$1) \sqrt[3]{x^2-2}=\sqrt{2-x^3}$

 

ĐKXĐ: $x\leq \sqrt[3]{2}$

với $x\leq \sqrt[3]{2}$ thì $VT<0$ mà $VP\geq0$ => pt vô nghiệm

lộn đề  

bạn lấy bài này ở đâu vậy? mình từng làm 1 bài gần giống thế này nhưng ĐK cho là $\leq$

Ừm, cách bạn giống cách mình (mỗi tội mình chưa kịp đăng).
Từ khi quy về $a^2b^2c^2$ max thì có thể làm cách sau ngắn hơn một chút
$6|bc|\leq(b+c)^2+b^2+c^2=a^2+b^2+c^2=6=>b^2c^2\leq1$
$3a^2\leq2(b^2+c^2)+2a^2=12<=>a^2\leq4$

chỗ màu đỏ chưa chuẩn nhé vì $2\left | bc \right |$ chưa chắc $\leq \left ( b+c \right )^{2}$ (thử với $b=-1,c=2$). đoạn này phải gs $bc\geq0$

nhưng mà làm như bạn ngắn hơn của mình thật

từ gt suy ra $\left ( a+b+c \right )^{2}=0\Leftrightarrow a+b+c=0$

$P=\left ( \sum a^{2} \right )\left ( \sum a^{4}-\sum a^{2}b^{2} \right )+3a^{2}b^{2}c^{2}=6\left ( 6^{2}-3\sum a^{2}b^{2} \right )+3a^{2}b^{2}c^{2}=6^{3}+3a^{2}b^{2}c^{2}-18\sum a^{2}b^{2}.\sum a^{2}-36abc\sum a$ (vì$ \sum a=0)$$=3a^{2}b^{2}c^{2}+216-18\left ( \sum a \right )^{2}=3a^{2}b^{2}c^{2}+54$

$\Rightarrow P_{max}\Leftrightarrow a^{2}b^{2}c^{2}_{max}$

không mất tính tổng quát gs $ab\geq 0$ có  $ab\leq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{4}=\frac{c^{2}}{4}\Rightarrow a^{2}b^{2}\leq \frac{c^{4}}{16}$$\Rightarrow a^{2}b^{2}c^{2}\leq \frac{c^{6}}{16}$

từ $a+b+c=0\Rightarrow a=-\left ( b+c \right )\Rightarrow ab+bc+ca=-3\Leftrightarrow a\left ( b+c \right )+bc=-3\Leftrightarrow \left (b+c \right )^{2}-bc-3=0\Leftrightarrow b^{2}+bc+c^{2}-3=0 (*)$

coi (*) là pt bậc 2 ẩn b $\rightarrow$ tính $\Delta \rightarrow$ ĐK để pt có nghiệm là $-2\leq c\leq 2$

$\Rightarrow c^{6}\leq 2^{6}=64\Rightarrow P\leq 66$

dấu "=" khi $(a;b;c)=(-1;-1;2)$ hoặc $(1;1;-2)$ và các hoán vị

Bài 61:(Mỹ 2003) Cho các số thực dương a,b,c .CMR:

$\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\leq 8$

chuẩn hóa $a+b+c=3$ => đưa về cm $\sum \frac{\left ( a+3 \right )^{2}}{2a^{2}+\left ( 3-a \right )^{2}}\leq 8\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( a+3 \right )^{2}}{a^{2}-2a+3}\leq 24$

cm $\frac{\left ( a+3 \right )^{2}}{a^{2}-2a+3}\leq4a+4\Leftrightarrow \frac{-\left ( a-1 \right )^{2}\left (4 a+3 \right )^{2}}{a^{2}-2a+3}\leq0$ luôn đúng

tương tự vs b,c =>...

Thực sự thì e không rõ lắm bđt đầu sang bđt màu đỏ ,a có thể chứng minh cụ thể dùm e không

MAX ngu bđt  

BĐT$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^{2}}{2a^{2}+\left ( b+c-a \right )^{2}}\leq 2\Leftrightarrow \sum \left ( 1-\frac{2a^{2}}{2a^{2}-\left ( b+c-a \right )^{2}} \right )\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( b+c-a \right )^{2}}{2a^{2}+\left ( b+c-a \right )^{2}}\geq 1$

Lời giải bài 57

BĐT$\Leftrightarrow 4\left ( ax+by+cz \right )\left ( \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z} \right )ac\leq \left [ \left ( a+c \right )\left ( x+y+z \right ) \right ]^{2}$(*)

Theo AM-GM : VT(*)$\leq \left [ \left ( ax+by+cz \right )+ac\left ( \frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z} \right ) \right ]^{2}$

Cần chứng minh $ax+by+cz+ac\left ( \frac{a}{x} +\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right )\leq \left ( a+c \right )\left ( x+y+z \right )$

