Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(4;3;4)$ và song song đường thẳng $\Delta: \dfrac{x-6}{-3}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-2}{2}$, đồng thời tiếp xúc mặt cầu $(S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9$

GS phương trình mặt phẳng là: $ax+by+cz+d=0$

(P) đi qua M nên ta có: $4a+3b+4c+d=0$ (1)

(P) có $\vec n$ là: $\vec n=(a;b;c)$ mà $(P) \\ \Delta \rightarrow \vec n.\vec u=0 \rightarrow -3a+2b+2c=0$

$\rightarrow c=\dfrac{3a-2b}{2}$

Thê $c$ vào $(1)$ ta có: $d=2b-10a$

Ta có: $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và $R=3$

Mà mp tiếp xúc mặt cầu nên: $d(I,(S))=R$

$\rightarrow 3=\dfrac{|a+2b+\dfrac{3}{2}(3a-2b)+2b-10|}{\sqrt{a^2+b^2+(\dfrac{3a-2b}{2})^2}}$

Đến đây chuyển vế bình phương, bạn sẽ đưa pt về dạng đẳng cấp đôi với $a,b$ và tìm ra quan hệ của chúng rồi chọn $a,b$ thích hợp

Give note

Cậu đã vào đây rồi thì làm kiểu ảnh luôn đi 

 

Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình 2016-2017

Câu 6. (3 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. $AB=a>0,AD=b>0$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$.

1. Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$.

2. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x(0<x<2a)$. Xác định $x$ để mặt phẳng $(MBC)$ chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

1,

Dễ thấy $d(C, (SBD))=d(A,(SBD))$

Kẻ $AI \perp BD, AH \perp SI \rightarrow AH \perp (SBD)$

$\rightarrow d(A,(SBD))=AH=\sqrt{\dfrac{1}{\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AB^2}}}=\dfrac{2ab}{\sqrt{5b^2+4a^2}}$

2,

Xét 2 mp: $(MBC)$ và $(SAD)$ có $BC // AD$ nên đường thẳng qua $M$ cắt $SD$ tại $K$ là giao tuyến 2 mp

Ta có: $V_{SABCD}=\dfrac{2a^2b}{3} \rightarrow V_{SMKCB}=\dfrac{a^2b}{3}$ (1)

Cm được $BC \perp (SAB) \rightarrow BC \perp MB \rightarrow MKBC$ là hình thang vuông tại $B$ và $M$

Ta tính được các yếu tố độ dài sau: $MK=\dfrac{2a-x}{2a}; \ MB=\sqrt{a^2+x^2}$

$\rightarrow S_{MKBC}=\dfrac{b(4a-x)\sqrt{x^2+a^2}}{4a}$ (2)

Kẻ $AO \perp BM$ mà  $AO \perp BC$ vì [$BC \perp (SAB)$] $\rightarrow AO \perp (KMBC)$

Tính được $AO=\dfrac{xa}{\sqrt{x^2+a^2}}$

Mà: $\dfrac{d(S,MKBC)}{d(A,MKBC)}=\dfrac{SM}{MA} \rightarrow d(S,MKBC)=\dfrac{a(2a-x)}{\sqrt{x^2+a^2}}$ (3)

Ta có: $(1)=(2).(3)=3V_{SMKCB} \iff a^2b=\dfrac{b(4a-x)(2a-x)}{4}$

$\iff 4a^2=(4a-x)(2a-x)$

$\iff 4a^2-6ax+x^2=0$

$\iff x=(3-\sqrt{5})a$ (vì $0<x<2a)$

Vậy $x=(3-\sqrt{5})a$

Hơi nhầm tí kìa trên tử là $t^2$ chứ

E đã sửa  =)))

Cho tứ diện ABCD có BA=BC,DA=DC. Chứng minh AC vuông với BD

Lấy I là trung điểm AC, dễ thấy $\Delta ABC$ và $\Delta ADC$ lần lượt cân tại B và D

$\rightarrow BI \perp AC, DI \perp AC \rightarrow AC \perp (IBD) \rightarrow AC \perp BD$

