Bài toán: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

Chứng minh rằng:  $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})\leq \frac{1}{32}$

Bạn biến đổi nhầm ở nhiều chỗ quá 

• Thứ nhất, ta phải có: $\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{a^2+c^2+3}\leq \frac{2}{3}\Leftrightarrow 2\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}\geq 2$
• Thứ hai, theo $Cauchy-Schwarz$ thì: $2\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}=\sum \left [ \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+3} +\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}\right ]\geq \frac{4(a+b+c)^{2}+4\left \{(a-c)^{2} ;(b-a)^{2};(c-b)^{2} \right \}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9}$
• Thứ ba, $\frac{4(a+b+c)^{2}+4(a-c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(a+b+c)^{2}}\geq 3$ không tương đương với $(a-b)(b-c) \geq 0$

Một điều quan trọng nữa là bạn đã nhầm bài này với ví dụ trong Phương pháp yếu tố ít nhất của Võ Quốc Bá Cẩn. Trong ví dụ đó, giả thiết là $ab+bc+ca= \frac{9}{4}$. Nếu trong bài toán này mà sử dụng yếu tố ít nhất thì sẽ không phân tích thành nhân tử $(a-b)(b-c)$ được

Cảm ơn bạn đã góp ý. Bài này mình làm cách đây hơn 1 năm rồi cop lại không để ý lắm, ra là hai bài khác giả thiết, nhưng hồi đó mình tự tư duy cả đấy, có lẽ sai sót về con số thôi!

Mình nghĩ đây là 1 hướng có thể làm ra     Ai có hứng thú thì tiếp tục nha. Lưu ý là xem lại đề, đề bài không hợp lí lắm ở giả thiết! 

Topic dừng tại đây !

$\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{a^2+c^2+3}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow 2\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}\geq 3$

 

$2(a^{2}+b^{2})=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}$

 

Cauchy Schwarz:

 

$\Rightarrow 2\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}=\sum \left [ \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+3} +\frac{(a-b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+3}\right ]\geq \frac{4(a+b+c)^{2}+4\left \{(a-c)^{2} ;(b-a)^{2};(c-b)^{2} \right \}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+27}$

 

Mà $27=2(a+b+c)^{2}$. Quy đồng BĐT dưới dang thuần nhất ta được:

 

$\frac{4(a+b+c)^{2}+4(a-c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+27}\geq 3\Leftrightarrow \frac{4(a+b+c)^{2}+4(a-c)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(a+b+c)^{2}}\geq 3$

 

$\Leftrightarrow (a-b)(b-c)\geq 0$

Tương tự ta cũng có: $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} (b-c)(c-a)\geq 0 & \\ (c-a)(a-b)\geq 0 & \end{bmatrix}$

 

$\left [(a-b)(b-c)(c-a) \right ]^{2}\geq 0\Rightarrow$ Tồn tại 1 BĐT đúng! $\blacksquare$

 

Cho ba số a,b,c>0. CMR: 

$ \frac{2(a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}} \geq 5 $

$\frac{2(a^{5}+b^{5}+c^{5}+a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}}= \frac{(a^{5}+b^{5}+c^{5})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{(a^{5}+b^{5}+c^{5})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{9}{(a+b+c)^{2}}\geq 5\sqrt[5]{\frac{9(a^{5}+b^{5}+c^{5})^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{((a^{3}+b^{3}+c^{3})^{4})(a+b+c)^{2}}}$

Cần CM: $3(a^{5}+b^{5}+c^{5})(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}(a+b+c)$

Hiển nhiên từ 2 BĐT sau: 

$\left\{\begin{matrix} (a^{5}+b^{5}+c^{5})(a+b+c)\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2} & \\ 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2} & \end{matrix}\right.$

Cho $a,b,c>0$.  Chứng minh rằng:

