Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$
Chứng minh rằng : $\frac{a^2(b+1)}{b(a^2+ab+b^2)}+\frac{b^2(c+1)}{c( b^2+bc+c^2)}+\frac{c^2(a+1)}{a(c^2+ca+a^2)} \geq \frac{6}{a+b+c}$

Cách của mình riêng mình thấy hơi dài dòng K biết có ai có cách ngắn hơn không nữa

Ta có  : $VT = \sum \frac{a^{2}(b+1)}{b(a^{2}+ab+b^{2})} = \sum \frac{1}{b}-\sum \frac{a+b-a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} = \sum \frac{1}{b} - \sum \frac{a+b}{a^{2}+ab+b^{2}} + \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}$ 

Ta có bđt phụ sau : $a^{2}+ab+b^{2}=\frac{3}{4}(a+b)^{2} + \frac{1}{4}(a-b)^{2} \geq \frac{3}{4}(a+b)^{2}$

=> VT $\geq \sum \frac{1}{a} - \sum \frac{4}{3(a+b)} + \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sum \frac{1}{a} - \sum \frac{2}{3a} + \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} = \sum \frac{1}{3a} + \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}} \geq \frac{3}{a+b+c} + \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}$ ( Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} => \frac{1}{3a} + \frac{1}{3b}\geq \frac{4}{3(a+b)}$ )

=> Ta cần chứng minh : $\frac{3}{a+b+c} + \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{6}{a+b+c} <=> \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{3}{a+b+c}$

Do : $\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 1$ ( Cái này bạn có thể tìm trên VMF có người chứng minh rồi đấy ) 

Và : $\frac{3}{a+b+c}\leq 1$ ( AM-GM)

=> Q.E.D 

Cho các số thưc dương a,b,c thoa man $ a+b+c \geq ab+bc+ac$

cm:

$\frac{a^2}{a+b^2} +\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2} \geq \frac{a+b+c}{2}$

                                           

cho các số thưc $a,b,c abc<0$  va $a+b+c=0$ tìm gtnn  $P =(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(1-ab-bc-ac) +\frac{12abc-8}{ab+bc+ac}$

Chém tạm bài 1 ạ : 

$\sum \frac{a^{2}}{a+b^{2}}=\sum a-\sum \frac{ab^{2}}{a+b^{2}} \geq \sum a- \sum \frac{ab^{2}}{2b\sqrt{a}} = \sum a - \frac{\sqrt{a}b}{2} \geq \sum a - \frac{\sqrt{(\sum a)(\sum ab)}}{2} \geq \sum a - \frac{\sum a}{2}$ ( Do $ a+b+c \geq ab+bc+ac$ ) => ĐPCM 

Cho $0\le a,b,c \le 1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{1+b+c}+\frac{b}{1+c+a}+\frac{c}{1+a+b}+(1-a)(1-b)(1-c) \le 1$

 

Bài này có trong cuốn pp latep nên mình lười gõ nữa nha

a+b+c = 2 Chứng minh rằng : $(a+b-ab)(b+c-bc)(c+a-ca)\leq 1-abc$

Đặt $a=1-x;b=1-y;c=1-z$ suy ra $x+y+z=1$

$\Rightarrow a+b-ab=2-x-y-(1-x)(1-y)=1-xy$

Chứng minh tt ta có $b+c-bc=1-yz;c+a-ac=1-zx$

Ta cần cm:$(1-xy)(1-yz)(1-zx)\leq 1-(1-x)(1-y)(1-z)\Leftrightarrow (xyz)^{2}-xyz(x+y+z)+xyz+x+y+z-1\geq 0\Leftrightarrow (xyz)^{2}\geq 0$ (luôn đúng do $x+y+z=1$)

Dấu ''='' xảy ra khi $a=b=1;c=0$ và các hoán vị

1.Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}$ biết $a+b+c\geq 3$

2.Cho a,b,c dương thuộc $\begin{bmatrix} 3;5 \end{bmatrix}$*

3.Cho a,b,c>0.tìm gtln của $P=\sum \frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}$

4.Tìm min max của $A=\frac{x-y}{x^4+y^4+6}$

bài 3 nha <3

Ta có : $P=\sum \frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}} => 2P=\sum \frac{2\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}=3-\sum \frac{c}{c+2\sqrt{ab}}\leq 3-\sum \frac{c}{a+b+c}=2$

