Bài toán (Định lí $Stolz$). Nếu 2 dãy số $x_n$ và $y_n$ thỏa mãn đồng thời

• $y_{n+1}>y_n$ với mọi $n \in N*$
• $y_n \to +\infty$
• $\lim\left ( \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}} \right )=A$

Chứng minh rằng $\lim\left ( \frac{x_n}{y_n} \right )=A$

Bài toán. Trong mặt phẳng $(P)$ cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $A$ cố định cách $O$ một khoảng $d>R$. $SO$ là đoạn thẳng vuông góc với $(P)$ và $SO=a$; $B$ là một điểm di động trên đường tròn nói trên.

1. Tìm vị trí của $B$ sao cho $(SAB) \bot (SBO)$
2. Xác định $B$ sao cho $S_{SAB}$ đạt $Max$

đúng, trình bày xem

Các bạn cứ suy nghĩ lời giải đi đã. Rồi chỗ nào chưa thuyết phục mình cùng giải quyết

 

Bài toán. Giải hệ phương trình 

 

$$\begin{cases} \sqrt{x-\frac{1}{4}}+\sqrt{y-\frac{1}{4}}=\sqrt{3} \\ \sqrt{y-\frac{1}{16}}+\sqrt{z-\frac{1}{16}}=\sqrt{3} \\ \sqrt{z-\frac{9}{16}}+\sqrt{x-\frac{9}{16}}=\sqrt{3}\end{cases}$$

 

Mình có báo rồi. Mình post không phải để lấy lời giải mà để các bạn khác cùng thảo luận thôi. Thực ra cái lời giải trong đấy mình thấy chưa thuyết phục lắm

Cho a,b,c là các số thực dương.
Chứng minh rằng:

\[\dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {2{a^2} + ab + {b^2}} }} + \dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {2{b^2} + bc + {c^2}} }} + \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {2{c^2} + ca + {a^2}} }} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}\]

Bạn xem thêm ở tập tin đính kèm về phương pháp này nhé

Cho $x,y,z>0$ thỏa $x^3 + y^3 + z^3=3$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y} + \dfrac{yz}{x} \geq 3.$$

Xem thêm ở đây.

Cho $x;y;z> 0$.Chứng minh rằng :

$P=\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3xz}{(y+z)(y+x)}\geqslant \frac{5}{3}.$

 

(trích đề thi học sinh giỏi lớp 11-Quảng Bình 2011)

--------------------------------

CBBX

Hướng giải:

Bằng khai triển trực tiếp ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh thành

$$xy(x+y)+yz(y+z)+4xz\left ( x+z \right )\geq 10xyz$$

Điều này tương đương với

$$\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{4(x+z)}{y}\geq 10$$

Áp dụng $AM-GM$ từng cặp là ra.

Câu 9.a

Số số có 3 chữ số là $210$. Số số chẵn có 3 chữ số tạo từ $1;...;7$ là $90$. Xác xuất là $\frac{3}{7}$. Câu này quá dễ :|

Số phức làm đơn giản như thế này cũng được

Áp dụng công thức Morvie ta có

$z=2\left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.i \right )=2\left ( \cos{\frac{\pi}{3}+\sin{\frac{\pi}{3}i}} \right ) \Longrightarrow z^5=2^5\left ( \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \right ) \\ \Longrightarrow w=i\left ( 1-\sqrt{3} \right )16+16\left (1+\sqrt{3} \right )$

Xong rồi

Bài 7.a

Gọi $C(x;y)$. Ta có $2x+y+5=0$. Mặt khác ta nhận thấy rằng $\underset{AN}{\rightarrow} \bot \underset{CN}{\rightarrow} \Longleftrightarrow 9(5-x)-12(-4-y)=0 \Longrightarrow C(1;-7)$

Đến đây coi như xong.

Lời giải hình không gian:

+/ Do $(SBC)\bot (ABC)$. Kẻ $SH \bot BC \Longleftrightarrow SH \bot (BAC)$. Từ đây dễ tính được $V_{SABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\sin{30}.a.\cos{30}.a.\frac{1}{2}=\frac{a^3}{16}$

+/ Tính $d(C;(SAB))$

Ta dễ có $SB=a \ \ ; \ \ BA=\frac{\sqrt{3}a}{2}$. Vì $SH \bot (BAC) \Longleftrightarrow SH \bot AH$. Lại do $AH$ là đường trung tuyến trong tam giác $ABC$ nên $AH=\frac{a}{2}$.

Xét tam giác $SHA$ suy ra $SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Từ đây suy ra

$\cos{SBA}=\frac{a^2+\frac{3}{4}a^2-\frac{a^2}{2}}{2a.\frac{\sqrt{3}a}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4} \Longleftrightarrow \sin SBA=\frac{\sqrt{13}}{4} \Longrightarrow S_{SAB}=\frac{1}{2}.a.\frac{\sqrt{3}a}{2}.\frac{\sqrt{13}}{4}=\frac{\sqrt{39}a^2}{16} \\ \Longrightarrow d(C;(SAB))=\frac{\sqrt{39}a}{13}$

__

Mình tính hơi vội. Có thể nhầm lẫn nha

Dạo này mình hơi bận, cũng có ít thời gian lên diễn đàn được.

