Bài 3: Thay đổi vai trò của $x, y$ ta có $\left | f(x)-f(y)+g(y)(x-y) \right |\leq M\left | x-y \right |^{2+a} \Rightarrow \left | (x-y)(g(x)-g(y)) \right |\leq \left | f(x)-f(y)+g(y)(x-y) \right |+\left | f(y)-f(x)-g(x)(x-y) \right |\leq 2M\left | x-y \right |^{2+a} \Rightarrow \left | g(x)-g(y) \right |\leq 2M\left | x-y \right |^{1+a}$.
Với $x>y$, $n$ là số nguyên dương tuỳ ý, chọn $\partial = \frac{x-y}{n}$. Ta có:
$\left | g(x)-g(y) \right |\leq \sum_{k=0}^{n-1}\left | g(x+k\partial )-g(x+(k+1)\partial ) \right |\leq Mn\partial ^{1+a}=M(x-y)\partial ^a$
Lấy giới hạn ta dễ có $\left | g(x)-g(y) \right |=0$ suy ra $g(x)$ là hàm hằng: $g(x)=C$.
Vậy $\left | (f(y)-Cy)-(f(x)-Cx) \right |\leq M\left | x-y \right |^{2+a}$. Chứng minh tương tự ta có $f(x)-Cx$ là hàm hằng: $f(x)=Cx+D$
($C, D$ là hằng số)