=> Max P=1

Dấu = xảy  ra khi a=b=c <3

1.Cho a,b>1.CMR $\frac{6}{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}+\sqrt{3ab+4}\geq \frac{11}{2}$

2. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$

CMR: $\frac{1}{8a^2+1}+\frac{1}{8b^2+1}+\frac{1}{8c^2+1}\geq 1$

3.Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$

CMR: $\sum \frac{2a^2}{a+b^2}\geq a+b+c$

4.Cho $x,y,z>0$. CMR $\sum \frac{xy}{x^2+yz+zx}\leq \frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}$

5. Cho $a,b,c>0$ Tìm GTNN $A=\frac{a^2}{(a+b)^2}+\frac{b^2}{(b+c)^2}+\frac{c}{4a}$

6.Cho $x,y>0$ Tìm GTNN 

$A=\frac{2}{\sqrt{(2x+y)^3+1}-1}+\frac{2}{\sqrt{(2y+x)^3+1}-1}+\frac{(2x+y)(x+2y)}{4}-\frac{8}{3(x+y)}$

7. Cho $a,b,c>0$ và $ab+bc+ca=3abc$

CNR $\sum \frac{1}{\sqrt{a^3+b}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

4 :

Áp dụng AM-GM : $\frac{\sum x^{2}}{\sum xy}\geq 1$
-> Ta CM : $\sum \frac{xy}{x^{2}+xy+yz} \leq 1$
$\Leftrightarrow  \sum \frac{xy}{z^{2}+zx+xy}+\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+yz} \geq 2$
Áp dụng C-S :  $\sum \frac{xy}{z^{2}+zx+xy} \geq  \frac{(\sum xy)^{2}}{\sum x^{2}y^{2}+2xyz(x+y+z)}=1$
                      $\sum \frac{x^{2}}{x^{2}+xy+yz} \geq  \frac{(x+y+z)^{2}}{\sum (x^{2}+xy+yz)}=1 $
$\rightarrow  (đpcm)$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z$

Cho $a, b, c>0$ . Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+3\sqrt[3]{(abc)^{2}}\geqslant 2(ab+bc+ca)$

Ta có : $\sum a^{2}+3\sqrt[3]{(abc)^{2}}= \sum a^{2}+\frac{3abc}{\sqrt[3]{abc}}\geq \sum a^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(\sum ab)$ ( đúng theo schur )
Bạn có thể tìm hiểu thêm về bđt schur tại đây :[post='Đây']https://julielltv.wo...t-doi-bien-pqr/[/post]

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $abc = 1$.Chứng minh rằng:

        $a^4 + b^4 +b^4 + a + b + c + \frac{2a}{b^2+c^2} + \frac{2b}{a^2+c^2} + \frac{2c}{a^2+b^2} \geq 9$

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương tuỳ ý. Chứng minh rằng:

        $\sqrt{5a^2+4bc} + \sqrt{5b^2+4ca} + \sqrt{5c^2+4ab} \geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} + 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng:

        $\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+9$

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca = 1$. Chứng minh rằng:

        $\frac{a^3}{1+9b^2ca}+\frac{b^3}{1+9c^2ab}+\frac{c^3}{1+9a^2bc} \geq \frac{(a+b+c)^3}{18}$

Bài 5: Cho $a,b,c$ phân biệt. Chứng minh rằng: 

        $(a^2+b^2+c^2)\left ( \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}\right ) \geq \frac{9}{2}$

Bài 6: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$

     Tìm GTNN của $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ca}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

Bài 7: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right )+c\left ( \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2} \right )=6$.

     Tìm GTNN của $P=\frac{bc}{a(2b+c)}+\frac{ca}{b(2a+c)}+\frac{4ab}{c(a+b)}$

Bài 8: Cho 3 sô thực dương $x,y,z$ thoả mãn $x+y+z \leq \frac{3}{2}$.

     Tìm GTNN của $P=\frac{x(yz+1)^2}{z^2(zx+1)}+\frac{y(zx+1)^2}{x^2(xy+1)}+\frac{z(xy+1)^2}{y^2(yz+1)}$

Bài 9: Cho các số thực dương thoả mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1$.

     Tìm GTNN của $P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}$.

Mọi người giúp em với ạ. Em xin cảm ơn!!!

