Đây chắc là bài dành cho ai mới tiếp cận BDT, có thể là lop 8 chuyên bạn ạ  

Câu a) có bị sai đề không bạn, mình đo thấy không chuẩn lắm.

Câu b) Gọi $ T, L$ là hình chiếu của $A,B$ lên $EF$. Dễ thấy tg $ CEF$ cân tại $C$. Suy ra góc $AFT = CFE = CEF = BEL$. Suy ra tg $AFT$ đồng dạng $ BEL$ (g-g) Suy ra $\frac{AT}{AF} = \frac{BL}{BE}$ suy ra $  \frac{AT}{AD} = \frac{BL}{BD} $ mà $\frac{AD}{BD} = \frac{HT}{HL} $ nên $\frac{AT}{HT} = \frac{BL}{HL} $. Từ đó có tg $AHT$ dg $ BHL$ (c-g-c). Đến đây dễ rồi

Chắc bạn mới học AM-GM

VT $ \leq \frac{2}{2\sqrt{ x^{2} yz}}  +  \frac{2}{2\sqrt{ y^{2} xz}}+ \frac{2}{2\sqrt{ z^{2} xy}} = \frac{\sqrt{yz}}{xyz} + \frac{\sqrt{xz}}{xyz}+ \frac{\sqrt{xy}}{xyz}   \leq  \frac{x+y+z}{xyz} $  = VP 

Em là thành viên mới, thấy ngày xưa không khí VMF nhộn nhịp, sôi động hơn hẳn bây giờ Chỉ ước được một lần cảm nhận cái không khí ấy (( 

Lời giải:

Gọi $ AF$ là phân giác$  \angle BAC$ .

Dễ thấy tam giác $ ABD $ đồng dạng tam giác $ ACE $ $\Rightarrow$ $\frac{AB}{BD} = \frac{AC}{CE} \Rightarrow$ $\frac{AB}{BM} = \frac{AC}{CN}$ $\Rightarrow$ tam giác $ AMB $ đồng dạng tam giác $ ANC $ ( c-g-c) $\Rightarrow$ $\angle BAM = \angle CAN$ $\Rightarrow$$ \angle MAF = \angle FAN$ $\Rightarrow$ $AF$ cũng là phân giác  $\angle MAN $. (ĐPCM)

Cách 2:

Xét $ y =0$ suy ra  $x =1$

Xét $ y =1$ suy ra  không có $x$ thỏa

Xét $ y \neq 0 , 1$ suy ra $ y^2 \geq4  $. Ta có $ ( 2y^2 -1)^2 > ( 4y^4 - 6y^2 +1 ) > ( 2y^  -  2)^2 $ mà $4y^4 - 6y^2 + 1 = x^2 $ là số chính phương nên không tồn tại số chính phương nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp.

Vậy $(x,y) = (1,0)$ 

Phương trình  $\Leftrightarrow 16 y^4 -  24y^2 + 4 = 4x^2 \Leftrightarrow 16y^4 -24y^2 + 9 -5 = 4x^2 \Leftrightarrow (4y^2-3)^2-4x^2=5 \Leftrightarrow (4y^2-3-2x)(4y^2-3+2x)=5$. Đến đây xét ước là xong ạ hihi

Bạn thử kẻ // như vậy rồi dùng tỉ số thử

Bài này e nhớ hình như kẻ hình bình hành để chứng minh tam giác ANK vuông tại K ạ  

Cho tam giác $ABC$ nhọn, nội tiếp đường tròn $(0)$, có đường cao $AD$, ($D$ thuộc $ BC$). Kẻ $ DE, DF$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$, ($ E$ thuộc $AB$, $F$ thuộc$ AC$). Gọi I là giao điểm $BF, CE$. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm $AD, AI$. CMR: 3 điểm $M,N,O$ thẳng hàng  

Bài này tìm dc 2 nghiệm đẹp là 1 và 8 thì bạn cứ bình phương lên cho nó lành rồi tạo thành nhân tử $x^2 - 9x + 8$ . Bậc cao nhất là bậc 4 nên còn lại nhân tử $ax^2 +bx +c$ rồi giải phương trình bậc 2 bình thường  

Giải hệ phương trình sau: 

$\begin{cases} & x + \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2} -2x +9}}= x^{2}+y \\ & y + \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2} -2y +9}}= y^{2}+x \end{cases}$

Áp dụng Viet thôi bạn 

Bạn áp dụng công thức Heron thôi

Ta có $(a+b+c)(a+b-c)=4t= \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)}\Rightarrow (a+b-c)(a+b+c)=(b+c-a)(a+c-b) \Rightarrow a^{2} + b^{2} = c^{2} \Rightarrow$ tam giác ABC là tam giác vuông theo Pytago đảo

Hình như đề bài là tìm nghiệm nguyên dương 

Bạn giả sử $a\geq b \geq c$

$(1+\frac{1}{c})^{3} \geq (1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c})= 2 = \frac{128}{64} > \frac{125}{64} \Rightarrow 1+\frac{1}{c} > \frac{5}{4} \Rightarrow c < 4$

