theo bồ đề về bộ 3 pytago ta gọi x,y,z là 3 cạnh tam giác vuông vậy x,y,z phải thỏa mãn x=2mn và y=$m^2-n^2$ và z=$m^2+n^2$ hoặc  y=2mn và x=$m^2-n^2$ và z=$m^2+n^2$ với z là cạnh huyền (m,n)=1 m>n  từ đây bạn thế vào giả thiết là diện tích bằng chu vi ra hai nghiệm 1 cái loại do ko thỏa  cái còn lại thì rút m theo n rồi thế vào 2 hệ trên thì ra đc 2 bộ nghiệm của bài toán

1a) $y=\frac{3x^3-5}{x}=3x^2-\frac{5}{x}$ suy x=1(loại) hoặc bằng x=5 (nhận)

kẻ DN vuông AH, EM vuông AH suy ra tam giác DNA bằng tam giác AHB suy ra DN=AH chưng minh tương tự suy ra EM=AH vậy dến đây dễ rồi

  Cho tam giác ABC. Điểm I chuyển động trên cạnh BC. Gọi D là hình chiếu của I trên AB. E là hình chiếu của I trên AC. Lấy M đối xứng với A qua D. N đối xứng với A qua E. Chứng minh rằng

 a, I là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A,M,N

 b, Đường tròn (I) ở trên luôn đi qua 1 điểm cố định khác A.

a)do IA=IM=IN là do tính chất trung trực

b) điểm cố định là điểm đối xứng của A qua BC chứng minh điểm này thuộc đường tròn I là do tính chất trung trực 

Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa $ab+bc+ca=1.$ Chứng minh rằng $:$
$\sum \frac{a^{3}}{1+9ab^{2}c} \geq \frac{(\sum a)^{3}}{18}.$

áp dụng holder cho 3 bộ (1,1,1) ;($\sum \frac{a^{3}}{1+9ab^{2}c}$) ;($\sum (1+9ab^2c)$) vậy ta có $3(\sum (1+9ab^2c))(\sum \frac{a^{3}}{1+9ab^{2}c} ) \geq(a+b+c)^3$ đến đây ta sẽ chứng minh $\sum (1+9ab^2c) \leq 6$ vậy ta phải chứng minh$\sum (ab^2c) \leq \frac{1}{3}$ cái này đúng theo điều kiện đề bài $ab+bc+ac=1$

a) điểm I là tâm nội tiếp đó bạn

b) AI là phân giác nên đi qua điểm chính giữa cung BC 

c) đường tròn có tâm là điểm chính giữa cung lớn BC bán kính từ điểm đó đến C

CMR:$\frac{1}{4+1^4}+\frac{3}{4+3^4}+...+\frac{2n-1}{4+(2n-1)}=\frac{n^2}{4n^2+1}$

hình như chỗ này phải là bậc 4 phải không bạn

đề A chưa tối giản thì $n+1|n^2+5$ suy ra $n+1|n(n+1)-(n+1)+6$ suy ra $n+1|6$ suy ra $\frac{6}{n+1}$ chưa tối giản

$\frac{2009}{6-x}+\frac{2011}{4-x}+\frac{2013}{2-x}=\frac{2010}{5-x}+\frac{2012}{3-x}+\frac{2014}{1-x} \Leftrightarrow \frac{2009}{6-x}+1+\frac{2011}{4-x}+1+\frac{2013}{2-x}+1=\frac{2010}{5-x}+1+\frac{2012}{3-x}+1+\frac{2014}{1-x}+1\Leftrightarrow (2015-x)(\frac{1}{6-x}+\frac{1}{4-x}+\frac{1}{2-x}-\frac{1}{5-x}-\frac{1}{3-x}-\frac{1}{1-x})$ đến đây đễ rồi

cho tam giác ABC , trực tâm H, tia Hx cắt đường tròn 9 điểm của tam giác và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M và N chứng minh M là trung điểm HN

thiếu ràng buộc giữa Ax và By rồi bạn mình đoán là song song vì nếu ko thì câu c sai để

cho (O), A nằm ngoài đường tròn, kẻ 2 cát tuyến ADE và AFG ( D nằm giữa A.E và F nằm giữa A,G ) DF cắt FG tại H, vẽ d đi qua H và  vuông với OA cắt (O) tại 2 điểm B,C chứng minh AB,AC là 2 tiếp tuyến của (O)

đặt $\overline{abc}=x$ và $\overline{def}$ bằng y giải phương trình $100x+y=x^2+2xy+y^2$ dùng delta theo biến x suy ra $2500-99y=a^2$ cái này giải ra y có 3 giá trị là 0,1,5 thế vào chỉ có 0 thỏa xong

chứng minh bất kì số nào cũng có thể biểu diễn dưới tổng của các lũy thừa của 2

theo AM-GM 

$\frac{a^{3}}{b^{2}}+a \geq 2\frac{a^{2}}{b}$

và $\frac{a^{2}}{b}+b \geq 2a$

vậy suy ra dpcm

gọi IE cắt AC tại M suy ra AME dồng dạng tam giác IAJ suy ra góc MAE= góc AIJ= góc AEJ suy ra AJED là hình bình hành suy ra AJ=DE=EC suy ra IE là trung trực của DC suy ra ID=IB mà ta có bổ đề IB=IC=IT suy ra BCDT nội tiếp đường tròn tâm I

Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3$.Tìm $GTNN$ của biểu thức:

           $T=\frac{1}{\sqrt{8^a+1}}+\frac{1}{\sqrt{8^b+1}}+\frac{1}{\sqrt{8^c+1}}$

$$a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3$$ theo chebyshev ta có $\sum a^3 \geq \frac{1}{3}(\sum a)(\sum a^2)=\frac{1}{3}(\sum a)(\sum a^3)\Leftrightarrow \sum a \leq 3$

theo holder cho $(\sum (8^a+1))T^2 \geq 27$ tiếp tục ta sử dụng bernoulli cho $8^a=(1+7)^a \leq 1+7a$ vậy từ đây đễ dàng dẫn tới T $\geq 1$

Chứng minh $\sum \frac{1}{1+3a^2} \ge \frac{16}{7}$

đề thiếu điều kiện rồi bạn ơi