Cho $xy+yz+zx=1$. CMR : $2x^2+7y^2+27z^2\geq 6$

  Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O thoả mãn $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ và AB < AC . Lấy D trên cung nhỏ BC sao cho $\widehat{ABC}=2\widehat{DBC}$ . Gọi E là điểm chính giữa cung lớn BC . Lấy H trên tia DA sao cho 3DH=AD.

                                                  CM: $\widehat{EHA}=30^{\circ}$

Bài 1: Tìm các số nguyên tố p,q sao cho : $2^{p}+2^{q} \vdots pq$

Bài 2: Tìm tất cả bộ 3 số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn :
$(a^{2}+b^{2})^{c}=(a.b)^{1999}$

Bài 3: Cho $A= 2^{3}.3.4.2004$.Viết A thành tổng các số nguyên dương sao cho tích các số này lớn nhất

Bài 4: Tìm tất cả các số $x,y\in \mathbb{Q}^{+}$ sao cho $x+y$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\in \mathbb{Z}$

Đề đúng phải là $\left\lfloor {\sqrt n + \sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} } \right\rfloor = \left\lfloor {\sqrt {9n + 8} } \right\rfloor $
Đặt $x = \sqrt n + \sqrt {n + 1} + \sqrt {n + 2} \Rightarrow {x^2} = 3n + 3 + 2(\sqrt {n(n + 1)} + \sqrt {n(n + 2)} + \sqrt {(n + 1)(n + 2)} $
Ta có $\begin{array}{l}
{\left( {n + \frac{2}{5}} \right)^2} < n(n + 1) < {\left( {n + \frac{1}{2}} \right)^2};{\left( {\frac{7}{{10}} + n} \right)^2} < n(n + 2) < {(n + 1)^2};{\left( {n + \frac{7}{5}} \right)^2} < (n + 1)(n + 2) < {\left( {n + \frac{3}{2}} \right)^2}\\
\Rightarrow 9n + 8 < {x^2} < 9n + 9 \Rightarrow \left\lfloor x \right\rfloor = \left\lfloor {\sqrt {9n + 8} } \right\rfloor
\end{array}$

Ban phai chung minh: $\left [ 9n+9 \right ]=\left [ 9n+8 \right ]$ nua ma!

Bai 1:
Tim cac chu so $x,y,z$ biet : $\sqrt{\overline{xyz}}=(x+y)\sqrt{z}$
Bai 2:
Tim $x,y\in \mathbb{Q}$ biet :
$\sqrt{x\sqrt{3}}-\sqrt{y\sqrt{3}}=\sqrt{2\sqrt{3}-3}$

P/s:May bi hong phan viet Tieng Viet nen moi nguoi thong cam

Bai 1: Cho $x,y\in \mathbb{Q},\neq0$ va $n\in \mathbb{Z}^{+}$
CM: $x\sqrt{n}+y\sqrt{n+1}\in \mathbb{I}$
Bai 2: CM: Khong co so $x,y\in \mathbb{Q}$ nao thoa man dieu kien sau:
$\left ( x+y\sqrt{3} \right )^{n}=\sqrt{1+\sqrt{3}}$ $(n\in \mathbb{N})$

Bài làm:
ĐKXD :$x \geq0$
Để $F \in Z \leftrightarrow F = k \in Z$ ( $k \geq0$)
$\leftrightarrow \sqrt{x} \geq x\sqrt{x} -3\sqrt{x} +3$
$\leftrightarrow 0 \geq x\sqrt{x} -4\sqrt{x} +3$(*)
Dễ thấy với $\sqrt{x} \geq 2$
$\rightarrow x\sqrt{x} \geq 8 $
$\rightarrow x\sqrt{x} -4\sqrt{x} +3 \geq 8-8+3 >0$
Vậy Để $0 \geq x\sqrt{x} -4\sqrt{x} +3$
$\leftrightarrow x <4$
Mà $x \in Z \rightarrow x :\text{có thể là} :0,1,2,3$
Thay vào ta thấy chỉ có $x=0$ hoặc $x=1 :\text{thoả mãn}$
-------------------------------------------
Cách khác , không phải xét nhiều nhưng mà lại phải xét nhiều =))
Đến (*)
Ta gọi $\sqrt{x} =a (a \geq0)$
Đến đây ta phân tích đa thức thành nhân tử
$\rightarrow 0 \geq (a-1)(a-\frac{\sqrt{11}+1}{2})(a+\frac{\sqrt{11}-1}{2}) $
Kẻ bảng xét dấu ta được :
$\frac{\sqrt{11}+1}{2} \geq a \geq 1$
$\rightarrow 2,2 \geq a \geq 1$
$\rightarrow x=1 :\text{nguyên}$
$\rightarrow Q.E.D$

Nhung de bai dau cho $x\in \mathbb{Z}$ ma ban!

