nhân cả 2 vế với -1 là ok CM nhanh hơn vì ta có công thức mẫu rồi:D

tương tự như trên ta tách tử số thành $m(f(x))+n(f'(x))$
chỉ còn lại cái \[
\int {\dfrac{{mdx}}{{3\sin x + 4\cos x + 6}}}
\]

đặt t=\[
tg\dfrac{x}{2}
\]
với\[
\begin{array}{l}
{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} = \dfrac{{2t}}{{1 + t^2 }} \\
\cos x = \dfrac{{1 - t^2 }}{{1 + t^2 }} \\
x = 2{\rm{ar}}ctgt \Rightarrow dx = \dfrac{{2dt}}{{1 + t^2 }} \\
\end{array}
\]

cách của bạn hơi dài:

thế này có phải ngắn và dễ hiểu hơn không:
\[
\int {\dfrac{{x^2 dx}}{{\sqrt {x^6 + 1} }}} = \dfrac{1}{3}\int {\dfrac{{dx^3 }}{{\sqrt {(x^3 )^2 + 1} }}} = \dfrac{1}{3}\ln |x^3 + \sqrt {(x^3 )^2 + 1} | + c
\]

note:mình dùng phương pháp tách sau đó dùng tích phân riêng phần

\[
\begin{array}{l}
\int {\dfrac{{e^x xdx}}{{\left( {x + 1} \right)^2 }}} = \int {\dfrac{{e^x (x + 1 - 1)dx}}{{\left( {x + 1} \right)^2 }}} = \int {\dfrac{{e^x dx}}{{\left( {x + 1} \right)}}} - \int {\dfrac{{e^x dx}}{{\left( {x + 1} \right)^2 }}} \\
= \int {\dfrac{{e^x dx}}{{\left( {x + 1} \right)}}} - \dfrac{{e^x }}{{\left( {x + 1} \right)^2 }} - \int {\dfrac{{e^x dx}}{{\left( {x + 1} \right)}}} = - \dfrac{{e^x }}{{\left( {x + 1} \right)^2 }} + c \\
\end{array}
\]

sai 1 lỗi nhỏ là đoạn cuối kết quả phải là

\[
+ \cot \dfrac{x}{2} + c
\]

vì:\[
\int {\dfrac{{dx}}{{2\sin ^2 \dfrac{x}{2}}}} = - \cot \dfrac{x}{2} + c
\]

đến đoạn :\[
\dfrac{1}{2}\int_0^1 {\dfrac{{d(a^2 + 1)}}{{a^2 + 1}}} + \int_0^1 {\dfrac{{dx}}{{a^2 + 1}}}
\]

đúng: đoạn sau sai mà phải là:
\[
\begin{array}{l}
\dfrac{1}{2}\int_0^1 {\dfrac{{d(a^2 + 1)}}{{a^2 + 1}}} + \int_0^1 {\dfrac{{dx}}{{a^2 + 1}}} = \dfrac{1}{2}\ln |a^2 + 1|_0^1 + {\rm{arctga|}}_0^1 \\
= \dfrac{{\ln 2}}{2} + \dfrac{\pi }{4} \\
\end{array}
\]

bài của bạn chỉ sai 1 lỗi nhỏ la quyên không thế cận(a=1==>tga=pi/4)

\[
\begin{array}{l}
I = \int {\sqrt {x^2 + 1} dx = x\sqrt {x^2 + 1} - } \int {\dfrac{{x^2 }}{{\sqrt {x^2 + 1} }}dx = } x\sqrt {x^2 + 1} - \int {\dfrac{{x^2 + 1 - 1}}{{\sqrt {x^2 + 1} }}dx} \\
\\
= x\sqrt {x^2 + 1} - I + \int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x^2 + 1} }} = } > 2I = x\sqrt {x^2 + 1} + \ln |x + \sqrt {x^2 + 1} | + c_1 \\
\Rightarrow I = \dfrac{x}{2}\sqrt {x^2 + 1} + \dfrac{1}{2}\ln |x + \sqrt {x^2 + 1} | + c \\
\end{array}
\]

nhân tiện CM luôn:D công thức nay không biết có được dùng thẳng không:
Tổng Quát:
\[
\int {\sqrt {x^2 + a} } dx = \dfrac{x}{2}\sqrt {x^2 + a} + \dfrac{a}{2}\ln |x + \sqrt {x^2 + a} | + c
\]

cái tích phân
\[
\begin{array}{l}
\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x^2 + 1} }} = \int {\dfrac{{x + \sqrt {x^2 + 1} }}{{(x + \sqrt {x^2 + 1)} (\sqrt {x^2 + 1} )}}} } dx = \int {\dfrac{{1 + \dfrac{x}{{\sqrt {x^2 + 1} }}}}{{x + \sqrt {x^2 + 1} }}} dx = \int {\dfrac{{d(x + \sqrt {x^2 + 1} )}}{{x + \sqrt {x^2 + 1} }}} \\
= \ln |x + \sqrt {x^2 + 1} | + c \\
\end{array}
\]

là tích phân cơ bản có thể sử dụng luôn không cần CM:nhân tiên mình CM luôn:D

xem thế này có đúng không

\[
\begin{array}{l}
\int_{ - 1}^1 {\dfrac{{x - 1}}{{x^2 \sqrt x }}} dx = \int_{ - 1}^0 {\dfrac{{x - 1}}{{x^2 \sqrt x }}} dx + \int_0^1 {\dfrac{{x - 1}}{{x^2 \sqrt x }}} dx = \int_i^0 {\dfrac{{x^2 - 1}}{{x^5 }}} dx + \int_0^1 {\dfrac{{x^2 - 1}}{{x^5 }}} dx \\
= |( - 3x^{ - 4} + 5x^{ - 6} )_i^0 | + |( - 3x^{ - 4} + 5x^{ - 6} )_0^1 | = 10 \\
\end{array}
\]

