1.PNG

cụ thể được hk bn ??

Bài toán 75 (sưu tầm)

cho x,y,z>0 và x+y+z=3 CMR

$\frac{1}{xyz}\geq \sqrt[4]{\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}}$

cho a,b,c dương thỏa $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 9$

CMR  $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{3}\leq (\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3})^{2}$

$\left\{\begin{matrix} &3(2-x)\sqrt{2-y^{2}}=2-y+\frac{4}{x+1} & \\ &(x^{2}-2+xy-x+y)\sqrt{2-y^{2}}+2=x+y & \end{matrix}\right.$

tìm GTNN của $(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$ thỏa $x^{2}+y^{2}=1$

Bài 1:

Vì $x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2,y^2,z^2 \leqslant 1$

Do đó: $P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^{2}(y-z)^{2}+y^{2}(x-z)^{2}+z^{2}(x-y)^{2}] \leqslant xy+yz+xz+\frac{1}{2}[(y-z)^{2}+(x-z)^{2}+(x-y)^{2}]=x^2+y^2+z^2=1$

Dấu $"="\Leftrightarrow x=y=z$

Bài 2: Áp dụng BĐT: $\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2} \geqslant \dfrac{1}{a+ab}$(chứng minh bằng biến đổi tương đương)

Ta có: $P=\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c}{4a}=\frac{1}{\left ( 1+\frac{b}{a} \right )^2}+\frac{1}{\left ( 1+\frac{c}{b} \right )^2}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}\geq \frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}=\left ( \frac{\frac{b}{a}.\frac{c}{b}+1}{4}+\frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}} \right )-\frac{1}{4}\geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

cho mik hỏi tip đoạn cuối câu 2 bạn biến đổi ntn z?? 

tìm nghiệm nguyên dương (x,y) sao cho  $(x^{2}-2)\vdots (xy+2)$

Bài 1:

Vì $x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2,y^2,z^2 \leqslant 1$

Do đó: $P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^{2}(y-z)^{2}+y^{2}(x-z)^{2}+z^{2}(x-y)^{2}] \leqslant xy+yz+xz+\frac{1}{2}[(y-z)^{2}+(x-z)^{2}+(x-y)^{2}]=x^2+y^2+z^2=1$

Dấu $"="\Leftrightarrow x=y=z$

Bài 2: Áp dụng BĐT: $\dfrac{1}{(1+a)^2}+\dfrac{1}{(1+b)^2} \geqslant \dfrac{1}{a+ab}$(chứng minh bằng biến đổi tương đương)

Ta có: $P=\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c}{4a}=\frac{1}{\left ( 1+\frac{b}{a} \right )^2}+\frac{1}{\left ( 1+\frac{c}{b} \right )^2}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}\geq \frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}}+\frac{1}{4}.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}=\left ( \frac{\frac{b}{a}.\frac{c}{b}+1}{4}+\frac{1}{1+\frac{b}{a}.\frac{c}{b}} \right )-\frac{1}{4}\geq 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

bn chứng minh giúp mik phần bổ đề lun nha tks nhìu =)

cho các số thực dương a,b,c trong đó $a\geq 0;b\geq 1;c\geq 1$

CMR $ca^{b+c}-(b+c)a^{c}+b\geq (a-1)^{2}$

1) cho x,y,z là 3 số thay đổi thỏa $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ . tìm GTLN của 

$P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}[x^{2}(y-z)^{2}+y^{2}(x-z)^{2}+z^{2}(x-y)^{2}]$

2)cho a,b,c là 3 số thực dương thay đổi

tìm GTNN của $S=\frac{a^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{b^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{c}{4a}$

cho a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn $ab+bc=2c^2$ và $2a\leq c$ tìm MAX của $\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a}$

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn(O). Giả sử M là điểm thuộc đoạn thẳng AB (M không trùng A,B), N là điểm thuộc tia đối của tia CA (N nằm trên đường thẳng CA sao cho C nằm giữa A và N) sao cho khi MN cát BC tại I thì I là trung điểm của MN. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại điểm P khác A.

1.     Chứng minh rằng các tứ giác BMIP và CNPI nội tiếp.

2.     Giả sử PB = PC, chứng minh rằng tam giác ABC cân. 

P/s : giúp mik câu 2 nha !!