Xét các TH $ c = 1, 2 , 3 $ rồi tương tự tìm $a,b$ là ok

Cho $ x,y$ là các số dương thỏa $(x+1)(y+1) = 4$

GTLN, GTNN của P = $\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3}+\frac{xy}{x+y}$ 

1) Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa $abc =1$

CMR: $\sum (\frac{1}{\sqrt{1+a^2}})\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

2) Cho $a,b,c $ là các số không âm thỏa $(a-b)^2 = a+b+2$

CMR $(1+\frac{a^3}{(b+1)^3})(1+\frac{b^3}{(a+1)^3})\leq 9$ 

Cho $ x,y,z $ là các số dương thỏa : $ x+y+z = 1$

Tìm GTLN của  

                                                  P = $\frac{x}{x+yz} + \frac{y}{y+xz} + \frac{\sqrt{xyz}}{z+xy}$ 

THEO MÌNH DẠNG BÀI NÀY BẠN DÙNG ĐK CÓ NGHIỆM BẬC 2 NHÉ ,GIỚI HẠN x là xong 

Cơ mà đến khi ra được x max và min thì ta chỉ tìm được duy nhất y thôi ạ, do denta = 0 , như v đúng ko ạ 

THEO MÌNH DẠNG BÀI NÀY BẠN DÙNG ĐK CÓ NGHIỆM BẬC 2 NHÉ ,GIỚI HẠN x là xong 

Em cảm ơn god ạ )Thế mà không nghĩ ra

Không mất tính tổng quát giả sử b nằm giữa a và c và c nhỏ nhất  => $b\leq$ 2 , c<2 

(a-1)(a-3)$\leq$ 0 

<=>$a^{2}\leq 4a-3 $ => $a^{3} \leq 4a^2 - 3a$  <=>  $a^{3} \leq 4(4a-3) -3a$ = 13a-12

<=>$b^{2} \leq$ 3b-2 <=>$b^{3} \leq 3(3b-2) -2b$ <=> $b^{3} \leq 7b-6$

(c-1)(c-2)$\leq$ 0 

<=>$c^{2} \leq$ 3c-2  <=> $c^{3} \leq$ 7c-6 

<=> $a^{3} + b^{3} + c^{3}$ $\leq$ 13a-12+7b-6 + 7c-6 = 7(a+b+c) + 6a -24 = 18 + 6a $\leq$ 18+6.3 = 36 ( do a$\leq$3)

Không mất tính tổng quát giả sử b nằm giữa a và c và c nhỏ nhất  => $b\leq$ 2 , c<2 

(a-1)(a-3)$\leq$ 0 

<=>$a^{2}\leq 4a-3 $ => $a^{3} \leq 4a^2 - 3a$  <=>  $a^{3} \leq 4(4a-3) -3a$ = 13a-12

<=>$b^{2} \leq$ 3b-2 <=>$b^{3} \leq 3(3b-2) -2b$ <=> $b^{3} \leq 7b-6$

(c-1)(c-2)$\leq$ 0 

<=>$c^{2} \leq$ 3c-2  <=> $c^{3} \leq$ 7c-6 

<=> $a^{3} + b^{3} + c^{3}$ $\leq$ 13a-12+7b-6 + 7c-6 = 7(a+b+c) + 6a -24 = 18 + 6a $\leq$ 18+6.3 = 36 ( do a$\leq$3)

Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn $4x^{2} - (8y+11)x +(8y^{2}+14) =0$

Tìm y khi x lần lượt đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.

Mn có thêm bài tập về dạng này có thể gửi cho e tham khảo với ạ. E cảm ơn ) 

Cho a,b,c thuộc đoạn [ 1,3] và a+b+c =6

CMR $a^{3} + b^{3}+c^{3} \leq 36$

Ai có bài tập dạng này cho e xin vs ạ

----

Admin: Bạn chú ý cách đặt tiêu đề nhé.

Mọi người cho e ý kiến bài này vs, cách nào nhẹ nhẹ thôi :v 

Cho a,b,c dương. CMR : 

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}} \geq \sum \frac{a}{b+c}$ 

Bài này khó nhằn quá. Bạn nào giúp mình với nào. Mình đang cần gấp quá. Xin cám ơn!

Cho tam giác ABC nhọn(AB<AC),trực tâm H nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I).Lấy E là trung điểm của AH, M là trung điểm BC. Phân giác góc BAC cắt (O) tại K, EM tại Q.
a) cmr KB=KC=KI
b) Cmr góc AQH =90
c) phân giác góc A giao BC ở D. Tiếp tuyến AN của (K, KB) . Cmr ND vuông góc với AK
GIÚP MÌNH NHÉ

Câu c thì bạn làm như này. 

Ta có $\angle DBC = \angle CAK = \angle KAB$ và $\angle AKB$ là góc chung nên $\Delta ABK \approx \Delta BDK$ (g.g) 

$\Rightarrow \frac{BK}{KD}=\frac{AK}{BK}\Rightarrow BK^{2}=DK.AK$ mà $BK = NK$ suy ra $NK^{2}=DK.AK \Rightarrow \Delta AND$ đồng dạng $\Delta AKN (c.g.c)$. Vậy ND vuông vs AK )