Tính:

1) $\int_{0}^{2}x^2\sqrt{4+x^2}.dx$

1, Đặt $x=2\tan t \rightarrow dx=\dfrac{2dt}{\cos^2 t}$

$\rightarrow I=\int 4\dfrac{\sin^2 t}{\cos^5 t} dt= \int \dfrac{\sin^2 t \cos t}{\cos^6 t} dt=\int \dfrac{\sin^2 t .(\sin t)'}{(1-\sin^2 t)^3} dt=\int \dfrac{a^2}{(1-a^2)^3} da$

(Với $a=\sin^2 t)$

$\rightarrow I=\int \dfrac{1}{8(1+a)^3}+\dfrac{1}{8(1-a)^3}-\dfrac{1}{4(1+a)^2}-\dfrac{1}{4(1-a)^2}-\dfrac{1}{4(1+a)}-\dfrac{1}{4(1-a)} da$

$\rightarrow I=\dfrac{-1}{16(1+a)^2}+\dfrac{-1}{16(1-a)^2}+\dfrac{1}{4(1+a)}+\dfrac{1}{4(1-a)}-\dfrac{\ln (1+a)}{4}-\dfrac{\ln (1-a)}{4}$ 

Tính:

1) $\int_{0}^{2}x^2\sqrt{4+x^2}.dx$

2) $\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{3}{\sqrt{2}}}\frac{\sqrt{9+2x^2}}{x^2}.dx$

2, $I=\int \dfrac{\sqrt{9+2x^2}}{x^2} dx= \int \dfrac{1}{x}.\sqrt{\dfrac{9}{x^2}+2} dx$

Đặt $\sqrt{\dfrac{9}{x^2}+2}=t \rightarrow \dfrac{9}{x^2}+2=t^2 \rightarrow x^2=\dfrac{9}{t^2-2}$

$\rightarrow 2tdt=\dfrac{-18}{x^3} dx \rightarrow \dfrac{dx}{x^3}=\dfrac{tdt}{-9}$

$\rightarrow I=-\int \dfrac{9}{t^2-2}.t.\dfrac{tdt}{9} =-\int \dfrac{t^2}{t^2-2}dt=-\int 1+\dfrac{1}{2\sqrt{2}(t-\sqrt{2})}-\dfrac{1}{2\sqrt{2}(t+\sqrt{2})} dt=....$

Sao anh lại đặt được ẩn phụ $x=\sqrt{2}(t-\dfrac{1}{t})$

Nếu có thời gian em đọc thêm ở quyên này này, trang 14: http://www.toanmath....-tai-chung.html

Góp 1 bài :

Bài toán 6: Một công trình nghệ thuật kiến trúc trong công viên thành phố có dạng là một nhà hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp một mặt cầu có bán kính 5 (m). Toàn bộ nhà đó được trang bị hệ thống điều hòa làm mát, do vậy để tiết kiệm điện người ta đã xây dựng tòa nhà sao cho có thể tích nhỏ nhất.Tính chiều cao của tòa nhà đó

Cho tứ diện ABCD có AB=3a;AD=6a;AC=9a và $\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=\widehat{BAD}=90^{\circ}$.Tính thể tích của tứ diện ABCD

Kẻ AK vuông BC, AH vuông AK, dễ cm BC vuông (ADK) => BC vuông DK => AH vuông (BCD)

Tứ diện có 3 góc vuông ở đỉnh thì công thức tính chiều cao là:

$\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AC^2} \rightarrow AH=\dfrac{18}{7}a$

$\rightarrow DK=\sqrt{AD^2+AK^2}=\sqrt{AD^2+(\dfrac{AB.AC}{AB+AC})^2}=\dfrac{3\sqrt{73}a}{4}$

$\rightarrow V=\dfrac{1}{6}. AH. DK. BC=\dfrac{27a^3.\sqrt{730}}{28}$

Giải hệ phương trình: $ 3x^2+2y^2-4xy+x+8y-4=0$
$ x^2-y^2+2x+y-3=0$

Xem cách giải tổng quát của hệ này, anh đăng ở đây rồi: http://diendantoanho...g-trình/page-5?

