DBSK nội dung
Có 45 mục bởi DBSK (Tìm giới hạn từ 29-04-2020)
#287637 SIÊU KINH ĐIỂN Real Madrid vs Barcelona 10/12/2011
Đã gửi bởi DBSK on 11-12-2011 - 01:59 trong Câu lạc bộ hâm mộ
#287345 DANH SÁCH ĐỘI TUYỂN CÁC TRƯỜNG, TỈNH, THÀNH PHỐ THAM DỰ VMO 2012
Đã gửi bởi DBSK on 09-12-2011 - 12:08 trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện
Có ông thắng đó anh!có anh em nào trong VMF năm nay dc thi VMO ko
#286573 Đề thi chọn đội tuyển Olympic 30/4 lớp 10 2011-2012
Đã gửi bởi DBSK on 04-12-2011 - 20:07 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Bài này dùng BDT phụ sau kết hợp với AM-GM 2 số:Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 4: (4 điểm)
Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh:
$$(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) \geq 3(x+y+z)^2+(xyz-1)^2$$
$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ac)$
#286301 Đề thi chọn đội tuyển Olympic 30/4 lớp 10 2011-2012
Đã gửi bởi DBSK on 02-12-2011 - 21:17 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Ta có
$ 6.2^{2000} \vdots (n+1)(n^2-n+6)$
Do đó ta xét hai trường hợp :
+)$n+1= 2^x;n^2-n+6=3.2^y$
Và +)$n^2-n+6= 2^x;n+1=3.2^y$
Dau đó đưa về PT pell là ra!
#286298 Tài liệu về Dãy số số 1: Các bài Toán Olympiad về dãy số
Đã gửi bởi DBSK on 02-12-2011 - 21:13 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Dãy số - Giới hạn
#286295 $ \dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\geq 1...
Đã gửi bởi DBSK on 02-12-2011 - 21:01 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $ \dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\geq 1$
Tìm max $abc$
Bạn hãy đặt tiêu đề rõ ràng bằng Latex, không nên đặt là: ... đây, giúp ... với, một bài ... hay, ...
Ta có:
$\dfrac{1}{a+2} \geq (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{b+2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{c+2})$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a+2} \geq \dfrac{b}{2(b+2)} +\dfrac{c}{2(c+2)} \geq 2\sqrt{\dfrac{b}{2(b+2)} .\dfrac{c}{2(c+2)}} $
Lamf tương tự như vậy rồi nhân các BDT lại ta được ĐPCM!
#284617 CM: $\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{c}}+\d...
Đã gửi bởi DBSK on 22-11-2011 - 18:11 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Ta có:[$\left(\dfrac{a}{\sqrt{b}} + \dfrac{b}{\sqrt{c}} + \dfrac{c}{\sqrt{a}}\right)^2=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}+2(a\sqrt{\dfrac{b}{c}}+ b\sqrt{\dfrac{c}{a}}+c\sqrt{\dfrac{a}{b}})$cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn : $a^2 + b^2 + c^2 = 3$
CM:$\dfrac{a}{\sqrt{b}} + \dfrac{b}{\sqrt{c}} + \dfrac{c}{\sqrt{a}} \geq a + b + c$
áp dụng BDT AM-GM ta có:
$\dfrac{a^2}{b}+a\sqrt{\dfrac{b}{c}}+a\sqrt{\dfrac{b}{c}}+c \ge 4a[$
Thêm 2 cái tương tự cộng vào suy ra:
$\left(\dfrac{a}{\sqrt{b}} + \dfrac{b}{\sqrt{c}} + \dfrac{c}{\sqrt{a}}\right)^2 \ge 3(a+b+c) \ge (a+b+c)^2$
Do $a^2+b^2+c^2=3 \Rightarrow a+b+c \le 3$
#284358 Áp dụng Bunhia Cốpxki
Đã gửi bởi DBSK on 20-11-2011 - 20:44 trong Bất đẳng thức và cực trị
1. Cho a,b,c >0. Min, Max của
S= $\dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{4b}{a+c}+ \dfrac{9c}{a+b}$
2.Cho a,b,c >0. CMR:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
3.Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn: ab+bc+cd+da=3
Min S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b}$
4.Cho x,y,z thỏa mãn x+2y-2z=1.
Tìm Min S= $x^2+y^2+z^2$
Bài 2:1. Cho a,b,c >0. Min, Max của
S= $\dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{4b}{a+c}+ \dfrac{9c}{a+b}$
2.Cho a,b,c >0. CMR:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
3.Cho a,b,c,d >0 thỏa mãn: ab+bc+cd+da=3
Min S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b}$
4.Cho x,y,z thỏa mãn x+2y-2z=1.
Tìm Min S= $x^2+y^2+z^2$
Ta có:
$\dfrac{a}{1+a}+ \dfrac{2b}{2+b}+ \dfrac{3c}{3+c} \leq \dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
$\Leftrightarrow 1-\dfrac{a}{1+a}+ 2-\dfrac{2b}{2+b}+ 3-\dfrac{3c}{3+c} \geq 6-\dfrac{6 (a+b+c)}{6+a+b+c}$
$\Leftrightarrow {1}{1+a}+ \dfrac{4}{2+b}+ \dfrac{9}{3+c} \geq \dfrac{36}{6+a+b+c}$
Đúng theo C-S!
