3)
cho đa giác đều 2011 cạnh.Các đỉnh được tô bởi 2 màu đen hoặc trắng.
Cm tồn tại 1 tam giác cân được tạo bởi 3 đỉnh cùng màu

Có cách khác nữa nè.
Tịnh tiến CD,M theo $ \vect{CA}$
$\Rightarrow C \to A,D \to B,M \to M'$
goi $M'B \bigcap MA = O$
$\Rightarrow MC+MB=M'A+MB \le M'O+AO+MO+BO$
$=M'B+MA=MD+MA$
dpcm

Đề bài: Cho x^2+y^2=2 ,x,y>0

Yêu cầu: Tìm giá trị max,min của x+y.

xin lỗi.mình tưởng x,y, không âm.chứ $x,y > 0$ thì không có min của x+y

Bạn chưa tìm min kìa
$(x+y)= \sqrt{x^2+y^2+2xy} = \sqrt{2+2xy} \ge \sqrt{2}$
dấu bằng xảy ra khi
$x=0,y=\sqrt{2}$
hoac $y=0,x=\sqrt{2}$

Ta có:
sin(A+B)+cos(A-B)=2sinAsinB
<=>sinC+cosAcosB+sinAsinB=2sinAsinB
<=>sinC=-(cosAcosB-sinAsinB)=-cos(A+B)=cosC
=> C=45
Đây là điều kiện cần và đủ để đk thoã mãn

bạn làm sai đề rồi phải là
$\sin{(A+B)}.\cos{(A-B)}=2\sin{A}\sin{B}$

1)_ Cho lục giác đều ABCDEF cạnh a. Cho K là giao điểm của BD và CF, M là trung điểm FE. C/m tam giác AMK đều.

2)_Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Kẻ HD AC tại D. Gọi M là trung điểm HD. C/m AM BD

bài 1
bổ đề.trong tam giác ABC

$a^2 = b^2+c^2-2bc\cos{A}$

Cm
gọi H là chân đường cao kẻ từ C xuống AB
ta có
$a^2 = BH^2+CH^2 = c^2+BH^2-AH^2 = c^2+b^2-2AH^2-2AH.BH = c^2+b^2-2AH.(BH+AH)=c^2+b^2-2AH.b=c^2+b^2-2bc\cos{A}$
bổ đề được Cm
quay trở lại bài toán
*)
Xét AFM.áp dụng bổ đề, ta có:
$AM=\sqrt{AF^2+FM^2-2AF.FM.\cos{\widehat{AFM}}}=\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{4}-2.a.\dfrac{a}{2}.\cos{120}}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}.a$

*)ap dung bo de cho BCD: $BD=\sqrt{3}.a$

$\RightarrowDK=BK=(\dfrac{\sqrt{3}}{2}).a$

do $\widehat{KBA}=\dfrac{\pi}{2}$

$\Rightarrow AK=\sqrt{AB^2+BK^2}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}.a$

*)
$FK=\sqrt{BK^2+BF^2}=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2}.a)^2+(\sqrt{3}.a)^2$

$=\dfrac{\sqrt{15}}{2}.a$

$\widehat{EFC}=\dfrac{\pi}{3}$

$\Rightarrow MK=\sqrt{MF^2+KF^2-2MF.KF.\cos{\dfrac{\pi}{3}}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}.a$

Do $AK=KM=MA=\dfrac{\sqrt{7}}{2}.a$
=> AMK deu

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d(1): 2x ồ 3y ồ 3 = 0 và d(2): 5x + 2y ồ 17 = 0. Đường thẳng d đi qua giao điểm của d(1) và d(2) cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại A, B. Viết phương trình đường thẳng d sao cho [AB/S(OAB)]² nhỏ nhất. Kí hiệu S(OAB) là diện tích tam giác OAB.

Nè.lam nhu tren la sai roi
Gọi $P=d_1\bigcap d_2$
=> $P(3;1)$
gọi A(a,0)
B(0,b)
=> ptrình AB
$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$

=> $1=(\dfrac{3}{a}+\dfrac{1}{b})^2\le (9+1)(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2})$

=> $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{1}{10}$
$AB=\sqrt{a^2+b^2}$
$S_{OAB}=\dfrac{1}{2}.ab$

=> $(\dfrac{AB}{S_OAB})^2=\dfrac{a^2+b^2}{\dfrac{1}{4}.a^2.b^2}=4.(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{2}{5}$
dau bang xay ra <=> $a=\dfrac{10}{3},b=10$
=> ptrinh AB
$3x+y=10$

Cho duong tron (O;R), diem A co dinh nam ngoai duong tron OA=2R. Duong kinh BC sao cho BC ko di qua A. Duong tron ngoai tiep ABC cat OA tai I. CM:
a,OA.OI=OB.OC
b,AI ko doi
c,AB,AC cat (O) o D,E; DE cat OA o K. Chung minh E,I,K,C cung thuoc mot duong tron
d,O' la tam duong tron ngoai tiep ADE. CM: O' thuoc 1 duong thang co dinh
Cac cau a'b,c thi de roi, giai cau d nhe
Goi y: Goi P la giao cua duong tron ngoai tiep ADE voi AO. Ta CM tam giac OIC=tam giac OPB
OP=OI (nhung minh van chua lam duoc!)