Tính tích phân: $\int _{-1}^{\sqrt{2}} x^2 \sqrt{4-x^2} dx$

$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(4-x)\sqrt{1- x^{2}}}$

Đặt $4-x=\dfrac{1}{t} \rightarrow -dx=\dfrac{dt}{t^2}$

$\rightarrow x=4-\dfrac{1}{t}$

$\rightarrow I=-\int_{1/5}^{1/3} \dfrac{dt}{t\sqrt{-15+\dfrac{8}{t}-\dfrac{1}{t^2}}}=-\int_{1/5}^{1/3} \dfrac{dt}{\sqrt{-15t^2+8t-1}}$

$= -\int_{1/5}^{1/3} \dfrac{dt}{\sqrt{15}.\sqrt{\dfrac{1}{225}-(t-\dfrac{4}{15})^2}}$

Đến đây bạn lại đặt $t-\dfrac{4}{15})^2=\dfrac{1}{225}. sin^2t$ thay vào và tích phân phần còn lại theo dạng cơ bản: $\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$

nhân cả tử và mẫu với x

đặt căn = t

e nhân với $x$ và đặt căn vẫn không thấy ra 

Giai cac phuong trinh sau: Puong phap dat an phu

1,$log_{2x}64+log_{x^2}16=3$

 

ĐK: $0<x ; x \not =\dfrac{1}{2}; x \not =1$

$\iff 6\log_{2x}2+2\log_x2=3$

$\iff \dfrac{6}{\log_22x}+2\log_x2=3$

$\iff \dfrac{6}{\log_2x+1}+2\log_x2=3$

$\iff \dfrac{6}{\dfrac{1}{\log_x2}+1}+2\log_x2=3$

$\iff \dfrac{6}{\dfrac{1}{a}+1}+2a=3$ (với $a=\log_x2$)

Đến đây bạn giải pt ẩn $a$ $\rightarrow x$

Giai cac phuong trinh sau: Phuong phap dat an phu

2,$log_{x}2+2log_{2x}4=log_{\sqrt{2x}}8$

2, ĐK: $ 0<x ; x \not =0; x \not =\dfrac{1}{2}$

$\log_x2+2\log_{2x}4=2\log_{2x}8$

$\iff \log_x2+4\log_{2x}=6\log_{2x}2$

$\iff \log_x2=2\log_{2x}2$

$\iff \log_x2=\dfrac{2}{\log_2 2x}=\dfrac{2}{\log_2x+1}=\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{\log_x2}}$

Đặt $\log_x2=a$

$\rightarrow a=\dfrac{2}{1+\dfrac{1}{a}}$

$\rightarrow a... \rightarrow x ....$

Giai cac phuong trinh sau: Phuong phap dat an phu

5,$log_{2}\frac{x^2-x+1}{2x^2-4x+3}=x^2-3x+2$

5, ĐK: $x  \in R$

$\iff \log_2(\dfrac{x^2-x+1}{2x^2-4x+3})=-(x^2-x+1)+(2x^2-4x+3)$

$\iff (x^2-x+1)+\log_2(x^2-x+1)=(2x^2-4x+3)+\log_2(2x^2-4x+3)$

Xét hàm: $f(t)=t+\log_2 t$  Với $t>0$ dễ thấy hàm đồng biến

Vậy $x^2-x+1=2x^2-4x+3$

$\iff x^2-3x+2=0 \iff x=1$   v   $x=2$

Bài toán: Một công trình nghệ thuật kiến trúc trong công viên thành phố có dạng là một nhà hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp một mặt cầu có bán kính 5 (m). Toàn bộ nhà đó được trang bị hệ thống điều hòa làm mát, do vậy để tiết kiệm điện người ta đã xây dựng tòa nhà sao cho có thể tích nhỏ nhất.Tính chiều cao của tòa nhà đó

Bài 5 bài 4 hướng giải là sao vậy mn?

tìm k sao cho 

$\frac{1}{a^k(b+c)}+\frac{1}{b^k(c+a)}+\frac{1}{c^k(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

