4x+1)+2y^2(2y+1)=y+32\\ x^2+y^2-x+y=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

tam giác ABC,1 điểm D_^​​ thuộc BC,M trung điểm AD. 

trên tia đối tia MB lấy E : ME = MB.

trên tia đối tia MC lấy F : MC = MF. chứng minh rằng:

A nằm giữa D và E

1. ABC nội tiếp (O). I chính giữa cung BC kg chứa A. Vẽ đường tròn $(O_1)$ đi qua I và tiếp xức vs AB tại B. $(O_2)$ đi qua I tiếp xúc vs AC tại C. K là giao điểm của $(O_1);(O_2)$. a/ B,K,C thẳng hàng. b/ D thuộc AB. E tia đối CA: BD=CE. CM đường tròn ngoại tiếp tg ADE đi qua 1 điểm khác A.
2. Tứ giác ABCD nội tiếp (O). I,J trđiểm AC,BD. CMR: I,O,J thằng hàng.

Cho a,b là những số hữu tỉ dương thỏa: $a+b$ và $ab$ là số nguyên dương. CMR: a,b tự nhiên.

Mình cần gấp!

Vì $ab, a+b \ge 0 $

 

Suy ra: $a , b \ge 0$

 

Giả sử $a \ge b \ge 0$ 

 

Khi đó:

 

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ là số nguyên

 

Nên: $a^2+b^2$ là số nguyên

 

$(a-b)^2$ là số nguyên

 

$a-b$ là số nguyên

 

$2a$ là số tự nhiên.

 

Nên a là số hữu tĩ hoặc số tự nhiên

 

Do $ab$ nguyên dương

 

Nên a là số tự nhiên.

 

Từ a+b là nguyên dương nên b cũng là số tự nhiên

vì sao ab và 2a tự nhiên => a tự nhiên????

Cho x, y, z >0 . CMR:

$\sqrt{(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}\geq 1+\sqrt{1+\sqrt{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})}}$

$a=\sum \frac{x}{y};b=\sum \frac{y}{x}\Rightarrow \sqrt{a+b+3}\geqslant 1+\sqrt{1+\sqrt{a^2+b^2-2a-2b+3}}$

Bình phương lên :v

Tam giác ABC,AB>AC, M,N là 2 điểm thuộc đường p/g trong, ngoài của góc  A.

CMR: a/ MB-MC<AB-AC

b/ NB+NC>AB+AC

cho xx"song song yy" là 2 đường này cắt d tại A,B phân giác góc x"AB cắt phân giác góc ABy" ở C. Phân giác góc BAx cắt phân giác ABy ở D.

a, c/m CA vuông góc DA,CB vuông góc DB

b, c/m AC//BD,AD//BC

Chứng minh với mọi số dương a,b,c có tích bằng 1:

$\frac{1}{2a^{3}+b^{3}+c^{3}+2}+\frac{1}{a^{3}+2b^{3}+c^{3}+2}+\frac{1}{a^{3}+b^{3}+2c^{3}+2}\leq \frac{1}{2}$

$VT=\sum \frac{1}{(a^3+b^3+1)+(a^3+c^3+1)}\leqslant \frac{1}{4}\sum (\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1})$

Quá đơn giản cho việc cm: $\sum \frac{1}{a^3+b^3+1}\leqslant \sum \frac{1}{ab(a+b)+abc}=\sum \frac{c}{a+b+c}=1\Rightarrow VT\leqslant \frac{1}{2}$

Lần áp dụng BĐT schwarz và côsi ta có :

$\sum x+\sum \frac{1}{x}\geq \sum x+\frac{9}{\sum x}= (\sum x+\frac{9}{4\sum x})+\frac{27}{4\sum x}\geq 3+\frac{9}{2}=\frac{15}{2}$

 

Vậy ta được đpcm . Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

1/2 chứ???

Cho $a$,$b$,$c$ > $0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=3$. chứng minh:

$\sum\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}} \leq 1$

Đây là 1 bài toán cực kì quen thuộc với:

$\sum a^4=3.Find_{Max}=\sum \frac{1}{4-ab}$

Lôi về tiếp tuyến :v

Chứng minh rằng với mọi $a,b,c$ dương thì bất đẳng thức sau đúng:

$\sum \frac{ab}{a^2+ab+b^2} \leqslant \sum \frac{a}{2a+b}$

$\sum (\frac{1}{3}-\frac{ab}{a^2+ab+b^2})+\sum \frac{a}{2a+b}=\sum \frac{(a-b)^2}{3.(a^2+ab+b^2)}+\sum \frac{a^2}{2a^2+ab}\geqslant \frac{\frac{4}{3}.(a-c)^2+(a+b+c)^2}{2.\sum a^2+\sum ab}\leqslant 1(true)$