Bài 2 đã được anh dogsteven Giari . Mình xin trích lại như sau : 

Bất đẳng thức có tích rời rạc, việc đầu tiên của ta là gom lại.

Bất đẳng thức trên tương đương với: $\sum \dfrac{5a^2}{\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}}\geqslant \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $VT\geqslant \dfrac{5(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum a^2\sqrt{5a^2+4bc}+2\sum a^2\sqrt{bc}}$

Tiếp theo là "phá căn". Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$\sum a^2\sqrt{5a^2+4bc}\leqslant \sqrt{(a^2+b^2+c^2)\left[5(a^4+b^4+c^4)+4abc(a+b+c)\right]}$

$2\sum a^2\sqrt{bc}\leqslant \dfrac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a^2+b^2+c^2}(ab+bc+ca)$

Do đó ta chỉ cần chứng minh: $5(a^2+b^2+c^2)\geqslant \sqrt{15(a^4+b^4+c^4)+12(ab+bc+ca)}+2(ab+bc+ca)$

Đến đây dễ rồi.

Cho a,b,c dương chúng minh:

$\sqrt{\frac{a}{c+b+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\leq \frac{3}{2}$

Cách Khác : $(\sqrt{\frac{a}{c+b+2a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}})^{2}\leq 3 (\sum \frac{a}{c+b+2a})=3(3-\sum \frac{a+b+c}{c+b+2a})=3\left [3-(a+b+c)(\sum \frac{1}{c+b+2a}) \right ]\leq 3\left [ 3-(a+b+c)(\frac{9}{4(a+b+c)}) \right ]^{2}=\frac{9}{4}$

=> Đpcm 

Dấu = xảy ra khi a=b=c

Cho a,b,c>0.CMR $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}$

ta có : $\frac{1}{3a} + \frac{4}{3b}\geq \frac{9}{3(a+b)}=\frac{3}{a+b}$

   $\frac{1}{3b}+\frac{1}{3b}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2c}\geq \frac{36}{6b+8c}=\frac{18}{3b+4c}$                          

 $\frac{1}{c}+\frac{1}{3a}+\frac{1}{3a}\geq \frac{9}{c+6a}$

Cộng vế theo vế ta được đpcm 

Đẳng thức xảy ra khi a=1;b=2;c=3

Câu 1: $\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{\sqrt{xy}}$. Tìm Min 

câu 2: $a(a+b)^3+b(b+c)^3+c(c+a)^3\geq 0$ với a,b,c là các số thực

câu 3:Cho $a\geq 0 , b\geq 0,c\geq 0$. Chứng minh : $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{3}{abc+1}$

câu 4 cho số a,b,c dương. Chứng minh :  $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(1+\sqrt[3]{abc})}$

Chém tạm câu 4 vậy   

Đặt : $a=\frac{kx}{y} ; b= \frac{ky}{z};c=\frac{kz}{x}$

Bđt cần cm tương đương : $\sum \frac{yz}{k^{2}xy+kxz} \geq \frac{3}{k(k+1)}$

Ta có : $\sum \frac{yz}{k^{2}xy+kxz} = \sum \frac{(yz)^{2}}{k^{2}xzy^{2}+kxyz^{2}}\geq \sum \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{kxyz(\sum x+\sum kx)}\geq \sum \frac{3xyz(\sum x)}{kxyz(1+k)(\sum x)}= \frac{3}{k(k+1)}$ (Q.E.D)

Câu 3 bđt ngược dấu nếu thử với (a;b;c)=(0;1;1)

Trước hết, ta chứng minh BĐT sau :
$$\dfrac{1}{\sqrt{a^2+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2+ca}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+ab}} \le \sqrt{2}\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right )$$