Bài 4:
Chắc bạn chép đề thiếu!
S= $\dfrac{a^3}{b+c+d}+ \dfrac{b^3}{c+d+a}+ \dfrac{c^3}{d+a+b} + \dfrac{d^3}{a+b+c}$
#284276 Bất đẳng thức hay!
Đã gửi bởi DBSK on 20-11-2011 - 10:36 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 1:Bài 1:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =(x + y)(x + z) trong đó x, y, z là 3 số dương thay đổi thỏa mãn: (x + y + z)xyz =1
Bài 2: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn:
$\large \left\{\begin{matrix} a\geq 0, b\geqslant 0\\ a+2b-4c+2=0 \\ 2a-b+7c-11=0 \end{matrix}\right.$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q= 6a + 7b +2006c
Bài 3: Cho a,b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện:
$\large a^{2}- 3ab+ 2b^{2}+a-b= a^{2}- 2ab+ b^{2}-5a+7b= 0$
CMR: ab - 12a +15b =0
Bài 4: Cho các số thực x,y thỏa mãn: $\large x^{2}+y^{2}=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P= x - $\large \sqrt{5}y$
Bài 5:Cho ba số dương thỏa mãn: a + b + c=1
CMR: $\large \dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\geqslant 16$
Bài 6: Cho x,y là các số dương thỏa mãn: $\large x + \dfrac{1}{y}\leqslant 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của A= $\large \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}$
Ta có:
$(x+y)(x+z)=x(x+y+z)+yz = x(x+y+z) + \frac{1}{x(x+y+z))} \geq 2$
Bài 5:
Ta có:
$\large \dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc} =\frac{1}{c}( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}) \geq \frac{4}{c(a+b)} \geq \frac{4}{\frac{(a+b+c)^2}{4}} = 16 $
#284270 giải hệ phương trình sau đây
Đã gửi bởi DBSK on 20-11-2011 - 10:05 trong Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
$x^2y^2-2x+y^2=0 \Rightarrow y^2=\frac[2x}{x^2+1}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}y^2 \leq 0 & & \\x \geq 0 & & \end{matrix}\right$
Từ đó suy ra:
$2x^3+3x^2+6y-12x+13 \geq (x-1)^2(2x+7) \geq 0$
Do đó dấu = xảy ra $\Rightarrow x=1$
Vậy nghiệm của PT đã cho là:
$(x;y)=(1;1)$
#284208 Tản mạn BĐT
Đã gửi bởi DBSK on 19-11-2011 - 22:28 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho các a,b,c là các số thực dương.CMR:
$(1+\frac{a}{b})^2 +(1+\frac{b}{c})^2+(1+\frac{c}{a})^2 \geq \frac{12(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ac}$
#284207 bất đẳng thức
Đã gửi bởi DBSK on 19-11-2011 - 22:11 trong Bất đẳng thức và cực trị
#284021 Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 THPT chuyên KHTN Hà Nội(8\10\2011).
Đã gửi bởi DBSK on 18-11-2011 - 19:13 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Như thế này.
Đặt $a = \dfrac{1}{x};b = \dfrac{1}{y};c = \dfrac{1}{z}$. Khi đó từ giả thiết ta có: $ab + bc + ca = 1$
và $A = \dfrac{{2a}}{{\sqrt {1 + {a^2}} }} + \dfrac{b}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} + \dfrac{c}{{\sqrt {1 + {c^2}} }}$
Do $ab + bc + ca = 1$ nên $1 + {a^2} = ab + bc + ca + {a^2} = \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)$. Với các đẳng thức tương tự, ta có:
$A = \dfrac{{2a}}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} + \dfrac{{2b}}{{\sqrt {4\left( {b + c} \right)\left( {b + a} \right)} }} + \dfrac{{2c}}{{\sqrt {4\left( {c + a} \right)\left( {c + b} \right)} }}$
$\le a\left( {\dfrac{1}{{a + b}} + \dfrac{1}{{a + c}}} \right) + b\left( {\dfrac{1}{{4\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) + c\left( {\dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{4\left( {c + b} \right)}}} \right) = \dfrac{9}{4}$ (áp dụng AM-GM)
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow b = c = \dfrac{1}{7}a \Leftrightarrow y = z = 7x = \sqrt {15} $
Vậy $\max A = \dfrac{9}{4}$ đạt được khi $y = z = 7x = \sqrt {15} $.
#282709 Tính $\sum_{n=1}^{30} \dfrac{n^n}{(2n-1)!}$
Đã gửi bởi DBSK on 11-11-2011 - 11:11 trong Dãy số - Giới hạn
#282506 Thi loại lần 1 đại số
Đã gửi bởi DBSK on 10-11-2011 - 09:33 trong Bất đẳng thức và cực trị
Tìm MAxCực trị : $\dfrac{6-x^2}{2x^2 +1}$
1 bài nho nhỏ! giúp tớ nha!"anh" Huy!