$(a^2+2bc)(b^2+2ca)(c^2+2ab)\geq abc(a+2b)(b+2c)(c+2a)$

$\left\{\begin{matrix} (a^{2}+2bc)(1+\frac{2b}{c})\geq (a+2b)^{2} & \\ (c^{2}+2ab)(1+\frac{2b}{a})\geq (c+2b)^{2} & \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} (a^{2}+2bc)^2(1+\frac{2b}{c})^2\geq (a+2b)^{4} & \\ (c^{2}+2ab)(1+\frac{2b}{a})\geq (c+2b)^{2} & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (a^{2}+2bc)^{2}(c^{2}+2ab)\geq ac^{2}(a+2b)^{3}$

Tương tự 2 BĐT còn lại nhân lại hạ bậc ta có ĐPCM

Xin trích lại lời giải của anh nguyenta98:

 

 

Giải như sau:
Đặt $a=2x^3$ khi ấy $27a+1=y^3,a=2x^3 \Rightarrow a(27a+1)=2(xy)^3=2t^3$
Suy ra $2a(54a+2)=(2t)^3=k^3$ suy ra $u(27u+2)=k^3 \Rightarrow 9u(3.(9u)+2)=9k^3$
Do đó đặt $v=9v$ khi ấy $v(3v+2)=9k^3 \Rightarrow 3v(3v+2)=(3k)^3=m^3$
Lúc này phương trình là $9v^2+6v=m^3 \Rightarrow (3v+1)^2=m^3+1=(m+1)(m^2-m+1)$

Vì $gcd(m+1,m^2-m+1)=1,3$ mà $3v+1 \not \vdots 3$ nên $gcd(m+1,m^2-m+1)=1$ do đó $m^2-m+1=l^2$ giải phương trình nghiệm nguyên này thu được $m=0$ do đó $v=0$

Đưa về quá trình đặt ẩn ban đầu thu được $x=0,y=1$

 

 

Lần sau đăng đúng box nha bạn

cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ 

C/m $\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{yx}}\geq xy+yz+xz$

$\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{yx}}=\frac{x^{2}}{x\sqrt[3]{yz}}+\frac{y^{2}}{y\sqrt[3]{xz}}+\frac{z^{2}}{z\sqrt[3]{yx}}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\sqrt[3]{xyz}(\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{y^{2}}+\sqrt[3]{z^{2}})}\geq (xy+yz+zx)$

Hiển nhiên vì $xyz\leq 1;\sum \sqrt[3]{x^{2}}\leq \sum \frac{(x^{2}+1+1)}{3}=3$

Em cảm ơn chị!

P/s:Giả thiết cho mà mình không sử dụng vẫn được hả chị? Em tưởng cho cái gì thì phải dùng cái đó chứ!

Khi xét dấu "=" vẫn phải dùng giả thiết chứ em Dấu "=" của BĐT chị là $a=b=c$ kết hợp giả thiết $abc=1$ và $a,b,c$ dương ta có dấu bằng là $a=b=c=1$

Chị ơi, sao ra được cái này zạ? Em ko hiểu lắm! Mà hình như chị ko sử dụng gt abc=1?

P/s: Câu ns của Bill? Ý chị là cái chữ kí của em ý hả? Em thấy nó hay mà!

$(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left [(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \right ]\geq 0\Rightarrow a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}$

Bài này chỉ cần $a,b,c>0$ hoặc có cách khác sử dụng $abc=1$ còn cách chị thì giả thiết này cho đẹp thôi!

Hì hì Chị nói đùa thôi

Cho ba số dương a, b, c thỏa abc=1. Chứng minh: $\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+\frac{9}{2(ab+bc+ca)}$>=$\frac{9}{2}$

$\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}+\frac{a^2}{c}+\frac{9}{2(ab+bc+ca)}\geq a+b+c+\frac{9}{2(ab+bc+ca)}\geq \sqrt{3(ab+bc+ca)}+\frac{9}{2(ab+bc+ca)}=\frac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{2}+\frac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}{2}+\frac{9}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{9}{2}$      (Am-Gm)

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác không nhọn .CHứng minh rằng
$(a^2+b^2+c^2).(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\geq 10$

$\Leftrightarrow \sum \left (\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}} \right )\geq 7$