Bai 1:Cho $\left ( x+\sqrt{1+y^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+x^{2}} \right )=1$
CM:$\left ( x+\sqrt{1+x^{2}} \right ) \left ( y+\sqrt{1+y^{2}} \right )=1$
Bai 2:Tim cac so $x$ sao cho:
$F=\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}$$\in \mathbb{Z}$
Bai 3:CM: Voi moi $n\in \mathbb{Z}^{+}$ ta co:

a,$\left [ \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right ]=\left [ \sqrt{4n+2} \right ]$

b,$\left [ \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\sqrt{n+2} \right ]=\left [ \sqrt{9n+8} \right ]$

Dọn dẹp bài còn lại
Sử dụng lượng liên hợp ta có :
$(x^2-x^2-9082012)(y+\sqrt{y^2+9082012})=9082012(x-\sqrt{x^2+9082012})\Rightarrow -9082012(y+\sqrt{y^2+9082012})=9082012(x-\sqrt{x^2+9082012})\Rightarrow y+\sqrt{y^2+9082012}=\sqrt{x^2+9082012}-x$
Tương tự cũng có :
$x+\sqrt{x^2+9082012}=\sqrt{y^2+9082012}-y$
Cộng vế theo vế ta có :
$x+y+\sqrt{x^2+9082012}+\sqrt{y^2+9082012}=\sqrt{x^2+9082012}+\sqrt{y^2+9082012}-x-y\Rightarrow 2(x+y)=0\Rightarrow x+y=0\Rightarrow x=-y\Rightarrow x^{2013}=-y^{2013} => x^{2013}+y^{2013}=0$
Thay vào ra được biểu thức = $\frac{0}{x^9+y^8+2012}=0(Q.E.D)$

Xet 2 truong hop $x= - y$ va $x\neq - y$ duoc khong?

Bai 1 :Tim $x$ la so $\in \mathbb{Q}$ sao cho A=$\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1}\in \mathbb{Z}$

Bai 2 : Cho $\left ( x+\sqrt{x^{2}+9082012} \right )\left ( y+\sqrt{y^{2}+9082012} \right )=9082012$
Tinh $\frac{x^{2013}+y^{2013}}{x^{9}+y^{8}+2012}$

P/s: Bi hong phan mem viet dau nen khong viet dau dc mong moi nguoi thong cam

Tim 4 c/s tan cung cua:
a, 1354768368999x93664736753x4663648386x75765x878x98
b, 1996²⁰¹²

Cho a,b,c>0 va $a^2+b^2+c^2=1$.Tim GTLN va GTNN cua:
$a + b + c - 2abc$

Bài 1 :
Cho $P\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c$ thỏa mãn:
$\left | P\left ( x \right ) \right |\leq 1$ khi $\left | x \right |\leq 1$
CM: Nếu $\left | x \right |\leq 1$ thì $\left | cx^{2}+bx+a \right |\leq 2$
Bài 2 :
Cho $x\in\mathbb{R}$ thỏa mãn: $x^{5}-x^{3}+x=2$
CM: $3< x^{6}< 4$
Bài 3 :
Cho $a,b> 0$ và $a^{3}+b^{3}=a-b$
CM: $a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}.ab< 1$
Bài 4 :
Cho $ad-bc=1$.
CM: $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd \right )^{2}\geq 3$

Ai cho mình hỏi xem có BDT này không nha:
$\left | x+y \right |\geq \left | x \right |-\left | y \right |$

Bài 1:
Cho a,b là các số nguyên dương sao cho:
$\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là các số nguyên.
Gọi d là ước của a và b.
CM: $d^{2}\leq a+b$
Bài 2:
Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}=1$
CM: $\frac{1}{2}\leq (x^{3}+y^{3})^{2}\leq 1$
Bài 3:
Cho x,y thỏa mãn điều kiện:
$-1\leq x+y\leq 1$ và $-1\leq xy+x+y\leq 1$
CM: $\left | x \right |\leq 2;\left | y \right |\leq 2$

Bài 1:Cho x=$\frac{1}{a}.\sqrt{\frac{2a}{b}-1}$và (0<a<b<2a)

Tính:A=$\frac{1-ax}{1+ax}.\sqrt{\frac{1+bx}{1-bx}}$
Bài 2:Cho a,b,c,x,y,z thỏa mãn các điều kiện:
$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0$ ; a+b+c=0 ; x+y+z=0
Tính : B=xa²+yb²+zc²

Bài 1:Tìm nghiệm nguyên dương của các phương trình sau:
a) 8x³=3^y+997
b) y²-12²=2^x+3²
Bài 2:cho x,y dương thỏa mãn:x¹⁰⁰+y¹⁰⁰=x¹⁰¹+y¹⁰¹=x¹⁰²+y¹⁰².
Tính giá trị của biểu thức:P=x²⁰⁰⁸+y²⁰⁰⁸

TH1: $\angle{A}=a; \angle{B}=a+1; \angle{C}=a+2.$ với a là số tự nhiên.
Ta có: $5a+2=180\Rightarrow$ loại (vì a không là số tự nhiên)
TH2: $\angle{A}=a; \angle{B}=a-1; \angle{C}=a+1.$
Ta có: $5a-2=180\Rightarrow$ loại (lí do giống như trên)
TH3: $\angle{A}=a; \angle{B}=a-2; \angle{C}=a-1.$
Tương tự: $5a-4=180\Rightarrow$ loại.

mình không hiểu ai giải thích rõ được không

Cho tam giác ABC có 3 lần góc A + 2 lần góc B =180 độ.Tính số đo 3 cạnh của tam giác biết 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp.
Ai đọc bài này thông cảm giùm mình mình chưa biết gõ!!!