Bạn biết làm bài 4 với bài 7 ko, chỉ mik làm với

bài 7   đặt $x+\frac{1}{x}=a$

      $y+\frac{1}{y}=b$

      $\left\{\begin{matrix} a+b & & =4,9239\\ a^{2}+b^{2}&&=12,4648 \end{matrix}\right.$

      $\Rightarrow x^{3}+y^{3}+\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}=(a+b)(a^{2}-((a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2}))+b^{2})-(a+b)$

Thay vào là ra

66% sắt có trong 25 tấn quặng =25.(66/100)=16,5 (tấn)

quặng loại 1 chứa 75% sắt = x.(75/100)=0,75x (tấn)

quặng loại 2 chứa 50% sắt=y.(50/100)=0,5y (tấn )

Giải hệ gồm x+y=25

                    0,75x+0,5y=16,5 

Chứng minh định lý Fermat nhỏ: $a^{p-1}-1\vdots p$ Với (a;p)=1 và p nguyên tố

Xét dãy gồm (p-1)bội số đầu tiên của a:

              a, 2a , 3a,... ,  (p-1)a

Ta có:            a=B(p)+r₁

                      2a=B(p)+r₂

                      3a=B(p)+r₃

               .........

                     (p-1)a=B(p)+r_p-1

Trong đó r₁,r₂,r₃,..,r_p-1 theo thứ tự nào đó là (p-1) số tự nhiên đầu tiên 

                   r₁.r₂.r₃....r_p-1=(p-1)!

Suy ra:   a^p-1.(p-1)!=B(p)+(p-1)!

Hay (a^p-1-1).(p-1)! chia hết p 

Vì p nguyên tố , (p-1)! và p nguyên tố cùng nhau 

Vaayh a^p-1-1 chia hết p

Vậy m-1$\neq$1 thì sao

m-1 luôn bằng 1 vì 2^m-1 nguyên tố thì 2^m-1=2.Mà bài nay không phải thế đâu, đề sai rồi, 2^m-1.

Giải luôn.

Giả sử m hợp số $\Leftrightarrow m=pq$ , $p,q\in N$ và p,q>1

Ta có: $2^{m}-1=(2^{p})^{q}-1=(2^{p}-1)((2^{p})^{q-1}+(2^{p})^{q-2}+...+1)$

Vì p>1=>2^p-1>1

Và (2^p)^q-1+(2^p)^q-2+...+1>1

Suy ra 2^m-1 là hợp số, mâu thuẫn giả thiết => m không là hợp số

Khi m=1=> 2^m-1=1 không nguyên tố => m khác 1

Do đó m nguyên tố

Bài 1: Giả sử ax²+bx+c có nghiệm hữu tỷ

Khi đó: $\Delta =b^{2}-4ac$ là số chính phương 

Đặt $b^{2}-4ac=k^{2}$, với $k\in N\Rightarrow b>k$

Ta có : $4a.\bar{abc}=400a^{2}+40ab+4ac=(20a+b)^{2}-(b^{2}-4ac)=(20a+b)^{2}-(b^{2}+k^{2}-b^{2})=(20a+b+k)(20a+b-k)$

Do đó: $(20a+b+k)(20a+b-k)\vdots \bar{abc}\Rightarrow 20a+b+k\vdots \bar{abc}$ or $20a+b-k\vdots \bar{abc}$ (1)

Mà $\bar{abc}=100a+10b+c>20a+2b>20a+b+k>20a+b-k$ (Vì b>k)

Do đó (1) vô lý =>b²-4ac không chính phương => ax²+bx+c không có nghiệm hữu tỷ

Cần j đến Phéc-ma nhỉ , theo mình làm như sau nhé 
Vì với n>3 và $q^2+2^q$ là snt nên q lẻ suy ra $2^q \equiv 2(mod3)$
Ta lại có q ko chia hết cho 3 thì suy ra $q^2$ \equiv 1 (mod3) 
=> $q^2+2^q$ chia hết cho 3 ( vô lí)
Vậy không có q,r thỏa mãn đề ra :v

Cách này biết lâu rồi. Chỉ là tìm cách mới thôi

Vì q>3 nên 3 không chia hết cho q, do đó $k\vdots q$, vậy (k,q)=1 là sai!

(k;q)=1 thì 3 chia hết q suy ra q=3 thì mới kết luận không tồn tại q mà bạn

$\frac{(x+2)(x+8)}{x}=\frac{x^{2}+10x+16}{x}=x+\frac{16}{x}+10\geq 2\sqrt{x.\frac{16}{x}}+10=18$

Min=18 khi x=4

Hướng giải 

$2^{q}+q^{2}\equiv 2$ ( mod 3 ) $\Rightarrow r-2=3k$

Mặt khác: theo định lý nhỏ Fermat: $2^{q}-2 \vdots q \Rightarrow r-2\vdots q$

Do đó $3k\vdots q$ đến đây làm sao để chứng minh (k;q)=1 vậy chỉ mình với

Với q>3 ; Tìm 2 số nguyên tố q và r biết 2^q+q²=r

Đặt y²+1=a:    x+y=b:        x=c 

Khi đó hệ pt ương đương $\left\{\begin{matrix} a=bc & & \\ a(b-2)+c=0& & \end{matrix}\right.\Rightarrow bc(b-2)+c=0\Leftrightarrow b^{2}c-2bc+c=0\Leftrightarrow c(b^{2}-2b+1)=0\Leftrightarrow c(b-1)^{2}=0$