Áp dụng CS, ta có :
$$\left (\sum \dfrac{1}{\sqrt{a^2+bc}}\right )^2 =\left [\sum \sqrt{\dfrac{(a+b)(a+c)}{a^2+bc}}.\dfrac{1}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\right ]^2 \le \left [\sum \dfrac{(a+b)(a+c)}{a^2+bc}\right ]\left [\sum \dfrac{1}{(a+b)(a+c)}\right ]$$
$$=\dfrac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}.\left [\sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}+3\right ]$$
Như vậy, chỉ cần chứng minh :
$$\dfrac{2(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}.\left [\sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}+3\right ]\le 2\left (\sum \dfrac{1}{b+c}\right )^2$$
$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}+3\le \dfrac{\left (a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ca\right )^2}{(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)}$$
$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a(b+c)}{a^2+bc}-3 \le \dfrac{a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}{(a+b)(b+c)(c+a)(a+b+c)}$$
$$\Leftrightarrow \sum (a-b)(a-c)\left [\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{(b+c)(a+b+c)}\right ] \ge 0$$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\ge b\ge c$, khi đó, ta có $a-c\ge \dfrac{a}{b}(b-c) \ge 0$
Do đó :
$$ \sum (a-b)(a-c)\left [\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{(b+c)(a+b+c)}\right ] \ge \dfrac{(a-b)(a-c)}{b}\left \{a\left [\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{(b+c)(a+b+c)}\right ]-b\left [\dfrac{1}{b^2+ca}+\dfrac{1}{(a+c)(a+b+c)}\right ]\right \}$$
$$=\dfrac{c(a-b)^2(a+b)(b-c)\left (a^2+b^2-ab+ac+bc\right )}{b(a+c)(b+c)(\left (a^2+bc\right )\left (b^2+ca\right )} \ge 0$$
Trở lại bài toán, ta chỉ cần chứng minh :
$$\sqrt{2}\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right ) \le \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt{2}(ab+bc+ca)}$$
Thật vậy :
$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ =\dfrac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
$$\le \dfrac{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}{8\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}} \le \dfrac{3}{2}\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ca}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{2}\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right ) \le \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt{2}(ab+bc+ca)}$$
BĐT đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.

Qúy <3 Kiên

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR

$4abc[\frac{1}{(a+b)^2c}+\frac{1}{(b+c)^2a}+ \frac{1}{(c+a)^2b}]+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c}\geqslant 9$

Ta có :

$4abc[\frac{1}{(a+b)^2c}+\frac{1}{(b+c)^2a}+ \frac{1}{(c+a)^2b}]+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+b}{c} = \sum \frac{4ab}{(a+b)^{2}}+\sum \frac{a+c}{2b} + \sum\frac{a+c}{2b} \geq 9$ (đpcm)

$a=b=1,c=0$ đâu có thỏa mãn giả thiết đâu?. Đẳng thức có lẽ xảy ra tại $\left( \frac{1}{2} ; \frac{1}{2}; 0 \right)$ và các hoán vị

Bài 1: Cho a, b, c dương

CMR: $2\leq \frac{(a+b)^{2}}{a^2+b^2+c^2+ab}+\frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{(c+a)^2}{a^2+b^2+c^2+ca}\leq 3$

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a+ b+ c=1

CMR: $a\sqrt{4b^{2}+c^2}+b\sqrt{4c^2+a^2}+c\sqrt{4a^2+b^2}\leq \frac{3}{4}$

Ta sẽ đi chứng minh :

Thầy xem có đúng k ạ

Cho a, b, c>0 thỏa mãn a+b+c=1

CMR: $\sqrt{2a^{2}+ab+2b^{2}}+\sqrt{2b^{2}+bc+2c^{2}}+\sqrt{2c^{2}+ca+2a^{2}}\geq \sqrt{5}$

Đối với những bài dạng như thế này , đầu tiên ta nhận thấy dấu = xảy ra tại a=b nên ta đưa nó về dạng : $\sqrt{(\alpha x+\beta y)^{2}+\gamma (x-y)^{2}}$ Để tìm Min

Mà : $\sqrt{(\alpha x+\beta y)^{2}+\gamma (x-y)^{2}} = \sqrt{(\alpha ^{2}+\gamma )x^{2}+(2\alpha \beta -2\gamma )xy+(\beta ^{2}+\gamma)y^{2} }$

Đồng nhất hệ số ta đưa nó về giải hệ : $$\left\{\begin{matrix} \alpha ^{2}+\gamma =2 \\2\alpha \beta -2\gamma =1 \\  \beta^{2}+\gamma=2\end{matrix}\right.$$

giải ra đươc : $\alpha =\beta =\sqrt{\frac{5}{2}} ; \gamma =\frac{3}{4}$

Sau đó đưa về cách giải của bạn le truong son đã đăng

Bài 1: Cho a, b, c dương

CMR: $2\leq \frac{(a+b)^{2}}{a^2+b^2+c^2+ab}+\frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{(c+a)^2}{a^2+b^2+c^2+ca}\leq 3$

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a+ b+ c=1

CMR: $a\sqrt{4b^{2}+c^2}+b\sqrt{4c^2+a^2}+c\sqrt{4a^2+b^2}\leq \frac{3}{4}$

Câu 5b .