Ta có:
$\dfrac{6-x^2}{2x^2 +1} =\dfrac{13-(2x^2+1)}{2(2x^2 +1)} =\dfrac{13}{2(2x^2 +1)}- \dfrac{1}{2} \leq 7 $
Vì $2x^2 \geq 0 $ nên $2x^2+1 \geq 1$
---------------------------------------
C.X.H: Bạn giải sai rồi. $A_{min}=6$ chứ
#282505 Cho 3 số a, b, c thỏa mãn: a+b+c = 1. Chứng minh: $a+2b+c\geq 4(1-a...
Đã gửi bởi DBSK on 10-11-2011 - 09:29 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có:$a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
$a+2b+c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$
$\Leftrightarrow \dfrac{a+2b+c}{(1-a)(1-c)} \geq 4(1-b)$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-c} \geq 4(1-b)$
Ta lại có:
$\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{1}{1-c} \geq \dfrac{4}{1+b} $
Mà:
$\dfrac{4}{1+b} \geq 4(1-b)$ (Biến đổi tương đương)
Suy ra Q.E.D
#282504 Topic về bất đẳng thức
Đã gửi bởi DBSK on 10-11-2011 - 09:24 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Làm thế thật không hay mình thấy bên đó có bài nào là bạn lại post sang đây!
Gây ra sự trùng lặp giưa các trang web!
#282503 Tìm Min $T = x(\dfrac{{x - y}}{{x + y}} + \dfrac{1}{y}) + y(...
Đã gửi bởi DBSK on 10-11-2011 - 09:20 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có:Cho x,y,z > 0 Tìm Min T
$T = x(\dfrac{{x - y}}{{x + y}} + \dfrac{1}{y}) + y(\dfrac{{y - z}}{{y + z}} + \dfrac{1}{z}) + z(\dfrac{{z - x}}{{z + x}} + \dfrac{1}{x})$
\[\sum_{cyc} \dfrac{x^2}{x+y}\ge \dfrac{x+y+z}{2} \ge \sum_{cyc} \dfrac{xy}{x+y}}\]
\[\rightarrow \sum_{cyc}{\dfrac{x^2-xy}{x+y}\ge 0\]
Dễ dangt hấy rằng:
\[\sum_{cyc}{\dfrac{x}{y}}\ge 3\]
Vậy:
\[LHS\ge 3\]
#282157 Topic về bất đẳng thức
Đã gửi bởi DBSK on 08-11-2011 - 09:33 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Bài 54:Bài 54 Cho $x;\,y;\,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy + yz + zx = 3xyz$, chứng minh rằng:
$\dfrac{y^2}{xy^2+2z^2}+\dfrac{x^2}{zx^2+2y^2}+ \dfrac{z^2}{yz^2+2x^2}\ge 1$
Bài 56 Cho ba số thực dương $a;\,b;\,c$ có $abc=1$]. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P=\dfrac{a^2b}{a+b}+\dfrac{b^2c}{b+c}+\dfrac{c^2a}{c+a}$
Từ giả thiết $\rightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$
Đặt $\dfrac{1}{x}=a,\dfrac{1}{y}=b,\dfrac{1}{z}=c \Rightarrow a+b+c=3$
BDT$ \Rightarrow \sum \dfrac{a^2}{a+2b^2}\ge 1$
$\Rightarrow \sum (a-\dfrac{2ab^2}{a+2b^2})\ge 1$
$\Leftrightarrow 3-\sum\dfrac{2ab^2}{a+2b^2}\ge 1$
Ta có:
$\dfrac{2ab^2}{a+2b^2}\le^{AM-GM} \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}$
Tương tự ta có:
$VT\ge 3-\dfrac{2}{3}(\sum\sqrt[3]{a^2b^2})$
Mà:
$\sum\sqrt[3]{a^2b^2}\le \sum\dfrac{ab+ab+1}{3}=\dfrac{2}{3}(ab+bc+ca)+1\le 3$
Vậy $VT \ge 3-2=1 (dpcm)$
Bài 56:
$ abc=1\to a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$
${{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}+3\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right)$
$={{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}+\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right)\le \dfrac{4}{3}{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}$
$ P=\sum\limits_{cyc}{\dfrac{{{a}^{2}}b}{a+b}} = \sum\limits_{cyc}{\dfrac{\dfrac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}.\dfrac{y}{z}}{\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}}} = \sum\limits_{cyc}{\dfrac{2{{x}^{2}}}{2xz+2{{y}^{2}}}} \overset{AM-GM}{ \ge }\,2.\sum\limits_{cyc}{\dfrac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{z}^{2}}+2{{y}^{2}}}}$
$\overset{Cauchy-Schwarz}{ \ge }\,2.\dfrac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}} + 3\left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right)}\ge 2.\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}$
Từ đó: $P=\sum\limits_{cyc}{\dfrac{{{a}^{2}}b}{a+b}}\ge \dfrac{3}{2}$
- Diễn đàn Toán học
- → DBSK nội dung