TÌm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=$x^{2}+y^{2}$ sao cho A$\vdots$2013

ĐK $x\neq -2$

Đặt $A=\frac{x^{2}+2x+3}{(x+2)^{2}}\Rightarrow 3A=\frac{3x^{2}+6x+9}{(x+2)^{2}}=\frac{2x^{2}+8x+8}{x^{2}+4x+4}+\frac{x^{2}-2x+1}{(x+2)^{2}}=2+(\frac{x-1}{x+2})^{2}\geq 2\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}$

Vậy GTNN của A là $\frac{2}{3}$ khi x=1

Gọi sô cần tìm là $\alpha$ . Khi đó ta có

$\alpha =x_{1}^{m_1}.x_{2}^{m_2}...x_{n}^{m_n}$

suy ra số các ước của $\alpha$ là $(m_{1}+1)(m_{2}+1)...(m_{n}+1)$ là số lẻ

nên các thừa số trên đều là số lẻ hay $m_{1},m_{2},...,m_{n}$ chẵn

Vậy, $\alpha$ chỉ có thể là sô chính phương

Cho $T=2+2\sqrt{12n^{2}+1}$ với n tự nhiên. CMR nếu T tự nhiên thì T là số chính phương

Cho

1/ Tìm min:

    a, $x-\sqrt{x-2015}$

    b, $x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+2015$ với x,y>0

 

a/$A= x-\sqrt{x-2015}=x-2015-\sqrt{x-2015}+\frac{1}{4}-\frac{8059}{4}=(\sqrt{x-2015}-\frac{1}{2})^{2}-\frac{8059}{4}\geq \frac{-8059}{4}$

vậy $Min_A=\frac{-8059}{4}\Leftrightarrow \sqrt{x-2015}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2015\frac{1}{4}$

b/$B=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+2015\Rightarrow 3B=3x-6\sqrt{xy}+9y-6\sqrt{x}+6045$

$=x-6\sqrt{xy}+9y+2(x-3\sqrt{x}+\frac{9}{4})+6045-\frac{9}{2}=(\sqrt{x}-3\sqrt{y})^{2}+2(\sqrt{x}-\frac{3}{2})^{2}+6040,5\geq 6040,5 \Rightarrow B\geq 2013,5 \Rightarrow Min B=2013,5\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{x}=3\sqrt{y}\\ \sqrt{x}=\frac{3}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{9}{4}\\ y=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.$

Ta có $\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy+bc}{a}\Rightarrow \frac{acy-bcx}{c^{2}}=\frac{bcx-abz}{b^{2}}=\frac{abz-acy+abc}{a^{2}}=\frac{abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

nhân vào suy ra đpcm

Lâu lâu post 1 bài cho đỡ buồn

Cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ $(b,c,d \neq 0; c+d\neq 0)$. CMR: $\frac{ab}{cd}=\frac{(a+b)^2}{(c+d)^2}$

Ta có $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}$

rồi bình phương hai vế, chú ý $(\frac{a}{c})^{2}=\frac{ab}{cd}$

 

3/ Tính : $E= x^{3}+y^{3} -3(x+y)+2014$
Với $x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}} +\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$ 

      $y=\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}} +\sqrt[3]{17-12\sqrt{2}}$
 

bạn tính $x^{3},y^{3}$ và đưa nó về 1 pt bậc ẩn x,y rồi tính theo đó

 

5/ Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c$\leq \sqrt{3}$. CM $\sum \frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}$$\leq \frac{3}{2}$

 

Ta có : $3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2}\leq 3 \Rightarrow ab+bc+ca\leq 1$

Khi đó : $\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}\leq \frac{a}{\sqrt{a^{2}+ab+ac+bc}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})$

cm tương tự, cộng lại suy ra đpcm

Có:$2\equiv -1(mod3)$

Vì 2n+1 luôn là lẻ nên

$2^{2^{2n+1}}\equiv -1(mod 3) =>2^{2^{2n+1}}+5\equiv 6\equiv 0(mod 3) Mà 2^{2^{2n+1}}+5> 3 nên 2^{2^{2n+1}}+5 là hợp số$

chỗ này là 1 nhé 

giúp em bài toán khó này với ạ Thank các bác

bạn up đề cho rõ đi nhé

hỏi cách làm mà, nói thế lm chi

cho 2010 số tự nhiên $a_{1};a_{2};...;a_{2010}$ thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} a_1+a_2+...+a_{2010}=0\\ a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+...+a{_{2010}}^{2}=1 \end{matrix}\right.$

cmr trong 2010 số trên có hai số có tích ko vượt quá $\frac{-1}{2010}$

Tìm nghiệm nguyên của pt sau: $2^{x}-3^{y}=1 (x>0 ; y\geq 0)$

Theo mình thì phải là C/m nó $\leq 3\sqrt{17}$ mới đúng

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$P^2\leq 3\begin{bmatrix} 3(a+b+c)+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+3 \end{bmatrix}\leq 3\begin{bmatrix} 39+2\sqrt{3(a+b+c)} \end{bmatrix}=153$

$\Rightarrow P\leq 3\sqrt{17}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=4$

ừ, Mình ghi nhầm phải là $\leqslant$

Cho a,b,c>0 thoả mãn a+b+c=12. CMR:

$\sqrt{3a+2\sqrt{a}+1}+\sqrt{3b+2\sqrt{b}+1}+\sqrt{3c+2\sqrt{c}+1} \geqslant 3\sqrt{17}$

Các bác vào giải hộ em bài này với

Cho P=$n^{n}$ + 1 , tìm n nguyên dương sao cho P ng tố và ko có quá 19 chữ số