Cho $x;y;z$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$.Chứng minh rằng
$x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}z+y^{2}x+z^{2}y\geq 6$

Như thế nào

Tớ đoán thế,nhiều bài cũng ra căn mà

Mà sao x ra lẻ vậy bạn, bạn xem đề có sai không???

Ra lẻ nhưng nếu để dạng căn thì vẫn đẹp mà

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có AB=c;AC=b.Kẻ đường cao AH.Từ H kẻ HD vuông góc với AB và HE vuông góc với AC.CMR $\sqrt[3]{BD^{2}}+\sqrt[3]{CE^{2}}=\sqrt[3]{BC^{2}}$

$a)$ Cho $\frac{2}{a}+\frac{3}{b}+\frac{6}{c}=4$
Tìm Max $C=\frac{1}{6a+2b+c}+\frac{1}{3a+4b+c}+\frac{1}{3a+2b+2c}$
$b)$ Cho $\frac{x}{6}+\frac{y}{4}+\frac{z}{3}=\frac{1}{3}$
Tìm Max $B=\frac{xy}{4z+1}+\frac{2yz}{2x+1}+\frac{4zx}{9y+3}$
Với $a;b;c;x;y;z$ là các số thực dương tùy ý

Với $x;y;z$ là các số thực dương tùy ý ,CMR
$\frac{9x}{y+6z}+\frac{4y}{2z+x}+\frac{72z}{3x+2y}\geq 9$
 

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a,b>0)$ (c/m dễ dàng bằng cách biến đổi tương đương)

Ta có: 

$\frac{4}{2x+y+z+4}\leq \frac{1}{x+y+2}+\frac{1}{x+z+2}\leq \frac{1}{2\sqrt{(x+1)(y+1)}}+\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(z+1)}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{2}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )$

Tương tự với 2 phân số còn lại ta suy ra:

$\sum \frac{4}{2x+y+z+4}\leq \sum \frac{1}{x+1}\rightarrow đpcm$

$\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(y+1)}}+\frac{1}{2\sqrt{(x+1)(z+1)}}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{2}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )$
chỗ này làm thế nào ạ,mình hơi ngu tí     

$\frac{2x+3y}{2x+3z}+\frac{4y+3z}{4y+x}+\frac{6z+x}{6z+2y}\geq 3$
Với $x;y;z$ là 3 số thực dương tùy ý

$\frac{1}{2x+y+z+4}+\frac{1}{x+2y+z+4}+\frac{1}{x+y+2z+4}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \right )$
Với $x;y;z$ là ba số thức dương tùy ý

Giải phương trình nghiệm nguyên:

$x^2+6y^2+2z^2=4t^2$

Bạn có thể giải bải này được không ạ

$PT\Leftrightarrow x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}$.Vì $x,y,z \in N^*\Rightarrow 2\sqrt{3}=2\sqrt{yz}$
mà $3$ là số nguyên tố$\Rightarrow y=1,z=3$ và hoán vị$,x=4$

bạn giải thích rõ hơn tại sao Vì $x,y,z \in N^*\Rightarrow 2\sqrt{3}=2\sqrt{yz}$ chỗ này được không ạ

Tìm ngiệm nguyên dương của phương trình sau $\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}$

Đặt $\sqrt{x+4}=2y+1$

=> hpt

Làm thế nào nữa bạn ạ

$\sqrt{x+4} +4x^{2} +x-4=0$

$2x^{2}-6x+5=\sqrt{3-2x^{2}}$

$\sqrt{x+1}-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=1$

Do có $a+b+c+d=0$ nên đa thức $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ có 1 nghiệm $x=1$.

Ta có $(1)\Leftrightarrow (x-1)[ax^{2}+(a+b)x+a+b+c]\leq 0$ (chia Hoocne) $(2)$

$*$ Xét khi $x=1, \Rightarrow$ thỏa mãn.

$*$ Xét khi $x> 1,(2)\Leftrightarrow ax^{2}+(a+b)x+a+b+c\leq 0$

$*$ Xét khi $x< 1,(2)\Leftrightarrow ax^{2}+(a+b)x+a+b+c\geq 0$

 

Tiếp hteo của từng cái chắc có nước đem đi biện luận theo tham số a vs denta thôi @@ bài có vẽ căng ~~

ĐÁN ÁN RA LÀ $X\leq 1$

$\sqrt{x^{3}-5}+\sqrt{3x^{2}-2}=\sqrt{7x+1}+5$

sáng tạo bất đẳng thức

Bài này Khó và chứng minh rất công phu : 

Capturex.JPG

Không mất tính tổng quát ta giả sử $AB>AC$ .Vì thế mà $AB-AC=d>0$ ($d$ cố định do tam giác $ABC$ cố định )

 Trên AB dựng điểm $L$ sao cho $AC=LB$ 

  $\Rightarrow AB-AC=(AL+LB)-AC=AL$ .Suy ra $AL=d=const$

 Giả sử $K$ gọi là giao điểm của đường trung trực $DE$ và $(ADE)$ 

Vì tam giác $KLD$ và tam giác $KAE$ có $KD=KE$ , $LD=AE$ ,$\widehat{KDA}=\widehat{KEA}$

 nên $\Delta KLD=\Delta KAE$ .Do đó mà $\widehat{AKL}=\widehat{EKD}=\widehat{BAC}=const$

Nhưng tam giác $KDE$ cân nên $KAL$ cân ( tại $K$ )

 Từ đó ta có dựng được tam giác $KAL$ cân và cố định

Bởi $JG$ song song $MK$  ( Gọi đường thẳng qua trọng tâm $G$ của tam giác $ADE$ vuông $DE$ cắt $AK$ tại $J$)
nên theo $Tales$ suy ra được rằng $\frac{AJ}{JK}=\frac{AG}{GM} =2$ ( $M$ là trung điểm $DE$ )
Từ đó kết luận đường thẳng đi qua trọng tâm $G$ vuông $DE$ chia trong đoạn $AK$, tại $J$ cố định .

                                                         Hoàn thành chứng minh 

Bạn có biết tài liệu về quỹ tích hình không ạ cho mình tham khảo với

$CMR:\frac{1+2x}{1+3y}+\frac{1+3y}{1+4z}+\frac{1+4z}{1+2x}\leq 2x+3y+4z$
Biết $xyz=\frac{1}{24}$

Tìm $x$ sao cho $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\leq 0$ và $a+b+c+d=0$ ($a$ khác $0$)

$\sqrt{x^{2}+3x+5}+\sqrt{4-3x-x^{2}}=4$

Biến đổi sau đó được $x^{3}+x^{2}+4x+3=0$ =>>$x=....$

$LHS.(a+b+c)\geqslant ^{B-C-S}(\sum \frac{a}{ab+a+1})^2=1\Rightarrow LHS\geqslant \frac{1}{a+b+c}$

Bạn giải chi tiết hơn được không ạ