D. $-69^o$

Đầu tiên, ta tìm tất cả các số có 4 chữ số mà có 2 chẵn 2 lẻ (tính cả số 0): $A_{4}^{2}.A_{4}^{2}$ số thoả mãn.

Sau đó, tìm tất cả các số có 3 chữ số mà có 2 lẻ 1 chẵn mà không có chứa sô 0: $A_{4}^{2}.3$ số thoả mãn.

Vậy tóm lại có $A_{4}^{2}.A_{4}^{2}-A_{4}^{2}.3$ số thoả mãn đề bài

Tìm nghiệm tổng quát là suy ra được mà

Trước khi đọc tiếp lời giải, e có thể thử nghĩ với gợi ý trên.

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ: $\frac{x^2}{3-x^2}\geq \frac{x^3}{2}$

Cộng từng vế lại suy ra điều phải chứng minh.

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$$\Leftrightarrow a=b=c=0$

Đặt $\left\{\begin{matrix}2^a=x \\ 2^b=y \\ 2^c=z \end{matrix}\right.$$(x, y, z\geq 0,\forall a,b,c\in \mathbb{R})$

Khi đó ta có: $x^3+y^3+z^3=3$ và cần chứng minh $\frac{x^2}{3-x^2}+\frac{y^2}{3-y^2}+\frac{z^2}{3-z^2}\geq \frac{3}{2}$

À mà cái bạn spam đó hình như bị ban nic rồi thì phải. Vào trang cá nhân của bạn ấy không được: 

ban.png

Uhm, mình cũng báo cáo mà !!

Tại sao $\lim_{x\rightarrow +\infty }(x^3+ax^2+bx+c)=+\infty$ và $\lim_{x\rightarrow -\infty }(x^3+ax^2+bx+c)=-\infty $ ?

Mình đọc thấy có điều gì đó kỳ kỳ! Vậy e là gì?

$e=\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^x$

Chuyện là hiện tại em thấy thành viên này spam: https://diendantoanh...75108-adminvmf/

. Cụ thể ở topic này: https://diendantoanh...ết-quả-thi-imo/

Bạn ấy đã spam nhiều lần. Mong các ĐHV xem xét ạ. Em cảm ơn

Bạn có thể báo cáo mà !!!

như vậy cũng quá tuyệt rồi bạn ạ, mỗi năm một khác tốt nhất là không nên so sánh

Tất nhiên kết quả như vậy là quá tuyệt rồi, nhưng cũng cần nhìn lại quá khứ để làm rút kinh nghiệm cho tương lai chứ nhỉ ?!

thật quá tuyệt vời

Nhưng năm nay so với năm ngoái thì thành tích có kém hơn chút !!!

https://diendantoanh...t-quả-imo-2017/

Các số cần tìm lập thành dãy số: 2020, 2022, ..., 9998.

Suy ra có $\frac{9998-2020}{2}+1$ số thoả mãn.

Đề dưới đây

Đề đâu?

Theo mình thì:
- Mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.
- Phát biểu: " $A\Rightarrow B$ nếu và chỉ nếu $ \overline{A}\vee B$ "
- Chứng minh:
Ta biết rằng: mệnh đề tương đương $P\Leftrightarrow Q$ đúng khi cả 2 mệnh đề $P$ và $Q$ đều đúng hoặc đều sai. Ta lập bảng chân trị và thấy cả 2 mệnh đề $P$ và $Q$ đều đúng hoặc đều sai. Suy ra mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.

$ \overline{A}\vee B$. cái kí hiệu $\vee$ nghĩa là gì nữa nhỉ? Mình tìm nhiều nơi mà không thấy ?!

Bất đẳng thức "mạnh hơn" là $n!>(\frac{n}{e})^{n} \forall n\ge 1.$

 

Đặt $u_n= \dfrac{n!}{\left(\frac{n}{e}\right)^n}.$

 

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}>1.$

 

Lưu ý: Khi định nghĩa, $e$, ta đã có dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

 

Hơn nữa, $u_1>1$ nên $u_n>1 \forall n\ge 1.$ Suy ra điều phải chứng minh.

Có lẽ bài toán của mình chính là như kiểu đang chứng minh dãy $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ là dãy tăng và hội tụ về $e.$

Mệnh đề đại số sau có đúng không?  $A \Rightarrow B\Leftrightarrow \overline{A}\vee B$

Nếu đúng thì nó nên được phát biểu như thế nào và chứng minh ra sao?