câu d.
Gọi
$M=AO\bigcap(O')$
=>
$\hat {EMA}=\hat {EDA}=\hat {OCE}$
=>COME ntiep
=>
$AM.AO=AE.AC=AO^2-R^2=const$
do A0 ko đổi =>AM cố định =>M cố định
=> (O') luôn thuộc trung trực AM(cố định)

bài 2: cho elip (E) có hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng 32 và chu vi bằng 24.
a) Viết phương trình chính tắc của elip (E).
b) TÌm tọa độ điểm M trên (E) sao cho biểu thức MF1 + MF2 + 1/MF1 + 1/MF2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài elip.
a)
Ta có $S_hcn=32$
=> a.b=8
mặt khác $C_hcn=24$
=>a+b=6
=>$a=4,b=2$
=> $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$
b) gọi $M(x_0;y_0)$
áp dụng cthức bán kính qua tiêu.
=> $MF_1,2=a\pm\dfrac{c}{a}.x_0$
voi
$a=4,c=\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{3}$
=>
$P=MF_1+MF_2+\dfrac{1}{MF_1}+\dfrac{1}{MF_2}$
=
$8+\dfrac{1}{4+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.x_0}+\dfrac{1}{4-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.x_0}$
ap dung bdt
$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}\ge\dfrac{4}{p+q}$
=> $P\ge\dfrac{17}{2}$
dấu bằng xảy ra <=>
p=q
=>$x_0=0$
=>$y_0=\pm2$
=>$M(0;\pm2)$

$5^6$

$a^b$
$frac{a}{b}$
$a^b$

Anh hỏi cái này phải không ạ ? $ \Delta $

\Delta

$3^6$

Xin lỗi mọi người mình đang tập viết latex mong mọi người thông cảm

Chào các bạn
Mình mới chế 1 bất đẳng thức và đã tìm đc 3 lời giải cho nó. Mong các bạn góp ý cho
Mình cũng tìm đc một phương pháp mới để chứng minh bất đẳng thức và ta cùng tìm hiểu nó qua bất đẳng thức này nhé

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn$abc=1$. CMR:

$\dfrac{1}{{{{\left( {1 + a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {1 + b} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {1 + c} \right)}^2}}} \geqslant \dfrac{3}{4}$

bài này cũ rồi mà bạn.
Cách đơn giản nhất là đặt
$a = \dfrac{yz}{x^2}, b = \dfrac{xz}{y^2}, c = \dfrac{xy}{z^2}$

Bài này mọi cách đặt theo tích đều swarchs rồi nhân chéo là ra.
Vd đặt ntrên nhé ta đc
$VT =\sum \dfrac{ x^4}{(x^2+yz)^2} \ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2+y^2+z^2+2xyz(x+y+z)+\sum x^2y^2}$
nhân chéo ta được

$x^4+y^4+z^4+5(xy)^2+ 5(yz)^2 + 5(zx)^2 \ge 6xyz(x+y+z)$

đến đây áp dụng bdt côsi bình thường là được

\dfrac{1}{2}

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.CMR:
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{{a + b + c}} \ge \dfrac{3}{{ab + bc + ca}}$

đặt $a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y};c=\dfrac{1}{z} \Rightarrow xyz = 1$
đặt $p = x+y+z;q = xy+yz+zx$
bdt cần cm $\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} +\dfrac{2}{q} \ge \dfrac{3}{p}$
$\dfrac{2}{q} =\dfrac{2p}{pq}$
áp dụng bdt schur
$\Rightarrow 4pq \le p^3 + 9$
$\Rightarrow \dfrac{2}{p} \ge \dfrac{8p}{p^3+9}$
thay vào bdt rồi quy đồng ta đc
$ p^4 - 9p^3 + 24p^2+9p-81 \ge 0 \Leftrightarrow (p-3)(p^3-6p^2+6p+27) \ge 0$
do $p \ge 3 $(bdt côsi)
Suy ra dpcm

Cho tam giác ABC. Trên nữa mặt phẳng chứa đỉnh C có bờ là đường thẳng AB ta dựng đoạn thẩng AE vuông góc với AB và AE = AB. Trên nữa mặt phẳng chứa đỉnh B có bờ là đường thẳng AC ta dựng đoạn thẳng AF vuông góc với AC và AF = AC. Đường thẳng EF cắt đường cao AD của tam giác ABC ở điểm M . Vẽ AH vuông góc với EF cắt BC ở K (H thuộc EF) .
Chứng minh:FB vuông góc với EC

bạn tự vẽ hình nhé
gọi EF cắt AB,AC tại P,Q

EB cắt FC tại I
ta cần Cm
$\angle BFE+ \angle CEF =90^o$

$\angle ABE = \angle AFC = 45^o$

AFBI nội tiếp
$\Rightarrow \angle BFC= \angle BAI$

tương tự $\angle BEC=\angle CAI$

$\Rightarrow \angle BFC+ \angle BEC= \angle BAC$

$\angle CFE= 45^o - \angle AFE$

$\angle BEF= 45^o - \angle AEF$

$\Rightarrow \angle BFE+\angle CEF =\angle gBAC+90^o - \angle AFE- \angle AEF$

vậy cần cm $\angle AFE+\angle AEF=\angle BAC$

AFQ vuông tại A,đường cao AH
$\Rightarrow \angle AFE = \angle HAQ$

$\angle AEF =\anlge HAP$

cộng dọc đpcm.

Post tạm bài đã lần sau post tiếp.Đề không cầm về.
1) cho các số thực a,b,c thỏa mãn
$a^2 + b^2 + c^2 = 3$
Tìm min
$P=(3+a)(3+b)(3+c)$

2) Cho các số thực X,Y,Z thỏa mãn
$(sinX)^{2011}. (sinX+sinY+sinZ) < 0$
cm
$(sinY)^{2} > 4sinX.sinZ$