So sánh M và N biết $M=(2012^{2012}+2013^{2012})^{2013}$ và $N=(2012^{2013}+2013^{2013})^{2012}$

 

$M=(2012^{2012}+2013^{2012})^{2013}=2013^{2012.2013}[(\frac{2012}{2013})^{2012}+1]^{2013}>2013^{2012.2013}[(\frac{2012}{2013})^{2013}+1]^{2012}=N$

cho x,y,z là 3 số dương x+y+z$\leq 1$

cm$\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq \sqrt{82}$

Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:

$(x^2+\frac{1}{x^2})(1^2+9^2)\geq (x.1+\frac{1}{x}.9)^2$

$<=>\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\geq\frac{x+\frac{9}{x}}{\sqrt{1+81}}=\frac{x+\frac{9}{x}}{\sqrt{82}}$

CMTT

$=>\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\geq\frac{y+\frac{9}{y}}{\sqrt{82}} ;\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\geq\frac{z+\frac{9}{z}}{\sqrt{82}}$

$<=>\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}$

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}[(x+\frac{1}{9x})+(y+\frac{1}{9y})+(z+\frac{1}{9z})+\frac{80}{9}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})]$

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}(2\sqrt{x.\frac{1}{9x}}+2\sqrt{y.\frac{1}{9y}}+2\sqrt{z.\frac{1}{9z}}+\frac{80}{9}\frac{9}{x+y+z})($Do $a+b\geq2\sqrt{ab};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{a+b+c}\forall a,b,c>0)$ 

$\geq\frac{1}{\sqrt{82}}(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+\frac{80}{1})($Do $x+y+z\leq 1$ theo gt $)$

$=\sqrt{82}=>$ĐPCM

Dấu $"="$ xảy ra $<=>...<=>x=y=z=\frac{1}{3}$

Cách khác:

Vì $x^2-1\geq 0($Theo ĐKXĐ$)$

$=>x^4\geq x^4-x^2+1>0<=>x^2\geq \sqrt{x^4-x^2+1}$

$=>$ Ta có: $VT=x^2+3\sqrt{x^2-1}\geq \sqrt{x^4-x^2+1}=VP($Vì $\sqrt{x^2-1}\geq 0)$

Mà dấu $"="$ phải xảy ra(Theo gt)

$=>x^2-1=0<=>x=\pm 1$

Vậy, ...

cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác thỏa $\sqrt{a+b-c}$ + $\sqrt{b+c-a}$ + $\sqrt{c+a-b}$ = $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ + $\sqrt{c}$. Tính độ dài các đường cao của tam giác đã cho theo a

Ta có:

$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}\leq \sqrt{2((a+b-c)+(b+c-a))}=2\sqrt{a}($ Do $(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=>x+y\leq\begin{vmatrix}x+y\end{vmatrix}\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}\forall x,y\in \mathbb{R})$

CMTT

$=>\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq 2\sqrt{c};\sqrt{c+a-b}+\sqrt{a+b-c}\leq 2\sqrt{a}$

$<=>\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Vì dấu $"="$ phải xảy ra (Theo giả thiết)

$=>\sqrt{a+b-c}=\sqrt{b+c-a}=\sqrt{c+a-b}$

$<=>a=b=c<=>$Tam giác đã cho là tam giác đều

$<=>$Đường cao của tam giác đó có độ dài là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

 

 

$x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$

 

 

 

ĐKXĐ: $x^2-1\geq 0$

$x^{2}+3\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}$

$<=>x^{2}-\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}+3\sqrt{x^{2}-1}=0$

$<=>\frac{x^4-(x^4-x^2+1)}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3\sqrt{x^{2}-1}=0($ Do $x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}\neq 0)$

$<=>\sqrt{x^{2}-1}(\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3)=0$

$<=>\sqrt{x^{2}-1}=0($Do $\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x^{2}+\sqrt{x^{4}-x^{2}+1}} +3\geq 3> 0)$

$<=>x^2-1=0<=>x=\pm 1($ T/m ĐKXĐ $)$

Vậy, ...

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+2b+3c=3. CMR: $\frac{a^{2}}{a+2b+\sqrt{2ab}}+\frac{4b^{2}}{2b+3c+\sqrt{6bc}}+\frac{9c^{2}}{3c+a+\sqrt{3ac}}$$\geq 1$

$\frac{a^{2}}{a+2b+\sqrt{2ab}}+\frac{4b^{2}}{2b+3c+\sqrt{6bc}}+\frac{9c^{2}}{3c+a+\sqrt{3ac}}$

$\geq \frac{a^{2}}{a+2b+\frac{a+2b}{2}}+\frac{4b^{2}}{2b+3c+\frac{2b+3c}{2}}+\frac{9c^{2}}{3c+a+\frac{3c+a}{2}}$

$\geq \frac{(a+2b+3c)^2}{3(a+2b+3c)}$(Theo BĐT Cauchy-Schwarz)

$= 1($ Do $a+2b+3c=3)$

$=>$ĐPCM

Dấu $"="$ xảy ra $<=>a=1,b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{3}$

Cho a là 1 nghiệm dương của pt: $4x^{2}+2\sqrt{x}-\sqrt{2}=0$. Tính giá trị của biểu thức A=$\frac{a+1}{\sqrt{a^{4}+a+1}-a^{2}}$

Số xấu quá, coi lại đề bài phần giả thiết.