Hằng số Kaprekar

Nguồn: vi.wikipedia.org

Sưu tầm: C.R

6174 được gọi là hằng số Kaprekar được đặt theo tên nhà toán học Ấn Độ D. R. Kaprekar. Để được ra hằng số này thì sẽ phải theo những bước sau:

1. Chọn một con số bất kỳ gồm 4 chữ số, với điều kiện cả 4 chữ số này không được trùng nhau (như 1111, 2222, 3333,...). Ví dụ số 1401.
2. Đảo lộn thứ tự các chữ số sao cho mình chọn được 2 con số lớn nhất và nhỏ nhất thu được từ việc đảo lộn này. Trong ví dụ là hai số 4110 và 0114.
3. Lấy số lớn nhất trừ đi số nhỏ nhất: 4110 - ­ 0114 = 3996
4. Lặp lại bước 2 và 3 đối với hiệu số vừa thu được. Ta có các kết quả sau:

4110 -­ 0114 = 3996

9963 -­ 3699 = 6264

6642 ­- 2466 = 4176

7641 -­ 1467 = 6174

7641 -­ 1467 = 6174

Hằng số Kaprekar xuất hiện sau phép trừ thứ 4. Bắt đầu từ đây nếu tính tiếp sẽ không thu được số khác nào ngoài hằng số này. Hằng số Kaprekar cao nhất mất 7 bước (7 phép trừ) để đi đến kết quả cuối cùng.

Ví dụ số 9831 đến 6174 sau 7 phép trừ:

9831 – 1389 = 8442

8442 – 2448 = 5994

9954 – 4599 = 5355

5553 – 3555 = 1998

9981 – 1899 = 8082

8820 – 0288 = 8532 

8532 – 2358 = 6174

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$

Chứng minh rằng: $n!>(\frac{n}{3})^{n}$ với $\forall n\in\mathbb{N}^*$

Ví dụ nhé, nếu lấy n =4, thì $n(n-1)+1 =13$ , vậy ta có thể xét trong một phạm vi nhỏ hơn là ô 3x7 nằm trong ô 4x13 của nó chứ sao

Nghe cũng hợp lí đấy ?!! Nhưng theo linh cảm vẫn cứ thấy sao sao, vì cái bài hcn 3x7 người ta yêu cầu chứng minh trước, sau đó đến bài tổng quát này. Không lẽ lại lập luận đơn giản thế thôi ??!!

Ta có: chữ số 2 đứng liền với 1 và 3 nên sẽ tạo thành cụm A và có 2 cách chọn A ($\overline{123};\overline{321}$).

Bài toán trở thành tìm tất cả 7 chữ số các số tạo từ 0, A, 4, 5, 6, 7, 8, 9 $\Rightarrow$ có 7.2.7P4 số thoả mãn

Với n=1 và =2 thì ko đúng , cơ mà với $n \geq 3$ thì có thể thu nhỏ hình về ô $3x7$ thôi cũng được rồi mà

Nghiêm túc chứ ?!          Thu nhỏ kiểu gì nhỉ ?!

Dạng tổng quát của bài này (cách làm thì tương tự  )

Giả sử một bàn cờ hình chữ nhật có kích thước 3x7 ô vuông được sơn 2 màu Đ và T. Chứng minh rằng với cách sơn màu bất kì trong bàn cờ luôn tồn tại ít nhất một hình chữ nhật mà 4 ô ở góc được tô cùng một màu

 

 

Mình cũng làm được bài toán với hình chữ nhật kích thước 3 x 7 rồi nhưng với dạng tổng quát thì chưa làm được ?!

Ta có : (x+1)^{2}=(x^{2}+2x)+1\in Q \Rightarrow x=-1\pm \sqrt{a} ( a là số hữu tỉ)

TH1: x=-1+ \sqrt{a}  suy ra \sqrt{a} là số vô tỉ.

ta có: x^{3}+3x^{2}=(-1+\sqrt{a})^{3}+3(-1+\sqrt{a})^{2}=\sqrt{a}(a-3)+2\Rightarrow a=3

TH2
tương tự có a=3

Lần sau cho công thức toán vào trong hai cái kí tự này '$' thì mới hiện ra được: 

" Ta có : $(x+1)^{2}=(x^{2}+2x)+1\in Q \Rightarrow x=-1\pm \sqrt{a}$( a là số hữu tỉ)

TH1: $x=-1+ \sqrt{a}$  suy ra $\sqrt{a}$ là số vô tỉ.

ta có: $x^{3}+3x^{2}=(-1+\sqrt{a})^{3}+3(-1+\sqrt{a})^{2}=\sqrt{a}(a-3)+2\Rightarrow a=3$

TH2
tương tự có $a=3$ " _ nuhoangbanggia.

Cho một hình chữ nhật có kích thước $n\times [(n-1)n+1]$. Mỗi ô được tô bằng hai màu đỏ hoặc xanh. 

CMR: Tồn tại một hình chữ nhật không tầm thường có 4 đỉnh được tô cùng một màu.