Giả sử a là cảnh lớn nhất: $\Rightarrow a\geq \sqrt{b^{2}+c^{2}}\geq \sqrt{2bc}$   (Tam giác không nhọn)

$\Rightarrow (\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}})+(\frac{a^{2}}{4c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}})+(\frac{a^{2}}{4b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}})+\frac{3}{4}(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{a^{2}}{c^{2}})\geq 2+1+1+3=7$  (Am-Gm)

Cho số thực $0 < t < 1.$ Chứng minh rằng

\[3+36t^2+6t^3 \geqslant 20t(t^3+1).\]

$3+36t^2+6t^3 \geqslant 20t(t^3+1)\Leftrightarrow \left [2+26t^{2}+6t^{3}-20t^{4}-14t \right ]+\left [ 10t^{2}+1-6t \right ]\geq 0$

$\Leftrightarrow 2(1-t)(10t^{3}+7t^{2}-6t+1)+t^{2}+(3t-1)^{2}\geq 0$

Đúng vì $10t^{3}+7t^{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\geq 5\sqrt[5]{\frac{70}{27}}.t\approx 6.04946t> 6t> 0$

Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng: $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{10}{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

Am-Gm:

$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c}{b}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^{2}}{ab}}=\frac{3c}{\sqrt[3]{abc}}$

...............  $\Rightarrow \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}=\frac{8}{9\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{9\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}\geq \frac{8}{9.(\frac{a+b+c}{3})}+1\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{10}{3}$

$\frac{10}{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq \frac{10}{9(\frac{(a+b+c)^2}{3})}=\frac{10}{3}$

....

2, Với mọi số dương a;b;c. Chứng minh: $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq a+b+c$

Trông có vẻ phức tạp nhưng :

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq a+b+c$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\geq \frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}$

$\frac{ab}{a+b}\leq \frac{ab}{2\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}\sqrt{ab}$.............

1, Với x, y >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $Q=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$
 

Am-Gm:

$\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{2y}{x})^{3}}}=\frac{1}{\sqrt{(1+\frac{2y}{x})(\frac{4y^{2}}{x^{2}}-\frac{2y}{x}+1)}}\geq \frac{2}{\frac{4y^{2}}{x^{2}}+2}=\frac{1}{\frac{2y^{2}}{x^{2}}+1}$

$\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}=\sqrt{\frac{4}{1+(\frac{x}{y}+1)^{3}}}=\frac{2}{(\sqrt{1+\frac{x}{y}+1)((\frac{x}{y}+1)^{2}-\frac{x}{y})}}\geq \frac{4}{(\frac{x}{y}+1)^{2}+1}$

Đặt $\frac{x}{y}=a\rightarrow \frac{y}{x}=\frac{1}{a}$

CM: $\frac{1}{\frac{2}{a^{2}}+1}+\frac{4}{(a+1)^{2}+2}\geq 1\Leftrightarrow 2(a-1)^{2}\geq 0$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geq 1$

Cho a,b,c>0, $\sum a=3$

CMR $\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\geq 1$

$\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\geq 1$

$\frac{a^2b}{2+a^2b}+\frac{b^2c}{2+b^2c}+\frac{c^2a}{2+c^2a}\leq 1$

Am-Gm:

$\frac{a^2b}{2+a^2b}=\frac{a^2b}{1+1+a^2b}\leq \frac{a^{2}b}{3\sqrt[3]{a^{2}b}}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{a^{4}b^{2}}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{a^2.ab.ab}\leq \frac{1}{9}(a^2+2ab)$

Tương tự ...........

$\Rightarrow \frac{a^2b}{2+a^2b}+\frac{b^2c}{2+b^2c}+\frac{c^2a}{2+c^2a}\leq \frac{1}{9}(a+b+c)^{2}=1$       (ĐPCM)

tại sao suy ra được luôn thế ạ??

$\rightarrow \sqrt{xy+9+3(x+y)}\geq \sqrt{6(x+y)}\geq \sqrt{2(x+y)^{2}}=\sqrt{2}(x+y)$

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.