đúng với mọi a,b,c thỏa mãn a,b,c>0 abc=1

p/s: Santoryu- diễn đàn học mãi

 

7.$\int_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sin^{5}x}{\sqrt{1+cosx}}dx$

 

Mình sẽ đi tính nguyên hàm, còn tích phân thì bạn chỉ cần đổi cận và thay vào là ra

Đặt $\sqrt{1+\cos x}=t \rightarrow 1+\cos x=t^2 \rightarrow \cos x=t^2-1 \rightarrow -\sin x dx=2tdt$

Ta có:

$\int \dfrac{(1-\cos^2 x)^2.\sin x}{\sqrt{1+\cos x}} dx=\int \dfrac{t^8-4t^6+4t^4}{t} dt=\int t^7-4t^5+4t^3 dt= \dfrac{t^8}{8}-\dfrac{2t^6}{3}+t^4+C$

A. $f(\frac{1}{2017}) + f(\frac{2016}{2017}) > f(\frac{3}{2015})  + f(\frac{2012}{2015})$

B. $f(\frac{1}{2017}) + f(\frac{2016}{2017}) = f(\frac{3}{2015})  + f(\frac{2012}{2015})$

C. $f(\frac{1}{2017}) + f(\frac{2016}{2017}) < f(\frac{3}{2015})  + f(\frac{2012}{2015})$

D. $2016f(\frac{1}{2017}) + f(\frac{2016}{2017}) = 2015f(\frac{3}{2015}) + 3f(\frac{2012}{2015})$

Xét $f(1-x)+f(x)=\dfrac{4^x}{4^x+2}+\dfrac{4^{1-x}}{4^{1-x}+2}=1$ (thực hiện quy đồng)

Vậy 

B. $f(\frac{1}{2017}) + f(\frac{2016}{2017}) = f(\frac{3}{2015})  + f(\frac{2012}{2015})=1$

A. $f(\frac{1}{2017}) + f(\frac{2016}{2017}) > f(\frac{3}{2015})  + f(\frac{2012}{2015})$

B. $f(\frac{1}{2017}) + f(\frac{2016}{2017}) = f(\frac{3}{2015})  + f(\frac{2012}{2015})$

C. $f(\frac{1}{2017}) + f(\frac{2016}{2017}) < f(\frac{3}{2015})  + f(\frac{2012}{2015})$

D. $2016f(\frac{1}{2017}) + f(\frac{2016}{2017}) = 2015f(\frac{3}{2015}) + 3f(\frac{2012}{2015})$

B

Cho A(3,0,4) B(3,6,2) C(0.4,-1) D(0,-2,1)

 

a) Tính V OABCD và đường cao OH kẻ từ O của hình chóp OABCD

b) Tìm M sao cho MC vuông góc (BCD) và MC=10

 

Mình chủ yếu muốn hỏi câu b, câu a làm nền gợi ý thôi

Bạn thử làm theo cách này xem

Tìm tích có hướng $\vec n=[\vec BC, \vec CD]$

Vì $MC \perp (BCD) \rightarrow MC // \vec n$

$\rightarrow \vec MC=k \vec n$

Từ đó bạn tìm đc tọa độ M với 1 ẩn $k$

$MC \perp (BCD) \rightarrow MC=d(M,BCD)$ (khoảng cách từ M đến (BCD) bằng MC), đến đây bạn lại được 1 pt nữa,

Thay tất cả vào ta sẽ được tọa độ điểm $M$

P/s: bài này bn đăng bên diễn đàn học mãi r đúng k, quen quen

Tìm họ các nguyên hàm sau:

$4) I=\int \frac{2x^2+1}{(x+1)^5}dx$

$I=\int \dfrac{2x^2+1}{(x+1)^5} \ dx=\int \dfrac{2}{(x+1)^3}-\dfrac{4}{(x+1)^4}+\dfrac{3}{(x+1)^5} \ dx$

$= -\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{4}{3(x+1)^3}-\dfrac{3}{4(x+1)^4}+C$