Đến đây được rồi

giải kĩ câu 3 với bạn

Đặt x-y=a: y-z=b: z-x=c

Khi đó a+b+c=x-y+y-z+z-x=0

Ta có: $\sqrt{\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2(a+b+c)}{abc}}=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}}=\sqrt{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

CMR với mọi $n > 1$ thì $n^{n}-n^{2}+n-1 \vdots (n-1)^{2} (n\in N)$

Với n=2 thì : $n^{n}-n^{2}+n-1=1\vdots (n-1)^{2}$ hiển nhiên đúng

Với n>2:

$n^{n}-n^{2}+n-1=(n^{n-2}-1)n^{2}+(n-1)=(n-1)(n^{n-3}+n^{n-4}+...+n+1)n^{2}+(n-1)=(n-1)(n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^{2})+(n-1)=(n-1)(n^{n-1}+n^{n-2}+...+n^{2}+1)$

Ta thấy: $1=1+k_{1}(n-1)$ (k₁=0)

              $n^{2}=1+k_{2}(n-1)$ (k₂=n+1)

              ..............................................................................................

              $n^{n-1}=1+k_{n-1}(n-1)$ (k_n-1=n^n-2+...+n+1)

Cộng vế theo vế ta có:

$n^{n-1}+...+n^{2}+1=(n-1)+(k_{1}+...+k_{n-1})(n-1)=(n-1)(1+k_{1}+...+k_{n-1})$ 

Nên n^n-1+...+n²+1chia hết n-1

Dó đó =>dpcm

Con Đình

Giả sư $2\leq c\leq b\leq a$

$abc< ab+ac+bc\Rightarrow 1< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{3}{c}\Rightarrow c< 3\Rightarrow c= 2$

Do đó

$1< \frac{1}{2}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{2}< \frac{1}{b}+\frac{1}{a}\leq \frac{2}{b}\Rightarrow b< 4\Rightarrow b= 2,3$

Nếu b=3 $\frac{1}{2}< \frac{1}{3}+\frac{1}{a}\Rightarrow \frac{1}{6}< \frac{1}{a}\Rightarrow a< 6\Rightarrow a=2,3,5$

Nếu b=2 thì a nhận mọi số nguyên tố

2.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow ac+bc=ab$

$\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2ac-2bc}=\sqrt{(a+b-c)^{2}}=a+b-c$

3.đặt x-y=a ... khi đó a+b+c=0

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{2(a+b+c)}{abc}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}$

$(x-1)^{2}\geq 0\Rightarrow x^{2}-2x+1\geq 0$

$2(y-1)^{2}\geq 0\Rightarrow 2y^{2}-4y+2\geq 0$

Suy ra$x^{2}+2y^{2}-2(x+2y)+3\geq 0\Rightarrow x^{2}+2y^{2}\geq 2(x+2y)-3=2.3-3=3$

Min=3 khi x=y=1

 

$a^{3}+b^{3}+ab=(a+b)((a+b)^{2}-3ab)+ab=1-2ab\geq 1-\frac{(a+b)^{2}}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Min=1/2khi a=b=1/2

$xy=12\Rightarrow y=\frac{12}{x}$

$xz=15\Rightarrow z=\frac{15}{x}$

Do đó: $yz=20\Leftrightarrow \frac{12}{x}.\frac{15}{x}=20\Leftrightarrow x^{2}=9\Leftrightarrow \left | x \right |=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \left | x \right | =3&\\ \left|y\right|& =4 \\ \left | z \right | =5 & \end{matrix}\right.$

đa giác n cạnh => có n đỉnh... 
mỗi đỉnh of đa giác có thể nối với (n-3) đỉnh khác để tạo ra (n-3) đường chéo....(trừ đỉnh ta đang xét và 2 đỉnh gần nhất....(vì nối tạo ra cạnh)) 
ta có n đỉnh => sẽ có n.(n-3) đường chéo.. 
nhưng 1 đường chéo sẽ đc nối bởi 2 đỉnh => số đg chéo sẽ đc nhân đôi = n.(n+3) 
=> số đường chéo thực = n.(n-3)\2

$A=(y-x)^{2}+(x-1)^{2}+2\geq 2$

$B=(3y-x-2)^{2}+(x-1)^{2}+2029\geq 2029$

$C=21-(x-y-1)^{2}-3(y-2)^{2}\leq 21$

P/s: Bạn nên suy nghĩ trước khi hỏi nhé!!!

$A=\frac{\frac{2}{3}(3x^{2}+6x+9)+12x^{2}-12x+3}{3x^{2}+6x+9}=\frac{2}{3}+\frac{12(x-\frac{1}{2})^{2}}{3x^{2}+6x+9}$

2. áp dụng $ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}$ rồi quy về bài toán cm $\sum \frac{x}{x+y}\geq \frac{3}{2}$

 

 

quy về thê này phải có điều kiện $x\geq y\geq z> 0$

Bài 1 bạn cứ xét từng hàm số rồi cộng bình thường sẽ thấy bằng nhau
Bài 3 để A nguyên tố thì 1 trong 2 thừ số phải bằng 1 và số còn lại nguyên tố. Từ đó giải thôu

Sử dung log

$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+c^{2} & & \\ \ \frac{ab}{2}=a+b+c& & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow ab=2(a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}})\Leftrightarrow ab-2a-2b=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+4a^{2}+4b^{2}-4a^{2}b-4ab^{2}+8ab=4a^{2}+4b^{2}\Leftrightarrow ab-4a-4b+8=0\Leftrightarrow (a-4)(b-4)=8$

Đến đây bạn phân tích 8=1.8=2.4 rồi giả sử a<b thì giải ra thôi

Ukm. Chắc đề sai