Chứng minh rằng: $\frac{a}{\sqrt{1+bc}}+\frac{b}{\sqrt{1+ca}}+\frac{c}{\sqrt{1+ab}}\leq \frac{3}{2}$

em tưởng dấu bằng là  ( 3;0;0) và các hoán vị chứ

À đúng rồi em! Chị viết lộn  

Cho $x,y,z$ là các số không âm thỏa mãn $x+y+z=3$ . TÌm giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}+\sqrt{z+3}$

$(\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}+\sqrt{z+3})^{2}=(x+y+z+3)+2\sum \sqrt{(x+3)(y+3)}=12+2\sum \sqrt{xy+9+3(x+y)}$

Do $\left\{\begin{matrix} x,y,z\geq 0 & \\ x+y+z=3 & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x-3)(y-3)\geq 0 & & \\ (y-3)(z-3)\geq 0& & \\ (z-3)(x-3)\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy+9\geq 3(x+y) & & \\ yz+9\geq 3(y+z) & & \\ zx+9\geq 3(z+x) & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow xy+9+3(x+y)\geq 6(x+y)\geq 2(x+y)^{2}$    (Do $x+y\leq 3$)

                     Tương tự ...

$\Rightarrow 12+2\sum \sqrt{xy+9+3(x+y)}\geq 12+2\sqrt{2}(x+y+y+z+z+x)=12+12\sqrt{2}$

$\Rightarrow P\geq 2\sqrt{3}+\sqrt{6}$

Dấu "=" là $\left ( 3,0,0 \right )$ và hoán vị

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 18: $(\sqrt{2-x^{2}}+1)(3-x^{2})+4x-4=0$

Bài 20: $\left\{\begin{matrix} &x^{3}+x^{2}+4x+16=y^{3}-5y^{2}+12y \\ &3x^{2}+3x+y-5=4(y+2)\sqrt{3x+y-5} \end{matrix}\right.$

Bài 21: $\left\{\begin{matrix} &2\sqrt{x+y-1}+\sqrt{2x-1}=\sqrt{4x^{3}+3x^{2}+2} \\ &2\sqrt{\frac{x^{2}+2}{6}}+\sqrt{\frac{3x-2y}{2}}=\sqrt{\frac{2x^{2}+4x-y+4}{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 37: $\left\{\begin{matrix} &(7x+y-2)\sqrt{xy+1}-15x-10=(x-y+7)(6x+2y-13) \\ &2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}.y-6 \end{matrix}\right.$

Bài 85: $\frac{9x^{2}-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}=\frac{(\sqrt{x-1}-1)(2x-4)}{x}$

Bài 88**: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Bài 123: $\frac{1}{1+\sqrt{1+x}}+\frac{3x}{2(1+\sqrt{1+3x})}+\frac{1}{1+\sqrt{1+5x}}=\frac{2\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{4}$

Bài 161:a, $3\sqrt{8x^{3}+3}+1=6\sqrt{2x^{2}-2x+1}+8x$ 

c, $x\sqrt[3]{17-x^{2}}+x\sqrt{17-x^{2}}=9$ 

Bài 164: $\sqrt[3]{x^{3}+1}-\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[6]{x^{2}-1}$

Bài 183: $4^{x+1}+5^{\left | x \right |}=3^{\sqrt{x^{2}+1}}$

Bài 184: $x^{\sqrt{x^{2}+2}}+\sqrt[3]{x^{2}+7}=3x$

Bài 186: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 187: $\left\{\begin{matrix} &8x^{3}-12x^{2}y+12xy-26x^{2}+28x-3y-3=0 \\ &y^{3}-6xy^{2}+9y^{2}-24xy+24x+24y+25=0 \end{matrix}\right.$

Bài 188: $\sqrt{x^{3}+5}+2\sqrt[3]{2x+1}+x=0$

Bài 199: $4x^{3}-4x-x\sqrt{1-x^{2}}+1=0$

Bài 202: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x+y}(\sqrt{x}+1)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+2 \\ &x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^{2}+4y-4}{2} \end{matrix}\right.$