                            $\Leftrightarrow by+\frac{ac}{b}y\leq ay+cy\Leftrightarrow \frac{y\left ( a-b \right )\left ( c-b \right )}{b}\leq 0$ đúng theo giả thiết đã cho

Vậy BĐT cần chứng minh đúng

Cho $a+b+c=3\sqrt{7}$

Tìm min: $\left ( a^{5}-a^{2}+3 \right )\left ( b^{5}-b^{2}+3 \right )\left ( c^{5}-c^{2}+3 \right )$

bài này chắc phải có đk a,b,c>0 chứ nhỉ

Ta có : $\prod (a^{5}-a^{2}+3)\geq \prod (a^{3}+2)\geq (a+b+c)^{3}$

liệu có dấu "=" xảy ra không anh 

Chứng minh bất đẳng thức 

1) $\sum \frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)^2} \geq \frac{9}{4}$

2)$\frac{a^2-b^2}{\sqrt{b+c}}+ \frac{b^2-c^2}{\sqrt{c+a}}+\frac{c^2-a^2}{\sqrt{a+b}}\geq 0$

3)Cho a.b.c thỏa mãn $a>0 , b\geq c, a^{2}=bc , a+b+c=abc$

CMR : $a\geq \sqrt{3} , b\geq \sqrt{3} , 0< c\leq \sqrt{3}$

1, 

$BĐT\Leftrightarrow \sum \frac{4\left ( a^{2}+ab+b^{2}\right )}{\left ( a-b \right )^{2}}\geq 9 \Leftrightarrow \sum \frac{3\left ( a+b \right )^{2}+\left ( a-b \right )^{2}}{\left ( a-b \right )^{2}}\geq 9\Leftrightarrow \sum \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{\left ( a-b \right )^{2}}\geq 2$ (*)

BĐT (*) đúng, xem cm ở đây http://diendantoanho...acab2a-b2geq-2/

vậy BĐT cần cm đúng

bài này có thể giải rất đơn giản với phương pháp Cauchy ngược dấu

có $\frac{a^{6}}{a^{3}+b^{3}}= a^{3}-\frac{a^{3}b^{3}}{a^{3}+b^{3}}\geq a^{3}-\frac{a^{3}b^{3}}{2ab\sqrt{ab}}=a^{3}-\frac{ab\sqrt{ab}}{2}$

thiết lập 2 bđt tương tự rồi cộng lại được $P\geq \sum a^{3}-\sum \frac{ab\sqrt{ab}}{2}$ (1)

mặt khác theo bđt Cauchy có $a^{3}+b^{3}\geq 2ab\sqrt{ab}$, tương tự ... $\Rightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq  ab\sqrt{ab} +bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}$ (2)

từ (1) và (2) $\Rightarrow P\geq \frac{1}{2}\left ( ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca} \right )= \frac{1}{2}$

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

KL...

Cho 3 số phân biệt a,b,c chứng minh rằng:

$\frac{(a+b)^{2}}{(a-b)^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{(c-a)^{2}} \geqslant 2$

đặt $(\frac{a+b}{a-b},\frac{b+c}{b-c},\frac{c+a}{c-a})\rightarrow (x,y,z)$

khi đó $\left ( x-1 \right )\left ( y-1 \right )\left ( z-1 \right )=\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )\left ( z+1 \right ) (=8\frac{abc}{\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )})$

$\Rightarrow xy+yz+zx=-1$

có $\left ( x+y+z \right )^{2}\geq 0\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2\left ( xy+yz+zx \right )=2$

dấu "=" xảy ra khi $x+y+z=0$ <=> ....

Giải phương trình

$x^2=\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}$

thank

ĐKXĐ: $x=0$ hoặc  $x\geq 1$

+) $x=0$ là 1 nghiệm

+) $x\geq 1$

làm sao bạn biết tách chỗ này thế chỉ mình với

với những pt bậc 4 không đưa về được pt bậc 2 (vd những pt bậc 4 đưa về đc bậc 2 là : pt trùng phương, đối xứng, hồi qui, dạng đặt ẩn phụ, ..) thì thường đưa về được hiệu 2 bình phương - bài này cx thế

Bài 49 : Cho $a,b,c>0$ . CMR : 

$\frac{a^{4}}{3a+3ab+2}+\frac{b^{4}}{3b+3bc+2}+\frac{c^{4}}{3c+3ca+2}\geq \frac{3}{8}$

đề bài có thiếu không nhỉ. $a=b=c=0,5$ thì bđt sai       

Bài 45 : Cho $x,y,z$ thỏa mãn : $x+y+z=0$ . Chứng minh rằng : 