Gõ dùm Latex cái đi.

Ta có $P=x^4+x^2-6x+9=(x^4+x^2-6x+4)+5=(x-1)^2(x^2+2x+4)+5\geq 5$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=1$

Vậy $P_{min}=5$ khi $x=1$

heh đang gấp ko bém latex đc thông cẻm 

Gtnn: x^4+x^2-6x+9

Ta lại tiếp tục áp dụng pp "Cần cù bù thông minh" vào bài này

\[7{x^2} + 7x = \sqrt {\frac{{4x + 9}}{{28}}} \]
\[ \Leftrightarrow 28\left( {49{x^4} + 98{x^3} + 49{x^2}} \right) = 4x + 9\]
\[ \Leftrightarrow \left( {14{x^2} + 12x - 1} \right)\left( {98{x^2} + 112x + 9} \right) = 0\]

Giải 2 pt trên ta được 4 nghiệm nhưng chỉ có 1 nghiệm thỏa mãn đk là: $x = \frac{{5\sqrt 2 - 6}}{{14}}$

cho em hỏi sao a phân tích nhân tử hay z chỉ e ik

3.b) Ta có $2=x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=4-2(xy+yz+zx)\Leftrightarrow xy+yz+xz=1$

Thay $1=xy+yz+zx$ vào biểu thức $P$ ta có

$P=\sum y\sqrt{\frac{(xy+yz+zx+y^{2})(xy+yz+zx+z^{2})}{xy+yz+zx+x^{2}}}=\sum y\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(x+z)^{2}}{(x+y)(y+z)}}=\sum y(x+z)=xy+yz+xz+xy+zx+yz=2(xy+yz+zx)=2$

Do đó biểu thức $P$ không phụ thuộc vào $x;y;z$

bn ko dùng kí hiệu xich ma cho mik hỉu đc ko ?

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội típ đường tròn (O;R).giả sử B,C cố định và A di động trên đường tròn sao cho AB<BC và AC<BC .đường trung trực của đoạn AB cắt AC và BC lần lượt tại P,Q. đường trung trực của AC cắt AB và BC lần lượt tại M,N

a) chứng minh OM.ON=R^2

b)Chứng minh MNPQ nội tiếp 

c)giả sử hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN và CPQ cắt nhau tại S và T.gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng ST.C/M H chạy trên đường tròn cố định khi A di động 

p/s : đề chuyên toán tỉnh mik ,mn làm chi tiết giúp mik nha cảm ơn !

Giải phương trình nghiệm dương 

mỗi điểm của một mặt phẳng được tô 2 màu xanh hoặc đỏ.CMR tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm của nó cùng màu

mỗi điểm của một mặt phẳng được tô 2 màu xanh hoặc đỏ.CMR tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm của nó cùng màu

cho 2 đường tròn (O;R) và (I;r) cắt nhau tại 2 điểm A,B.biết R=3;r=4 và OI=5 .1 cát tuyến qua B cắt 2 đường tròn lần lượt tại C,D

CMR: tam giác ACD vuông với mọi vị trí cát tuyến CD

cho hình thang cân ABCD biết 2 đáy AB=10,CD=22 và DB là tia phân giác góc ADC tính diện tích hình thang 

tìm nghiệm nguyên dương của pt sau : x^2-y^2+(x^2).y-xy=x+14

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ,có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ; T,H lần lượt là chân đường cao kẻ từ A và B của tam giác ABC.

A) C/M A,B,T,H nội típ được .C/M CH.CA=CT.CB

B) C/M IC vuông góc với HT

C) tìm trên BC,AC,AB lần lượt các đỉm K,P,Q sao cho tam giác KPQ có chu vi nhỏ nhất 

a,b dễ

c, gọi D là giao điểm của OH và AB

Xét tam giác CC'B và đoạn thẳng OD có

DC'/DB.CH/C'H.OB/OC = 1 (định lí menelaus)

⇒ DC'/DB = C'H/HC

xét tam giác C'B'B và đoạn thẳng HD có

DC'/DB.KB'/KC'.BH/HB' = 1

⇒ KB'/KC' = DB/DC'.HB'/BH = CH/C'H.HB'/BH

mà CH/BH = HB'/C'H

suy ra dfcm

bn làm giúp mik câu a,b lun đi bn !