Hi vọng các bạn duy trì topic.

Chúc các bạn học tốt

..............

Đây là topic tổng hợp đề thi thử bạn à Theo mình biết phương pháp ABC không được sử trong thi đại học.

Dù sao cũng cảm ơn bạn đã tham gia topic

Ta có : $y=\frac{-1}{3}x^3+(m-1)x^2+(m+3)x-4$

Có $y'=-x^2+2(m-1)x+(m+3)$.

Để hàm số nghịch biến trên $(0;3)$ thì $f'(x)< 0 \forall x\in (0;3)$ nghĩa là :

$-x^2+2(m-1)x+m+3< 0\Leftrightarrow m< \frac{x^{2}+2x-3}{2x+1}$ với mọi $x\in (0;3)$

Đến đây ta chỉ việc tìm cực tiểu của hàm số $f(x)=\frac{x^{2}+2x-3}{2x+1}$ trên $(0;3)$.

Dễ dàng chứng minh $f(x)$ đồng biến nên $f(x)>f(0)=-3$.

Vậy $m\leq-3$.

------------------------------------------

P/S:Nếu cách này đúng thì bài $2$ cũng tương tự   

Kết quả ra là $m \geq \frac{12}{7}$

Bài 1. Cho hàm số $y=\frac{-1}{3}x^3+(m-1)x^2+(m+3)x-4$. Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trong khoảng $(0;3)$.

Bài 2. Cho hàm số $y=\frac{x^2-8x}{8(x+m)}$. Tìm $m$ để hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty)$.

___

Có thể chỉ đưa kết quả cũng được

Một bài tương tự Dạng này

Bài toán: Cho số thực $a;b;c \in \left [ \frac{1}{2};2 \right ]$. Chứng minh rằng

$$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right ) \leq \frac{225}{16}$$

Bài toán: Cho $x;y;z \in [1;3]$. Chứng minh rằng

$$6 \leq \frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y} \leq \frac{26}{3}$$

Thêm một bài toán mà phương pháp này tỏ ra đặc biệt hiệu quả

 

Bài toán. Giải hệ phương trình

 

$$\begin{cases}\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2 \\ \sqrt{x^2+3y^2}+\sqrt{x^2-y^2}=4\end{cases}$$

Mọi người làm thử bài này theo cách đặt này xem sao

Còn bài 15 có vẻ khó nhằn quá nhỉ Nhiệt tình lên mọi người

Bài 16. Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $ab+ac+bc=2013abc$. Chứng minh rằng

$$\sum \frac{1}{a\left ( 2013a-1 \right )^2} \geq \frac{2013}{4}$$

Thi thử khối A - Chuyên Hạ Long - 2013

P/S: bài này nhìn có vẻ ngon ăn nhỉ

Có thể phép đặt là do việc nhẩm nghiệm được của hệ,chẳng hạn đối với hệ này,ta có thể nhẩm được cặp nghiệm $x=y=2$ (đến lúc làm hết bài thì nhận thấy còn cặp $(2;-2)$ nữa nhưng kệ,nói cách mình nghĩ vậy )) )

Tại $x=y=2$ thì $\sqrt{x+y}=2;\sqrt{x-y}=0$

và $\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2$ nên ta dẫn đến cách đặt để làm sao có thể triệt tiêu số $2$,vậy ta đặt

$$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x+y}=1+t&  & \\ \sqrt{x-y}=1-t &  & \end{matrix}\right.$$

 

Lúc này biễu diễn $x;y$ qua $t$ sau đó rồi thế vào được :

 

$\sqrt{(t^{2}+1)^{2}+12t^{2}}+\sqrt{(t^{2}+1)^{2}-4t^{2}}=4\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow t^{2}=1$

--------------------------------------------------

P/S:Giống vứt đi 1 pt để đưa hệ về 1 pt nhể

Cũng là một ý kiến Em rất tốt nhưng anh rất tiếc

Hãy chú ý sự liên hệ của $x+y=1$ và $\begin{cases} x=2+t \\ y=2-t \end{cases}$. Có ai nhận ra đây là gì không nhỉ

Khải: Không nhận ra gì ạ :v

Tờ Mờ: Phương trình đường thẳng và phương trình tham số

Thêm một bài toán mà phương pháp này tỏ ra đặc biệt hiệu quả

Bài toán. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases}\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=2 \\ \sqrt{x^2+3y^2}+\sqrt{x^2-y^2}=4\end{cases}$$

Đề bài: Giải hệ phương trình

$$\begin{cases}x+y-\sqrt{xy}=3 \\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4\end{cases}$$

Mời các bạn thảo luận, đây cũng là một phương pháp khá hay và hữu ích

Còn 2 bài này mọi người chém hết rồi hẵng post bài mới nhé