$\frac{x(x+2)}{2x^{2}+1}+\frac{y(y+2)}{2y^{2}+1}+\frac{z(z+2)}{2z^{2}+1}\geq 0$

$BĐT\Leftrightarrow \frac{x\left ( x+2 \right )}{2x^{2}+1}+\frac{1}{2}+\frac{y\left ( y+2 \right )}{2y^{2}+1}+\frac{1}{2}\geq 1-\frac{z\left ( z+2 \right )}{2z^{2}+1}\Leftrightarrow \frac{\left ( 2x+1 \right )^{2}}{2x^{2}+1}+\frac{\left ( 2y+1 \right )^{2}}{2y^{2}+1}\geq \frac{2\left ( z-1 \right )^{2}}{2z^{2}+1}$

Cauchy-Schwarz :$\frac{\left ( 2x+1 \right )^{2}}{2x^{2}+1}+\frac{\left ( 2y+1 \right )^{2}}{2y^{2}+1}\geq \frac{2\left ( x+y+1 \right )^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}= \frac{\left ( z-1 \right )^{2}}{2z^{2}+1}$

Ta chỉ cần chứng minh $x^{2}+y^{2}+1\leq 2z^{2}+1\rightarrow $ điều này đúng nếu giả sử $\left | z \right |=max\left \{ \left | x \right |;\left | y \right | ;\left | z \right |\right \}$

Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=0$

Giải phương trình $x^4=3x^2+10x+4$

$PT\Leftrightarrow x^{4}+2x^{2}+1=5x^{2}+10x+5\Leftrightarrow \left ( x^{2}+1\right )^{2}=5\left ( x+1 \right )^{2}$

đến đây bạn tự giải nhé

đặt $\sqrt{2x+y}=a\geq 0,\sqrt{2x-y-1}=b\geq 0$

$PT(2)\rightarrow \left ( 2a^{2} -1\right )b=\left ( 2b^{2}-1 \right )a\Leftrightarrow \left ( a-b \right )\left ( 2ab+1 \right )=0\Leftrightarrow a=b$ (vì $ab+1>0$)

đến đây chắc dễ rồi

Bổ để này chứng minh thế nào vậy bạn

có ở đây http://diendantoanho...ac6sum-a2sum-a/

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{3y^{2}+6}=5x+1\\ 3y^{2}+6=xy^{2}+5x-x^{2} \end{matrix}\right.$

hướng làm : coi pt(2) là pt bậc 2 ẩn $x$ => tính delta

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^{2}-2y^{2}-xy+2y-x=0 & \\x^{2}-y^{2}+6x+12=0 & \end{matrix}\right.$

(nháp :coi PT(1) là pt bậc 2 ẩn $x$ tính delta được $\Delta _{x}=\left ( 3y-1 \right )^{2}$)

$ PT(1)\Leftrightarrow \left ( x-2y \right )\left ( x+y-1 \right )=0$

Bài 5 : Sẵn e xin post 1 câu này 

Cho các số thực thỏa mãn abc=1.CMR:

$\sum \frac{a^{3}}{(1+b)(1+c)}\geq \frac{3}{4}$

 AM-GM $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

lại AM-GM có $\frac{a^{3}}{\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\geq \frac{3}{4}a$

thiết lập thêm 2 bđt tương tự rồi cộng lại có $\sum \frac{a^{3}}{\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}+\frac{1}{4}\sum a+\frac{3}{4} \geq \frac{3}{4}\sum a\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}\geq \frac{1}{2}\sum a-\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

đẳng thức xảy ra khi $"a=b=c=1"$

Bài 4: Cho a,b,c dương thỏa mãn $a+b+c=abc.$CMR:

$\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3} \geq 1$

gt$\Rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}= 1$

$\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{1}{ab}\geq \frac{3}{bc}$

thiết lập các bđt tương tự rồi cộng lại có $2\sum \frac{a}{b^{3}}+\sum \frac{1}{ab}\geq 3\sum \frac{1}{ab}\Rightarrow 2\sum \frac{a}{b^{3}}\geq 2\sum \frac{1}{ab}=2\Rightarrow$đpcm

 

Bài 3 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR:

$\frac{a}{a+b-c}+\frac{b}{b+c-a}+\frac{c}{a+c-b} \geq 3$

 

cách khác

do $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên $a+b-c,b+c-a,c+a-b> 0$

áp dụng AM-GM có $\sum \frac{a}{a+b-c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )}}$

chỉ cần cm $abc\geq \coprod \left ( a+b-c \right )$ => cái này luôn đúng theo schur

hoặc cm = AM-GM có $\sqrt{\left ( a+b-c \right )\left ( b+c-a \right )}\leq \frac{a+b-c+b+c-a}{2}=\frac{2b}{2}=b$ thiết lập các bđt tương tự rồi nhân lại có đpcm

$GT\leftrightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

Ta có:

 $\frac{a}{b^3}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}\geq \frac{3}{ab}$

Tương tự, cộng lại ta được:

$\frac{a}{b^3}+\frac{b}{c^3}+\frac{c}{a^3}+2(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq 3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

Vì $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} => đpcm$

ngược dấu!