Các bác giúp em với ah

 

$A=(x+1)^4-(x^2+x+1)^2$.

Nếu đề là phân tích thành nhân tử thì:

$A=(x+1)^4-(x^2+x+1)^2=x(2x^2+3x+2)$(đơn giản quá ???!!)

CMR với $n\geq 3$ ta luôn có BĐT:$\sqrt[3]{n}>\sqrt[4]{n+1}$

Ta có: $n^4-(n+1)^3=\frac{1}{3}n^3(n-3)+\frac{1}{3}n^2(n^2-9)+\frac{1}{9}n(n^3-27)+\frac{1}{81}(n^4-81)+\frac{17}{81}n^4>0\forall n\geq 3$

          $<=>n^4>(n+1)^3\forall n\geq 3$

          $=>...$

[quote name="trang2004" post="714903" timestamp="1535466299"]

$(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$
<=> $(x+1)^2(x+8)=(x^2+x+4)^2$,rồi dùng hệ số bất định là ôkê. Cũng đặt $t=\sqrt{x+8}\geq0$ cũng xong nhé

Từ $(x+1)^2(x+8)=(x^2+x+4)^2=>(x-1)(x^3+2x^2+x-8)=0$ thì cái pt bậc 3 tính sao ???

 

Hai vợ chồng nhà kia sinh được một cậu con trai dễ thương mạnh khỏe. Nay đã bốn tuổi rồi… Một đêm nằm chưa ngủ được cô tâm sự với chồng.

Anh ah! Con vẫn …bú… dù em đã hết …sữa rồi ! nó vẫn cứ nhằn thôi . Nhiều hôm em đau quá không chịu được.

Người chồng cũng xót xa tiếc vợ. Rồi cũng cười nhẹ và nói.

Anh đã có cách, em bôi chút dịch gì đó vào nó bú thấy khó chịu là bỏ liền. Đêm đó người chồng lấy một lọ màu vàng ra và bôi vào nhũ hoa vợ. Hôn vợ yêu một cái cái rồi đi trực ca đêm. Đã giữa đêm rồi người chồng chợt nhớ ra là mình đã lấy nhầm lo thuốc cực độc bôi cho vợ. Anh thốt lên thôi chết rồi ba giết con rồi. Anh liền lên xe tức tốc lao về nhà. Khi về tới nhà anh thấy mọi người đang đúng rất đông quanh nhà mình.

Biết con có chuyện chẳng lành anh lại than lên trong tuyệt vọng. Con ơi ! ba giết con rồi !

Trong nhà thì phát ra tiếng xôn xao người thì bảo kệ mẹ nó cho nó chết. Người lại bảo gọi xe cấp cứu. Người cha lại càng thêm tuyệt vọng khụy gối trước cổng than khóc. Chợt có ai vỗ vào vai mình người cha vô cùng bất ngờ khi nhìn đó là con trai mình.

Lúc đó cậu khẽ nói ba ơi! sao chú hàng xóm tự nhiên lại chết trong nhà mình…

 

Đọc truyện ko bt nên khóc hay nên cười     

4,1/x+1/y=z

Từ pt đã cho $=>\frac{x+y}{xy}=z\epsilon \mathbb{Z}<=>x+y\vdots xy$

                     $<=>x\vdots y;y\vdots x<=>x=y\neq 0$

                                                    hoặc $x=-y\neq 0$ 

$+)x=-y=>(x;y;z)=(a;-a;0)\forall a\epsilon \mathbb{Z},a\neq 0$

$+)x=y=>\frac{2}{x}=z<=>xz=2<=>...<=>(x;y;z)=(...)$

Vậy, ...

5,x^-25=y^2

Có vấn đề với đề bài

1, x^2-5y^2=17

Từ pt đã cho $=>x^2$ có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 -> Ko có nghiệm nguyên x,y

2,x^2+2x+1=37

Từ pt đã cho $=>(x+1)^2=37$ -> Ko có nghiệm nguyên x

3,x^2+x+1=xyz

Từ pt đã cho $=>xyz=x^2+x+1\neq 0<=>x^2+x+1\vdots x<=>1\vdots x<=>x\pm =1$

Thay vào pt ban đầu $=>$ tìm đc $y,z$ tùy theo $x=1$ hay $x=-1$

Cho ánh xạ $f: \mathbb{R}\setminus \left \{ 1 \right \}\rightarrow \mathbb{R}$ với $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$