Bài 225: $\left\{\begin{matrix} &y^{3}+2x^{3}+3y^{2}+4y+3xy(x+y+2)=2(3x^{2}-16x+14) \\ &5x^{2}+3x+y+3=\sqrt{y^{2}+4x+8}+3x\sqrt{2x^{2}-y+4} \end{matrix}\right.$

Bài 288: $2x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2}+x-2=0$

Bài 290: $(2\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2})^{2}.(4-3\sqrt{x+3})=\sqrt{x+3}+\sqrt{x+2}$

Bài 307: $\left\{\begin{matrix} (9x^{2}+2)x+(y-2)\sqrt{4-3y}=0 & & \\9x^{2}+y^{2}+\frac{4}{3}\sqrt{2-3x}=\frac{10}{3} & & \end{matrix}\right.$

Bài 314: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy=3y^2-y\sqrt{xy} & \\ & \frac{y^2}{1+\sqrt{2-x}}+\frac{(2-x)^2}{1+y}=1 \end{matrix}\right.$

Bài 321: $\begin{cases} & y^{3}+\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}+2=y(\sqrt{x-1}-\sqrt{2-x}-1) \\ & 3xy^{2}-2y^{2}-2x+1=0 \end{cases}$

Bài 324: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 336: $\begin{cases} (1+3^{x-y})5^{1-x+y}=1+2^{x-y+2} & \text{ } \\ \sqrt[3]{y^{2}-3}-\sqrt{xy^{2}-2}+x=0 & \text{ } \end{cases}$

Bài 339: $(\sqrt{x-4}+1)^3= \sqrt{x^3+2}$

Bài 349: $(x-2)\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}+(x-2)(x+1)=6$

Bài 351: $\begin{cases} & x\sqrt{x-2y-1}+y\sqrt{x+2y-1}=2 \\ & x(x-y-2)+1=\sqrt[3]{y^{3}+3xy-3y+1} \end{cases}$

Bài 356: $(2x+4)\sqrt{5-x^{2}}+(x-1)\sqrt{5+x^{2}}\leq 7x+5$

Bài 360: $\begin{cases} & (x-2015)(2015+2016\sqrt[3]{y-2017})=1 \\ & \sqrt[3]{x-2014}(y-4032)=2016 \end{cases}$

Bài 380: $\left\{\begin{matrix} &(\sqrt{x+y-4}+1)^{2}=2y-7+2\sqrt{4x-xy} \\ &\dfrac{x+1}{y+2}+\dfrac{y+1}{x+2}=1+\dfrac{\sqrt{xy}}{4} \end{matrix}\right.$

Bài 388: $\frac{(x^{3}+3x^{2}\sqrt{x+1})(3-x)}{2+\sqrt{x+1}}=4(x+1)(2\sqrt{x+1}-x-1)$

Bài 395: $\begin{cases} & (x+y)^{2}+12\sqrt{x+y-6}=4x+3y+37 \\ & \sqrt{y^{2}-12}+10\sqrt{y}= x\sqrt{x^{2}y-5y}+10 \end{cases}$

Bài 398: $(2-5x)\sqrt{2x+1}+(5x+1)\sqrt{x+4}-\sqrt{(x+4)(2x+1)}-9x=0$

Bài 402: $\left\{\begin{matrix} x^3-xy^2+3x^2-2y^2-6y=4 & \\ x^2-y-3+\sqrt{2x+2y+3}=\sqrt{x^2+4x-3} \end{matrix}\right.$

Bài 413: $\left\{\begin{matrix} &y^{2}-x^{3}=\sqrt{x-1}-8 \\ &2\sqrt{y-1}+\sqrt{x-1}+12x-5y=20 \end{matrix}\right.$

Bài 418: $x^3+\sqrt{(x+1)^3} + 1 = 2x^2 + 2x + 2x\sqrt{2x+1}$

Bài 428: $\begin{cases} & y-6=\sqrt{y-4}+\sqrt{3-x}+\sqrt{x} \\ & \sqrt{4x+y}+\sqrt{3x^{2}+y-4}=x^{3}+7x-xy+2 \end{cases}$