Đưa về cm VT $\leq \frac{3}{4}(a+b+c)^{2}$

Cho $abc=1$

Tìm GTNN : $A= \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a }$

Nếu đề cho a.b.c dương và tìm max thì mình có cách giải như sau

Ta có :

$\frac{1}{1+a+b}=\frac{c+2}{(1+a+b)(c+1+1)}\leq \frac{c+2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}}=\frac{c+2}{a+b+c+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})}\leq \frac{c+2}{a+b+c+6}$

Thiết lập các bđt tương tự , cộng vế theo vế ta được Max A =1

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

5a . Đầu tiên ta chứng minh P $\leq 3$

Ta có : P-3=$\sum \frac{(a+b)^{2}}{\sum a^{2}+ab} -3 =\sum \frac{ab-c^{2}}{\sum a^{2}+ab} =\frac{(ab-c^{2})(3+\frac{1}{ab})}{(\sum a^{2}+ab)(1+1+1+\frac{1}{ab})} \leq \frac{3(\sum ab) -3(\sum c^{2})-\sum \frac{c^{2}}{ab}}{(a+b+c+1)^{2}}$ 

=> P-3 $\leq \frac{(a+b+c)^{2}+3-(a+b+c)^{2}-3}{(a+b+c+1)^{2}}=0$

=> P $\leq 3$ 

Dấu = tại a=b=c

Tiếp đến sẽ cm $\geq 2$ 

Ta có : $\sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab}\geq \sum \frac{(a+b)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab }=\frac{\sum (a+b)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab}=2$

Dấu = tại a=b=0 

Giải:

GT $\Rightarrow$ Tồn tại các số $x,y,z>0$ sao cho $a=\frac{y+z}{x};b=\frac{z+x}{y};c=\frac{x+y}{z}$

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y+z}}\leqslant \sqrt{3}$

Đến đây áp dụng BĐT Bunhiacopxki là ra

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

cái này là sao ạ

Từ giả thiết ta được : $x^{2}+y^{2}-xy=x^{2}y^{2}$

                                  $(x+y)^{2}=xy(xy+3) => x+y=\sqrt{xy(xy+3)}$ ( do x,y dương )

Ta có : 

$\frac{1}{x^{3}} + \frac{1}{y^{3}} = \frac{(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)}{x^{3}y^{3}} = \frac{(x+y)x^{2}y^{2}}{x^{3}y^{3}} = \frac{x+y}{xy}=\frac{\sqrt{xy(xy+3)}}{xy} = \sqrt{\frac{xy+3}{xy}} =\sqrt{1+\frac{3}{xy}}$

Bây h ta chỉ cần tìm min xy là bài toán được giải quyết .

$(x+y)^{2}=xy(xy+3) \leq \frac{(x+y)^{2}}{4}(xy+3) => xy+3\geq 4 => xy\geq 1$

=> Max A = 2

Cho a,b,c là các số thực dương. CMR

 $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\leq 3$

Ta có : $\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}\leq \sqrt{(\sum a+c)(\sum \frac{2a}{(a+b)(a+c)})} = \sqrt{\frac{8(a+b+c)(ab+bc+ca)}{\prod (a+b)}}$

Đến đây ta áp dụng bđt phụ : $\prod (a+b)\geq \frac{8}{9}(\sum a)(\sum ab)$

=> ĐPCM

Cho a,b,c dương thỏa mãn : a+b+c=2

Chứng Minh : $\frac{\sqrt{a}}{1+a} + \frac{\sqrt{b}}{1+a+b} + \frac{\sqrt{c}}{1+a+b+c}\leq \sqrt{2}$

Cho các số $a,b,c>0$; $a+b+c+abc=4$.

Chứng minh $\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{2}}$

Đã có ở đây ;

http://www.artofprob...unity/c6h127956

Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng

$(a^{2} + 2)(b^{2} + 2)(c^{2} + 2)\geq 9(ab + bc + ca)$

Đã có ở đây : 

http://diendantoanho...c2-geq-9abacbc/

Đề sai rồi bạn ơi. Cho $(a,b,c)=(3;2;0)$ là thấy