Tìm $A=\left \{ y|y=f(x),x\in \mathbb{R},x>0 \right \}$

Xét $0<x<1$ và $x>1$

$=>...=>A=(-\infty ;-3)\bigcup(0;+\infty)$

Câu 4:[attachment=35161:xDDD.JPG]

cho P=$\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$

biết    $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

ĐKXĐ:$a^3-4a^2+5a-2\neq 0$

Ta có :

$a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

$<=>a^3=55+\sqrt{3024}+55-\sqrt{3024}+3(\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}})\sqrt[3]{(55+\sqrt{3024})(55-\sqrt{3024})}$

$<=>a^3=110+3a<=>(a-5)(a^2+5a+22)=0<=>a=5$(T/m ĐKXĐ)

Thay $a=5$ vào

$=>P=\frac{7}{3}$

Vậy,...

cho P(x) = x³-3x²+14x -2

tìm các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 sao cho P(x) chia hết cho 11 

$P(x)\vdots 11<=>(x-1)^3+11x-1\vdots 11<=>(x-1)^3\equiv1(mod 11)$

Dễ thấy lập phương của một số tự nhiên chia 11 dư 1 khi và chỉ khi số tự nhiên đó chia 11 dư 1 (tự chứng minh bằng cách lần lượt xét các số dư của số tự nhiên đó cho 11)

$=>x-1\equiv1(mod 11)$

$<=>x\equiv2(mod 11)$

$<=>x=2,13,24,...,90$

cho x,y,z đôi 1 khác nhau thõa mãn x³=3x-1 , y³=3y-1, z³=3z-1

CMR x²+y²+z²=6

Từ giả thiết suy ra x,y,z lần lượt là 3 nghiệm khác nhau của phương trình $a^3-3a+1=0$

=>$(a-x)(a-y)(a-z)=0$

$<=>a^3-(x+y+z)a^2+(xy+yz+zx)a-xyz=0=a^3-3a+1$

Quy đồng hệ số 

$=>x+y+z=0$

      $xy+yz+zx=-3$

$<=>x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=6$

Vậy ta có ĐPCM.

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(af(y)+bx)=cx+dy+e(a,b,c,d,e\neq 0, b\neq -ac)$

Cho x,y > 0 và x+y $\leq$ 1. Tìm GTNN của A = $\frac{1}{x^2 + y^2}$ + $\frac{504}{xy}$

$A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+\frac{503}{xy}$

$<=>A\geq \frac{9}{x^2+y^2+4xy}+\frac{503}{xy}(Do \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}\forall a,b,c>0)$

$<=>A\geq \frac{9}{(x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{2}}+\frac{503}{\frac{(x+y)^2}{4}} (Do 4xy\leq (x+y)^2)$

$<=>A\geq \frac{9}{1+\frac{1}{2}}+\frac{503}{\frac{1}{4}}(Dox+y\leq 1)$

$<=>A\geq 2018$

Dấu "="xảy ra $<=>x=y=\frac{1}{2}$

ĐKXĐ: $x\geq \frac{-3}{2}$

Pt đã cho $<=>(x^2+4x+5)^2=4(2x+3)$

                $<=>x^4+8x^3+26x^2+32x+13=0$

                $<=>(x+1)^2(x^2+6x+13)=0$

                $<=>x=-1$(t/m ĐKXĐ)

Vậy,...

Ta có:

$\frac{(x+y)^2}{x^2 + y^2}+ \frac{(x+y)^2}{xy}$

$=(x+y)^{2}(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy})$

$\geq (x+y)^{2}\frac{9}{x^2+y^2+2xy+2xy}(Do \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c})$

$\geq (x+y)^2\frac{9}{(x+y)^2+\frac{(x+y)^2}{2}}(Do 4xy\leq (x+y)^2)$

$=\frac{9}{\frac{3}{2}}=6$

Dấu "$=$" xảy ra $<=>x=y$

Vậy,...

tìm m để đường thẳng y=(m+2)x+m song song với đường thẳng y=3x-2

Đường thẳng y=(m+2)x+m song song với đường thẳng y=3x-2

$<=>m+2=3$ và $m\neq -2$

$<=>m=1$(Thỏa mãn)

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện 

$f(af(y)+bx)=cx+dy+e,\forall x,y\epsilon \mathbb{R} (a,b,c,d\neq 0;b\neq -ac)$(mk ko bt ký hiệu của "thuộc")

$\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^{2}}}$

 

với  $-1 \leq $ x $\leq 1 $

$\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^{2}}}$

$=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^{2}}}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})(1+x+\sqrt{1-x^2}+1-x)}{2-\sqrt{1-x^{2}}}$

$=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\sqrt{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^2}$(Vì $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}>0$)

$=\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1+x+2\sqrt{1-x^2}+1-x}$

$=\sqrt{2}\sqrt{(1-\sqrt{1-x^2})(1+\sqrt{1-x^2})}$

$=\sqrt{2}\sqrt{1-1+x^2}$

$=x\sqrt{2}$