Chứng minh: $\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2c+a}+\frac{1}{c+2a+b}$

$\frac{1}{b+3c}+frac{1}{b+2a+c} \geq \frac{2}{b+2c+a}

Cộng vế theo vế ->> đpcm    

Cho $36x^2+16y^2=9$.Chứng minh $\begin{vmatrix}y-2x\end{vmatrix}\leq \frac{5}{4}$

$y-2x=t\Rightarrow y=2x+t\Rightarrow 36x^2+16.(2x+t)^2=9;\Delta _t\geqslant 0$

Có giỏi đâu mà nhận 

Klq:Nhưng làm hộ bài này,nghĩ chưa ra Cho a,b,c không âm $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ Tìm GTNN GTLN 

$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(c-b)^{2}}+\frac{1}{(a-c)^{2}}$

 

$VT\geqslant (a^2+b^2).[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}]$ với giả sử: $a>b>c\geqslant 0$

Bung ra và đặt: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=t> 2$, dùng đạo hàm là ra :v

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{(ab+a+1)^2}+\frac{b}{(bc+b+1)^2}+\frac{c}{(ca+c+1)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}$

$LHS.(a+b+c)\geqslant ^{B-C-S}(\sum \frac{a}{ab+a+1})^2=1\Rightarrow LHS\geqslant \frac{1}{a+b+c}$

1.Cho n,p,k là ba số nguyên dương bất kì.Chứng minh rằng các số $n^{p+4k}$ và $n^p$ có chữ số hàng đơn vị giống nhau.

2.Cho 4 số tự nhiên a,b,c,d biết rằng tổng số của bốn số đó chia hết cho một số bất kì trong 4 số đó và một số bất kì trong 4 số đó nhỏ hơn tổng của 3 số còn lại.Chứng minh rằng có ít nhất hai số bằng nhau.

$(1)$ $n^{p+4k}-n^p=n^p.(n^{4k}-1)=n^{p-1}(n^5-n).A\vdots 30$

$(2)$

$1\leq a<b<c<d;a+b+c+d=ma=nb=pc=qd\Rightarrow q<p<n<m\Rightarrow a+b+c>d=>qd>2d=>q\geqslant 3;p\geqslant 4;n\geq 5;m\geqslant 6\Rightarrow \sum \frac{1}{m}\leqslant \frac{19}{20}<1\rightarrow \boldsymbol{False}$

Cho : $\left\{\begin{matrix}n\in \mathbb{\mathbb{N}^{\ast }} & & \\ & & \end{matrix}\right.7^{n}-3^{n}\vdots n$

 

a) Chứng minh rằng : n chẵn 

b)Tìm n 

 

 

 

     

$7^n\equiv 7(modn);3^n\equiv 3(modn)\Rightarrow 7^n-3^n\equiv 2(modn)\Rightarrow n=2$

Vayaj $n=2$  là số chẵn :v

Đây là đề thi hsg lớp 9 cấp tỉnh Quảng Bình năm nào đó mình ko nhớ nữa

Cho hình thang ABCD (AB//CD) có đg cao AH=4cm, BD=5cm, AC vuông góc vs BD. Tính S hình thang ABCD

qua B kẻ đg thẳng song song vs AC cắt CD tại I. .tam giác BDI vuông tại B.

kẻ BK vuông góc vs DC. BK=AH=4.,  ta có:

1/BK^2=1/BD^2+1/BI^2  =>BI=20/3=AC.

S ABCD= AC*BD/2==

Cho hình chóp S.ABC. M thuộc SA, N thuộc BC. K trdiem AN. X=SK giao MN. c/m X di động trên đt cố định

Cho a,b,c>0. 

CMR: $\sum \frac{a+b}{ab+c^2}\geq 4.\sqrt{1+\frac{3abc}{\sum (a+b)^3}}$

1, cho $f(x)=x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_1x+a_0$

n thuộc N*, a_i thuộc R

C/m rằng : $f(x)=(p(x))^2+ r(x)$ với p(x), r(x) thuộc R[x]và bậc deg(x) <n

2, cho $\alpha \epsilon R$ sao cho $\alpha \neq 0$:

C/m rằng mọi $x\geqslant 2$ thì:  $p(x)= x^nsin\alpha -x(sin(n\alpha))+sin(n-1)\alpha \vdots x^2-2xcos\alpha+1$

3, P(x), Q(x),R(x),S(x) thuộc R[x]sao cho:

$P(x^5)+xQ(x^5)+x^2 R(x^5)= (x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$

C/m: $p(x)\vdots (x-1)$

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=2$. Tìm Max $P=\sum \sqrt{a^2+a+4}$

Cho $4x+ y =1$.Chứng minh $4x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{5}$