Bài 439: $3x+2+2\sqrt{2x^2+6x+21-(x+6)\sqrt{2-x}}=2\sqrt{2x+5}$

Bài 440: $\frac{x^2-2+\sqrt{x}(2x-\sqrt{x}-4)}{\sqrt{2x-4\sqrt{x-1}}-1}=\sqrt{4-x^2}$

Bài 462**: $\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

Bài 485: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}-y}=\dfrac{2y}{x(4x-1)} \\ &\sqrt[3]{2x^{2}+8y}=\dfrac{7-4y}{x(x+1)} \end{matrix}\right.$

Bài 486**: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{x^{3}+y^{6}}\left ( 2+\dfrac{x^{4}}{x^{3}+5y^{6}} \right )=\dfrac{22x^{2}}{5} \\ &\dfrac{2y^{3}}{x^{4}}-\dfrac{y^{3}}{x^{3}+5y^{6}}=\dfrac{9}{10x^{2}} \end{matrix}\right.$

Bài 493: $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x^6}-y^3+\dfrac{1}{x^2}-3y^2+\dfrac{3}{x}-y=0 \\ x^2+x\sqrt{y}-\dfrac{1}{y}+y^2=2 \end{matrix}\right.$

Bài 495: $\large 2^{\sqrt{x^2+1}}=3^{\sqrt{x}+1}.$

Bài 499: $\left\{\begin{matrix} &x(y-9)+\sqrt{y-1}+1=0 \\ &y(18x^{2}+1)=3x+22+(x+1)^{2} \end{matrix}\right.$

Bài 514: $\left\{\begin{matrix} &\sqrt{2x-1}-y(1+2\sqrt{2x-1})=-8 \\ &y^{2}+y\sqrt{2y-1-4x}-2x+y=13 \end{matrix}\right.$

Bài 516: $\left\{\begin{matrix} x^3-3x^2-3y^2+3x+4y-1=0 \\ y^3-3xy-x+12y-7-6y^2=0 \end{matrix}\right.$

Tìm GTNN của $\frac{x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+9}{x^{2}+2x}$ với x>0

$\frac{x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+9}{x^{2}+2x}=\frac{(x^{2}+2x)^{2}+9}{(x^{2}+2x)}=(x^{2}+2x)+\frac{9}{x^{2}+2x}\geq 6$

Cho : $3a^{2}+2b^{2}+c^{2}=6$

tìm min,max của:      $2(a+b+c) -abc$ 

$(2(a+b+c) -abc)^{2}=(\sqrt{2}.\sqrt{2}(a+b) +c.(2-ab))^{2}\leq (c^{2}+2)(2(a+b)^{2}+(2-ab)^{2})=(c^{2}+2)(2a^{2}+2b^{2}+a^{2}b^{2}+4)=(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)$

$\Rightarrow P^{2}\leq (a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)=\frac{(3a^{2}+6)(2b^{2}+4)(c^{2}+2)}{6}\leq \frac{(3a^{2}+6+2b^{2}+4+c^{2}+2)^{3}}{6.27}=36$

$\Rightarrow -6\leq P\leq 6$

.....................................................

$\left\{\begin{matrix} max\rightarrow (0;1;2) & \\ min\rightarrow (0;-1;-2) & \end{matrix}\right.$

Cho $a, b, c > 0.$ Chứng minh rằng $\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4.$

$\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a+b}{2\sqrt[3]{abc}}+\frac{b+c}{2\sqrt[3]{abc}}+\frac{c+a}{2\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4$ 

Em xin đề cử tpdtthltvp, bạn baopbc, I love MC và anh bangbang1412. (Anh Zaraki nhưng ảnh không vô).

Về phần em, em thấy bản thân còn chưa xứng đáng, trước đây lượng lớn bài viết của em cũng chưa có chất lượng tốt và đôi lúc chưa thực sự biết cách thảo luận và ứng xử, em xin phép không tham gia bình chọn.(Nếu có). Nếu có điều kiện 2017 em sẽ cố gắng hơn