ah quên thế cân lại \[
u = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{x^2 }}}
\]

và cộng thêm c
\[
\int {\dfrac{{x^2 dx}}{{\sqrt {x^2 + 1} }}} = \int {\dfrac{{x^2 + 1 - 1dx}}{{\sqrt {x^2 + 1} }}} = \int {\sqrt {x^2 + 1} dx - } \int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {x^2 + 1} }}}
\]

\[
\begin{array}{l}
J = \int {\sqrt {x^2 + 1} dx = \int {x\sqrt {1 + \dfrac{1}{{x^2 }}} } } dx \\
u = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{x^2 }}} \Rightarrow x^2 = \dfrac{1}{{u^2 - 1}} \Rightarrow xdx = \dfrac{{udu}}{{(u^2 - 1)^2 }} \\
J = \int {\dfrac{{u^2 du}}{{(u^2 - 1)^2 }}} = \int {\dfrac{{u^2 - 1 + 1du}}{{(u^2 - 1)^2 }}} = \int {\dfrac{{du}}{{u^2 - 1}}} + \int {\dfrac{{du}}{{(u^2 - 1)^2 }}} = \dfrac{1}{2}\ln |\dfrac{{u - 1}}{{u + 1}}| + K \\
k = \int {\dfrac{{du}}{{(u - 1)(u + 1)^2 }}} = \dfrac{1}{4}\int {\left( {\dfrac{1}{{\left( {u - 1} \right)}} - \dfrac{1}{{u + 1}}} \right)} ^2 du = \dfrac{1}{4}\int {\left( {\dfrac{1}{{\left( {u - 1} \right)^2 }} - \left( {\dfrac{1}{{u - 1}} - \dfrac{1}{{u + 1}}} \right) + \dfrac{1}{{(u + 1)^2 }}} \right)} du \\
k = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{1 - u}} - \dfrac{1}{{u + 1}} - \ln |\dfrac{{u - 1}}{{u + 1}}|} \right) \\
I = \dfrac{1}{2}\ln |\dfrac{{u - 1}}{{u + 1}}| + \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{{1 - u}} - \dfrac{1}{{u + 1}} - \ln |\dfrac{{u - 1}}{{u + 1}}|} \right) \\
\end{array}
\]

\[
\int {\dfrac{{du}}{{\sqrt {a^2 - u^2 } }}}
\]

đặt \[ u=
{{\rm{a}}\sin k \Rightarrow k = \arcsin \dfrac{u}{a} \Leftrightarrow du = a\cos kdk}
\]
\[
I = \int {\dfrac{{a\cos kdk}}{{\sqrt {a^2 - a^2 \sin ^2 k} }}} = \int {dk = k + c_1 = } \arcsin \dfrac{u}{a} + c
\]

công thức trên là công thức của hàm ngược đúng
CM:
\[
\begin{array}{l}
\int {\dfrac{{du}}{{\sqrt {u^2 + k} }}} = \int {\dfrac{{(u + \sqrt {u^2 + k} )du}}{{(u + \sqrt {u^2 + k} )\sqrt {u^2 + k} }}} = \int {\dfrac{{(\dfrac{u}{{\sqrt {u^2 + k} }} + 1)du}}{{u + \sqrt {u^2 + k} }}} \\
= \int {\dfrac{{d(u + \sqrt {u^2 + k} )}}{{u + \sqrt {u^2 + k} }}} = \ln |u + \sqrt {u^2 + k} | + c \\
\end{array}
\]

câu 1: tách tử={1/2(2x+2)}+{1}==>giải 2 tích phân 1/2{d(2+2x+x^2)/(2+2x+x^2)+d(x+1)/[(x+1)^2+1] =(1/2)ln|2+2x+x^2|+arctg(x+1)+c

câu 2:tách mẫu=a^2+x^3=[x+căn 3(a^2)]{x^2+x[căn 3(a^2)]+căn 3(a^4)}
tách v=m/[x+căn 3(a^2)]+(nx+k)/[x^2+x[căn 3(a^2)]+căn 3(a^4)]
sử dụng đồng nhất thức tim được m,n,k
sau đó làm như câu 1:
mình không biết gõ công thức toán học chịu khó đọc vậy.()

$\int_{0}^{1}\dfrac{x^{2}-1}{x^{^{4}}+1}dx
\int_{0}^{1}\dfrac{x}{(1+3x)^{3}}dx$

bài 1:chia cả tử và mãu cho x^2
sau đó đặt x+1/x=t {x^2+1/x^2=[(x+1/x)^2-2]
bài 2: dat 1+3x=t ra luôn Kết Quả(nhớ là phải tách tử ra)
chỉ gợn ý thôi.
học toán thì phải tự làm không học làm gì.

tách 1=1/2[1+x^4+(1-x^4)] o trên tử
sau đó:
tách nguyên hàm I thành (1+x^4)/(1+x^8)+(1-x^4)/(1+x^8)
chia cả tử và mẫu cho x^4
sau đó đặt x+1/x,x-1/x=t
thế là ra KQ rồi.
mình không biết gõ nguyên hàm.chỉ có thể gợn ý thôi
tham khảo kỹ thuật đặt u(x)("kỹ thuật nhảy tầng lầu")